【最新】2020届山东省潍坊市临朐县高三综合模拟考试(二)数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 21 页2020届山东省潍坊市临朐县高三综合模拟考试（二）数学试题一、单选题1设13izi，则在复平面内z对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案【详解】1(1)(3)24123(3)(3)1055iiiiziiiiQ，1255zi，在复平面内z对应的点的坐标为1(5，2)5，位于第一象限故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2曲线ln1yax在点0,0处的切线过点4,8，则a（）A4 B3 C2 D1【答案】C【解析】求得函数(1)yln ax的导数，可得切线的斜率，运用直线的两点的斜率公式，可得所求值【详解】(1)yln ax的导数为1ayax，可得曲线在0 x处的切线的斜率为a，由切线经过(4,8)可得80240a，故选：C【点睛】本题考查导数的几何意义和直线的斜率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题3某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）第 2 页 共 21 页2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A6升B8升C10升D12升【答案】B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V升.而这段时间内行驶的里程数3560035000600S千米.所以这段时间内，该车每100 千米平均耗油量为481008600升，故选B.【考点】平均变化率.4已知2313a，2312b，3logc，则a，b，c的大小关系为（）A abcBacbCcabDcba【答案】D【解析】容易得出2233311()()1,132log，从而得出a，b，c的大小关系【详解】由题得2203333111()()()1,log 31322log；cba故选：D【点睛】本题主要考查幂函数、指数函数和对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题第 3 页 共 21 页5已知向量,1mau r，21,3nbr0,0ab，若/mnu rr，则21ab的最小值为（）A12 B84 3C15 D102 3【答案】B【解析】由/mnrr可得321ab，然后根据2121()(32)ababab，利用基本不等式可得结果【详解】Q(,1)mar，(21nbr，3)(0a，0)b，/mnrr，3210ab，即321ab，2121()(32)ababab438baab4382baabg84 3，当且仅当43baab，即336a，314b时取等号，21ab的最小值为：84 3故选：B【点睛】本题主要考查了向量平行和“乘 1 法”与基本不等式的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题6若sincos11 cos24，tan2，则tan2（）A43B43C3 D-3【答案】A【解析】由题意利用两角和差的正切公式求得tan2，tan()2，可得tan(2)tan()的值【详解】由题得2sincossincoscos11cos22sin2sin4，tan2第 4 页 共 21 页tantantan()21tananQ，tan0，tan()tan()2，则tan()tan224tan(2)tan()1tan()tan1223，故选：A【点睛】本题主要考查两角和差的正切公式的应用，考查二倍角的余弦，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7已知二面角l为60，点A，点B，异面直线AB与l所成的角为60，4AB.若A到的距离为3，则B到的距离为（）A2 3B3C6D3【答案】A【解析】如图所示，过A点作AC，垂足C，过点C作CEl，垂足为点E，连接CE 可得60AEC，2AE过A点在内作l的平行线，过B点作BFl，垂足为点F，过F点在内作AE的平行线与l的平行线交于点D，可得四边形ADFE为矩形，2DF60BAD，ADDB 可得2 3BD，60BFD，在BFD中，设BFx，利用余弦定理可得x进而得出222BDDFBF，可得BD即得B到的距离.【详解】如图所示，过A点作AC，垂足C，过点C作CEl，垂足为点E，连接CE则AEl，60AEC又3AC，2AE过A点在内作l的平行线，过B点作BFl，垂足为点F过F点在内作AE的平行线与l的平行线交于点D，则四边形ADFE为矩形，2DF且BFD为异面直线AB与l所成的角，60BAD，ADDB4ABQ，2 3BD，60BFD，在BFD中，设BFx，由余弦定理可得：222(2 3)222cos60 xx，第 5 页 共 21 页可得：2280 xx，解得4x222BDDFBF，BDDF，BDB到的距离为2 3故选：A【点睛】本题考查了空间位置关系、线面、面面垂直的判定和性质定理、矩形的性质、直角三角形的性质、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A24种B30种C36种D48种【答案】D【解析】将原图从上而下的4个区域标为1、2、3、4，分类讨论1、4同色与不同色这两种情况，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.【详解】将原图从上而下的4个区域标为1、2、3、4，因为1、2、3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1、4同色与不同色这两种情况.若1、4同色，则区域1、4有4种选择，区域2有3种选择，区域3有2种选择，由分步乘法计数原理可知，此时共有4 3 224种涂色方法；若1、4不同色，则区域1有4种选择，区域4有3种选择，区域2有2种选择，区域3只有1种选择，此时共有432 124种涂色方法.第 6 页 共 21 页故不同的着色方法种数为242448.故选：D.【点睛】本题考查涂色问题，涉及分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.