2020年高中数学必修2同步练习：2.3.1直线与平面垂直的判定含答案解析.pdf
2.3.1直线与平面垂直的判定课时过关能力提升一、基础巩固1.下面条件中,能判定直线 l 的是()A.l 与平面 内的两条直线垂直B.l 与平面 内的无数条直线垂直C.l 与平面 内的某一条直线垂直D.l 与平面 内的任意一条直线垂直答案:D 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与 AA1垂直的面的个数是()A.1 B.2 C.3 D.6 解析:仅有平面 AC和平面 A1C1与直线 AA1垂直.答案:B 3.已知直线 a与平面 所成的角为 50,直线 ba,则 b 与 所成的角等于()A.40B.50C.90D.150解析:根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知 b 与 所成的角也是 50.答案:B 4.如图,如果 MC菱形 ABCD 所在的平面,那么 MA 与 BD 的位置关系是()A.平行B.垂直且相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直解析:连接 AC,因为 ABCD 是菱形,所以 BDAC.又 MC平面 ABCD,则 BDMC.因为AC MC=C,所以 BD平面 AMC.又 MA?平面 AMC,所以 MABD.显然直线 MA 与直线BD 不共面,因此直线 MA 与 BD 的位置关系是垂直但不相交.答案:C 5.已知线段 AB的长等于它在平面 内的射影长的 2 倍,则 AB所在的直线与平面 所成的角为()A.30B.45C.60D.120解析:如图,AC,AB =B,则 BC 是 AB 在平面 内的射影.因为 BC=12?,所以ABC=60,它是 AB所在的直线与平面 所成的角.答案:C 6.如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,G 是 EF 的中点,现在沿 AE,AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形,使 B,C,D 三点重合,重合后的点记为 H,则在这个空间图形中必有()A.AH平面 EFH B.AG平面 EFHC.HF平面 AEF D.HG平面 AEF解析:在平面图形中,ADDF,ABBE,所以折起后 AHFH,AHEH,FH EH=H,所以AH平面 EFH.答案:A 7.如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,底面 ABCD 为正方形且边长为3,BD1与底面所成角的正切值为23,则该四棱柱的侧棱长等于 _.解析:由题意得 tanDBD1=?1?=23,因为 BD=3 2,所以DD1=23?=233 2=2 2.答案:2 28.已知 PA垂直于平行四边形ABCD 所在的平面,若 PCBD,则平行四边形 ABCD 的形状一定是.解析:由于 PA平面 ABCD,BD?平面 ABCD,所以 PABD.又 PCBD,且 PC?平面 PAC,PA?平面 PAC,PC PA=P,所以 BD平面 PAC.又 AC?平面 PAC,所以 BDAC.又四边形 ABCD 是平行四边形,所以四边形 ABCD 是菱形.答案:菱形9.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧面 BB1C1C为菱形,B1C的中点为 O,且 AO平面BB1C1C.证明:B1CAB.证明:如图,连接 BC1,则 O 为 B1C 与 BC1的交点.因为侧面 BB1C1C为菱形,所以 B1CBC1.又 AO平面 BB1C1C,所以 B1CAO.因为 BC1 AO=O,所以 B1C平面 ABO.由于 AB?平面 ABO,故 B1CAB.10.有一根旗杆高 12 m,在它的顶端处系两条长13 m的绳子,拉紧绳子,并把它们的下端固定在地面上与旗杆底端不共线的两点处,测得这两点和旗杆底端相距5 m,问能否由此断定旗杆与地面垂直,为什么?解:能.如图,设地面为平面 ,PO 表示旗杆,PA,PB 表示两条绳子,A,B,O 三点不共线.PO=12 m,PA=13 m,OA=5 m,PO2+OA2=PA2,POA=90,即 OPOA.同理可证 OPOB.OA OB=O,OA?,OB?,PO.故由此能断定旗杆与地面垂直.二、能力提升1.