二、多选题9空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI 指数值05051100101150151200201300300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市12 月 1 日-20 日 AQI 指数变化趋势：下列叙述正确的是（）A这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于100B这 20 天中的中度污染及以上的天数占14C该市 12 月的前半个月的空气质量越来越好D总体来说，该市12 月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】ABD【解析】根据折线图和AQI 指数与空气质量对照表，结合选项，进行逐一分析即可.【详解】对 A：将这 20 天的数据从小到大排序后，第10 个数据略小于100，第 11 个数据约为120，第 7 页 共 21 页因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100 是正确的，故A 正确；对 B：这 20 天中，AQI 指数大于150 的有 5 天，故中度污染及以上的天数占14是正确的，故 B 正确；对 C：由折线图可知，前5 天空气质量越来越好，从6 日开始至15 日越来越差，故 C 错误；对 D：由折线图可知，上旬大部分AQI 指数在 100 以下，中旬AQI 指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好.故 D 正确.故选：ABD.【点睛】本题考查统计图表的观察，属基础题；需要认真看图，并理解题意.10已知函数1sinsin34fxxx的定义域为,m nmn，值域为1 1,2 4，则nm的值可能是（）A512B712C34D1112【答案】AB【解析】对()f x 化简，根据值域为12，14，求出定义域，作差判断即可【详解】1()sinsin()34f xxxg131sin(sincos)224xxx131(1cos2)sin 2444xx131(sin 2cos2)222xx1sin(2)26x，值域为12，14，sin(2)16x，12，所以72266xk，26k，第 8 页 共 21 页故2xk，6k，kZ，2()623kk，所以nm最大为23，故选：AB【点睛】本题主要考查三角函数化简、二倍角公式，考查三角函数的定义域和值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平11下列有关说法正确的是（）A5122xy的展开式中含23x y项的二项式系数为20；B事件ABU为必然事件，则事件A、B是互为对立事件；C设随机变量服从正态分布,7N，若24PP，则与D的值分别为3，7D；D甲、乙、丙、丁4 个人到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A“4个人去的景点各不相同”，事件B“甲独自去一个景点”，则2|9P A B.【答案】CD【解析】由二项式定理得：51(2)2xy的展开式中含23x y项的二项式系数为35C，即可判断A；由对立事件与互斥事件的概念，进行判断B；由正态分布的特点，即可判断C；由条件概率的公式()(|)()P ABP A BP B，计算即可判断D.【详解】对于A，由二项式定理得：51(2)2xy的展开式中含23x y项的二项式系数为3510C，故A错误；对于B，事件 ABU为必然事件，若A，B互斥，则事件A、B是互为对立事件；若A，B不互斥，则事件A、B不是互为对立事件，故B错误对于C，设随机变量服从正态分布(,7)N，若(2)(4)PP，则曲线关于3x对称，则与D的值分别为3，7D故C正确对于D，设事件A“4个人去的景点不相同”，事件B“甲独自去一个景点”，第 9 页 共 21 页则P（A）44!4，P（B）344 327464g，443!3()432P AB，则()2(|)()9P ABP A BP B，故D正确；故选：CD【点睛】本题考查命题的真假判断和应用，考查事件的关系、条件概率的求法，考查二项式定理的判定方法和正态分布的特点，考查判断和推理能力，是中档题12已知函数2()lnf xxxx，0 x是函数()f x 的极值点，以下几个结论中正确的是（）A010 xeB01xeC00()20fxxD00()20f xx【答案】AC【解析】求导数,利用零点存在定理,可判断 A,B;2000000000002ln2l21n0fxxxxxxxxxxx,可判断 C，D.【详解】函数2()l(),n0f xxxxx,()ln12fxxx,0 x是函数()f x 的极值点，00fx，即00ln120 xx，120fee,0,()xfxQ,010 xe,即 A 选项正确,B 选项不正确;2000000000002ln2l21n0fxxxxxxxxxxx,即 C 正确,D不正确.故答案为:AC.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查学生的计算能力,属于中档题.三、填空题13已知集合A a，b，2，B 2，2a，且 AB A B，则 a_第 10 页 共 21 页【答案】0或【解析】根据ABAB，可得AB，然后作分类讨论，讨论时注意要满足集合的三要素即可.主要考虑集合中的元素是否满足互异性【详解】因为 AB A B，所以 AB，则应有或解或或又 a0，b0 时，不满足元素的互异性，故舍去，所以a的值为 0 或.【点睛】本题考查集合的三要素，难点在于互异性的判断，属于简单题.14甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3:1获胜的概率是 _.【答案】0.21【解析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解【详解】甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3:1获胜的概率是：0.60.50.40.50.60.50.60.50.40.50.60.50.21P故答案为：0.21【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题四、双空题15已知双曲线C过点3,2且渐近线方程是33yx，则双曲线C的方程为第 11 页 共 21 页_，又若点0,4N，F为双曲线C的右焦点，M是双曲线C的左支上一点，则FMN周长的最小值为_.