已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA平面 ABC,则下列结论不正确的是()A.CD平面 PAFB.DF平面 PAFC.CF平面 PABD.CF平面 PAD解析:由六边形 ABCDEF 是正六边形,可得 CFAB,利用线面平行的判定定理可得CF平面 PAB,C正确;同理可得 CD平面 PAF,A 正确;在正六边形 ABCDEF 中,易得 DFAF.因为 PA平面 ABC,所以 PADF,且 PA AF=A.由线面垂直的判定定理可得DF平面 PAF,B 正确.由排除法可知选D.答案:D 2.若空间四边形 ABCD的四边相等,则它的两条对角线AC,BD 的位置关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交解析:如图,取 BD 的中点 O,连接 AO,CO,则 BDAO,BDCO.因为 AO CO=O,所以 BD平面 AOC,BDAC.又 BD,AC异面,故选 C.答案:C 3.如果 P是等边三角形 ABC所在平面外一点,且 PA=PB=PC=23,ABC 的边长为 1,那么 PA 与底面 ABC 所成的角是()A.30B.45C.60D.90解析:如图,记 O 为点 P 在 ABC内的射影.易知 O 为 ABC的中心,且 PO平面 ABC,则PA与底面 ABC所成的角即为 PAO,AO=33?=33,?=23,所以cosPAO=?=32,故PAO=30.故选 A.答案:A 4.如图,PA平面 ABC,BCAC,则图中直角三角形的个数为.解析:?平面?平面?=?BC平面 PAC?BCPC,所以直角三角形有 PAB,PAC,ABC,PBC.答案:4 5.如图,已知 ABC 为等腰直角三角形,P为空间一点,且 AC=BC=5 2,?AC,PCBC,PC=5,AB 的中点为 M,连接 PM,CM,则 PM 与平面 ABC 所成的角的大小为 .解析:由 PCAC,PCBC,AC BC=C,知 PC平面 ACB,所以PMC 为 PM 与平面 ABC所成的角.因为 ABC 为等腰直角三角形,M 是 AB的中点,所以 AB=(5 2)2+(5 2)2=10,CM=12?=5.又 PC=5,所以PMC=45.答案:456.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是.(只填序号)BD平面 CB1D1;AC1BD;AC1平面 CB1D1;异面直线 AD 与 CB1所成的角为 60.解析:由于 BDB1D1,BD?平面 CB1D1,B1D1?平面 CB1D1,则 BD平面 CB1D1,所以正确;由于 BDAC,BDCC1,AC CC1=C,所以 BD平面 ACC1,所以 AC1BD.所以正确;可以证明 AC1B1D1,AC1B1C,又 B1D1 B1C=B1,所以 AC1平面 CB1D1,所以正确;由于 ADBC,则BCB1=45是异面直线 AD 与 CB1所成的角,所以错误.答案:7.如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA平面 ABCD,ABC=60,E是 BC的中点,连接 AE,AC.求证:AEPD.证明:因为四边形 ABCD 为菱形,ABC=60,所以 ABC 为正三角形.因为 E 为 BC 的中点,所以 AEBC.因为 BCAD,所以 AEAD.因为 PA平面 ABCD,AE?平面 ABCD,所以 PAAE.又 PA?平面 PAD,AD?平面 PAD,且 PA AD=A,所以 AE平面 PAD.又 PD?平面 PAD,所以 AEPD.8.如图,在四棱锥 P-ABCD中,PA底面 ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.(1)求 PB和平面 PAD所成的角的大小;(2)求证:AE平面 PCD.(1)解:在四棱锥 P-ABCD 中,因为 PA底面 ABCD,AB?平面 ABCD,所以 PAAB.又 ABAD,PA AD=A,所以 AB平面 PAD.所以 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA,即APB为 PB和平面 PAD 所成的角.在 Rt PAB 中,AB=PA,故APB=45.(2)证明:在四棱锥 P-ABCD 中,因为 PA底面 ABCD,CD?平面 ABCD,所以 CDPA.因为 CDAC,PA AC=A,所以 CD平面 PAC.又 AE?平面 PAC,所以 AECD.由 PA=AB=BC,ABC=60,可得 AC=PA.因为 E 是 PC 的中点,所以 AEPC.又 PC CD=C,所以 AE平面 PCD.