【答案】2213xy4 52 3【解析】由渐近线的方程设双曲线的方程，又过定点可得参数的值即求出双曲线的方程；三角形FMN的周长 NFMFMN，到右焦点的距离由双曲线的性质可得转化为到左焦点的距离，当F，N，M三点共线时周长最小，求出最小值【详解】由渐近线的方程设双曲线的方程为：223xy，由双曲线C过点(3,2)可得：923，即1，所以双曲线的方程为：2213xy；设左焦点(2,0)F，右焦点(2,0)FFMN周长为2222 3NFMFMNNFMNaMFNFNFaNF，当且仅当F，N，M三点共线时取等号，而22242 5NF，所以FMN周长的最小值为：4 52 3，故答案分别为：2213xy，4 52 3【点睛】本题主要考查双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力第 12 页 共 21 页五、解答题16如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PB底面 ABCD，O为对角线AC 与 BD 的交点，若PB1，APB BAD 3，则棱锥PAOB 的外接球的体积是 _【答案】43【解析】根据三角形ABP和三角形AOP为直角三角形，判断出棱锥PAOB外接球的直径为PA，进而计算出球的半径以及体积.【详解】由于PB底面ABCD，所以三角形ABP是直角三角形.由于底面ABCD是菱形，故AOBO，又AOPB，所以AO面PBO，所以三角形AOP是直角三角形.由此判断出棱锥PAOB外接球的直径为PA.由于1,3PBAPB，所以2PA,故外接球的半径为1，体积为344133.【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的计算，考查几何体外接球球心位置的判断，属于基础题.17已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，在sinsinsinabABcbC；sinsin2BCbaB；cos23cos1ABC；这三个条件中任选一个完成下列内容：（1）求A的大小；（2）若ABC的面积5 3S，5b，求sinsinBC值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）无论选哪种，3A（2）5sinsin7BC【解析】（1）选()(sinsin)()sinabABcbC，结合正弦定理及余弦定理进行第 13 页 共 21 页化简即可求解A；（2）结合（1）及三角形的面积公式可求c，进而可求a，结合正弦定理即可求解【详解】选择：（1）由正弦定理得ababcb c，222abcbc，由余弦定理得1cos2A，0A，3A.（2）由面积公式1sin5 32SbcA，4c.由余弦定理得2222cosabcbcA得221a，由正弦定理得2sinaRA，2228R，sin2bBR，sin2cCR，25sinsin47bcBCR.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平18在各项均不相等的等差数列na中，11a，且1a，2a，5a成等比数列，数列nb的前 n 项和122nnS（1）求数列na、nb的通项公式；（2）设22lognanncb，求数列nc的前 n 项和nT【答案】（1）21nan，2nnb；（2）2122232nnnnT【解析】（1）设数列na的公差为d，由1a，2a，5a成等比数列，列式解得0d（舍去）或2d，进而得21nan；再由数列nb的前 n 项和122nnS，得1nnnbSS2n2n，且12b，进而得2nnb；（2）由（1）得212nncn，利用分组求数列nc的前 n 项和nT即可.【详解】（1）设数列na的公差为d，则21aad，514aad，1a，2a，5a成等比数列，2215aa a，即21114adaad，第 14 页 共 21 页整理得212da d，解得0d（舍去）或122da，1121naandn.当1n时，12b，当2n时，112222nnnnnbSS1222222nnnnn验：当1n时，12b满足上式，数列nb的通项公式为2nnb（2）由（1）得，2122log2nannncbn，3521(21)22232nnTnL35212222(123)nnLL2 14(1)142nnn2122232nnn.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，也考查了数列的分组求和的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题19如图（1）五边形ABCDE 中，,/,2,EDEA ABCD CDAB150EDCo,将EAD沿AD折到PAD的位置，得到四棱锥PABCD，如图（2），点M为线段PC的中点，且BM平面PCD.（1）求证：平面PAD平面ABCD；（2）若直线PC AB与所成角的正切值为12，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）2 77【解析】试题分析：（1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得成立;（2）通过已知条件求出各边长度,建系如图所示,求出平面PDB的法向量,根据线面角公式代入坐标求得结果.第 15 页 共 21 页试题解析:（1）证明：取PD的中点N，连接,AN MN，则1/,2MNCD MNCD，又1/,2ABCD ABCD，所以/,MNAB MNAB，则四边形ABMN为平行四边形，所以/ANBM，又BM平面PCD，AN平面PCD，,ANPD ANCD.由EDEA即PDPA及N为PD的中点，可得PAD为等边三角形，060PDA，又0150EDC，090CDA，CDAD，CD平面,PAD CD平面ABCD，平面PAD平面ABCD.（2）解：/ABCD，PCD为直线PC与AB所成的角，由（1）可得090PDC，1tan2PDPCDCD，2CDPD，设1PD，则2,1CDPAADAB，取AD的中点O，连接PO，过O作AB的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则1113,0,0,1,0,2,0,0,0,2222DBCP，13,1,44M，所以13331,1,0,1,0,2244DBPBBMu uu ru uu ruuu u r，第 16 页 共 21 页设,nx y zr为平面PBD的法向量，则00n DBn PBuuu rruu u rr，即013022xyxyz，取3x，则3,3,3nr为平面PBD的一个法向量，32 7cos,73212n BMn BMn BMuu uu rruu uu rru uu u rr，则直线BM与平面PDB所成角的正弦值为2 77.点睛:判定直线和平面垂直的方法:定义法 利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面平面与平面垂直的判定方法:定义法 利用判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直20已知一条曲线C 在 y 轴右边，C 上每一点到点(10)F，的距离减去它到y 轴距离的差都是 1(1)求曲线 C 的方程；(2)过点 F 且斜率为k 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|8AB，求直线 l 的方程【答案】（1）24(0)yx x；（2）1yx或1yx.【解析】(1)根据条件有22(1)1(0)xyxx化简得答案.(2)有抛物线过交点的弦长公式有12|+2=8xxAB，然后设出直线方程与抛物线方程联立求出12xx代入12|+2=8xxAB，可计算出k，得到直线方程.【详解】(1)设点(,)P x y是曲线 C 上任意一点，那么点(,)P x y满足：22(1)1(0)xyxx化简得曲线C 的方程为24(0)yx x(2)由题意得，直线l的方程为(1)yk x，设11(,)A xy，22(,)B xy第 17 页 共 21 页由2(1),4yk xyx得2222(24)0k xkxk因为216160k，故212224kxxk，所以122244|(1)(1)xkABAFBFkx由题设知22448kk，解得1k或1k因此直线l的方程为1yx或1yx【点睛】本题主要考查曲线与方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题.21某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过2 次每次收取维修费2000 元；方案二：交纳延保金10000 元，在延保的两年内可免费维修4 次，超过 4 次每次收取维修费1000 元.某医院准备一次性购买2 台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这 50 台机器维修次数的频率代替1 台机器维修次数发生的概率，记 X 表示这 2 台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数（1）求 X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【答案】（）见解析；（）选择延保方案二较合算【解析】（）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出对应的概率，列出分布列即可；（）求出两种方案下所需费用的分布列，然后分别求出对应的期望值，比较二者的大小即可选出最合算的方案【详解】解：（）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，第 18 页 共 21 页，的分布列为0 1 2 3 4 5 6（）选择延保一，所需费用元的分布列为：7000 9000 11000 13000 15000（元）.选择延保二，所需费用元的分布列为：10000 11000 12000（元）.，该医院选择延保方案二较合算.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了概率的计算，考查了期望的求法，属于中档题22设aR，函数lnfxaxx.（1）若fx无零点，求实数a的取值范围；第 19 页 共 21 页（2）当1a时，关于x的方程22xfxxb在1,22上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）求证：当2n，*nN时22211111123en.【答案】（1）0,e（2）5ln 2,24b（3）见解析【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，确定满足条件的a的范围即可；（2）令2()3g xxxlnxb，1(2x，2)，结合二次函数的性质以及函数的单调性求出b的范围即可；（3）根据1x时，1lnxx，令*211(2,)xnnNn，累加即可证明【详解】（1）若0a时，则10afxx，fx是区间0,上的减函数，110f，111aafee，而10a，则101ae，即1110aafee，110affe，函数fx在区间0,有唯一零点；若0a，fxx，在区间0,无零点；若0a，令0fx，得xa，在区间0,a上，0fx，函数fx是增函数；在区间,a上，0fx，函数fx是减函数；故在区间0,上，fx的最大值为lnf aaaa，由于fx无零点，则ln0faaaa，解得0ae，故所求实数a的取值范围是0,e.（2）由题意，1a时22xfxxb为2ln2xxxxb，23ln0 xxxb，第 20 页 共 21 页设23ln0g xxxxb x，则2211123123xxxxgxxxxx，当1,22x变化时，gx，g x的变化情况如下表：x121,121 1,22 gx0-0+g x5ln 24b2bZ2ln 2b 方程22fxxxb在1,22上恰有两个不相等的实数根，1021020ggg，5ln 204202ln 20bbb，5ln 224b，即5ln 2,24b.（3）由（1）可知当1a时，1fxf即ln1xx，当1x时，ln1xx，令*2112,xnnNn时，222222111111ln 1+ln 1ln 12323nn1111111 22311nnn，即222111ln11+1123n，第 21 页 共 21 页22211111+123en.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、“累加求和”、对数的运算性质、放缩、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，考查了等价问题转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题