【最新】2020届四川省高三大数据精准教学第二次统一监测数学(文)试题(解析版).pdf

第 1 页 共 21 页2020 届四川省高三大数据精准教学第二次统一监测数学（文）试题一、单选题1已知集合130Ax xx，12Bxx，则AB（）A1,1B1,2C1,3D1,3【答案】D【解析】解一元二次不等式得集合A，再求并集即可.【详解】由130 xx得13x，所以1,31,21,3AB，故选：D.【点睛】本小题主要考査一元二次不等式的解法、并集等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.2若复数z满足1234zii，则z（）A12iB12iC5 10iD5 10i【答案】B【解析】利用复数的乘法与除法以及复数模的运算即可求解【详解】由345 125 12121212125iiiziiii.故选：B【点睛】本题主要考査复数模的概念、复数运算等基础知识；考査运算求解能力，属于基础题.3某人坚持跑步锻炼，根据他最近20周的跑步数据，制成如下条形图：第 2 页 共 21 页根据条形图判断，下列结论正确的是（）A周跑步里程逐渐增加B这 20周跑步里程平均数大于30kmC这 20 周跑步里程中位数大于30kmD前 10 周的周跑步里程的极差大于后10 周的周跑步里程的极差【答案】D【解析】由统计图表可知，周跑步里程的变化情况，也可判断平均和中位数，极差从而可选出答案.【详解】解：从统计图表看，周跑步里程并不是逐渐增加，所以A不正确；从表中看，20 周中，周跑步里程大于30km的有 6 周，所以平均数和中位数都不可能大于 30km，所以 B,C 不正确；由统计图表中的数据可得，前前 10 周的周跑步里程的极差为10km，后 10 周的周跑步里程的极差小10km，所以 D正确故选：D【点睛】本小题主要考查统计图表等基础知识；考查数据处理能力和应用意识；考查统计思想.4若 x，y 满足0020 xyxy，则2zxy的最大值为（）A6 B 4 C3 D0【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可求出结果【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）第 3 页 共 21 页不等式组表示的可行域是以0,0，2,0，0,2为顶点的三角形及其内部，由2zxy得2yxz，平移直线2yxz，由图象可知当直线2yxz经过点2,0时，直线2yxz的截距最大，此时z取得最大值，最大值为4.故选：B.【点睛】本题主要考查线性规划问题等基础知识；考查数形结合等思想方法.5ABC的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若sin2sinBA，3C，则ca的值为（）A3B33C2 D12【答案】A【解析】首先由正弦定理可得2ba，结合余弦定理即可得结果.【详解】由sin2sinBA，据正弦定理有2ba，又3C，根据余弦定理有222cos2abcCab，即222214222aaca，223ca故3ca.故选：A.【点睛】本小题主要考查正弦定理，余弦定理等基础知识，考查运算求解能力及应用意识，考查第 4 页 共 21 页化归与转化等思想方法.6函数2xxxfxee的大致图像是（）ABCD【答案】D【解析】判断函数的奇偶性，可排除A，B；利用基本不等式，可排除C.【详解】2xxxfxeefxfx为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B 当0 x时，22xxxfxxee，排除 C 故选：D【点睛】本题主要考查函数图象和性质等基础知识，考查特殊与一般等思想方法.7已知直线l经过圆22:2 34Cxy的圆心，l与圆 C 的一个交点为P，将直线l绕点 P 按顺时针方向旋转30 得到直线l，则直线l被圆 C 截得的弦长为（）A4 B2 3C2 D1【答案】B【解析】由于点 P 在圆 C，则可得2PC，再利用弦心距，半径和弦之间的关系，用勾股定理求解即可.【详解】解：由题意知，2PC.如图，设l与圆交于 P，Q 两点，线段PQ的中点为H，则在Rt PHC中，cos303PHPC，故直线l被圆 C 截得的弦长2 3PQ.故选：B 第 5 页 共 21 页【点睛】本小题主要考查直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考査运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化、数形结合等思想方法，属于基础题.8如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为2 3的正三角形，点C 是底面圆上异于A，B 的动点，则S，A，B，C 四点所在球面的半径是（）A2 B2 3C4 D与点 C 的位置有关【答案】A【解析】设底面圆的圆心为O，S，A，B，C 四点所在球面的球心为1O，由圆锥的性质可知 SO平面ABC，再根据题意可知3SO，3AO，最后在1RtO AO中，利用勾股定理，即可求出结果.【详解】如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C 四点所在球面的球心为1O，连接SO，则 SO平面ABC，且1O在线段SO上.第 6 页 共 21 页因为直径AB与侧棱SA，SB构成边长为2 3的正三角形，易知3SO，3AO.设球1O的半径为R，在1RtO AO中，由勾股定理得22233RR，解得2R.故选：A.【点睛】本小题主要考查圆锥的概念、球面面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.9以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现.如图，D，E，F 为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分），若在ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（）A32B2 339C336D326【答案】C【解析】设三角形ABC边长为2，分别求出阴影部分与三角形ABC的面积，其面积之比即为点取自于该勒洛三角形部分的概率.【详解】设三角形ABC边长为 2，则正三角形DEF边长为 1，图中勒洛三角形面积为21113+=311 1sin 601 1sin 60622DEFDEFSSSSE-DF第 7 页 共 21 页33336442，ABC面积为122 sin6032，所求概率33362 3P.故选：C.【点睛】本题主要考査几何概型等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识.属于基础题.10 若函数sin0,0,0yAx Ax的图像上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A（）A 4B2CD2【答案】D【解析】以函数sin0,0,0yAx Ax的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，由对称性易知该直角三角形为等腰直角三角形，作出草图，根据三角函数的周期和最值即可求出结果【详解】作出函数sin0,0,0yAx Ax的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点.设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P.第 8 页 共 21 页根据正弦函数图象的对称性，易知MNP为等腰直角三角形，且斜边上的高2PQA，所以斜边4MNA，则sinyAx 周期4TA.由2T，有224TA，所以2A.故选：D.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象及其性质等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识；考查化归与转化、数形结合等思想方法.11若函数1ln1xfxxx，且210fafa，则 a 的取值范围是（）A1,3B1 1,2 3C10,3D10,2【答案】C【解析】首先求出函数的定义域，判断函数出fx为奇函数且在1,1上单调递减，利用单调性以及奇偶性可得11112121aaaa，解不等式组即可.【详解】由题知fx的定义域为1,1，且12lnln111xfxxxxx，所以fx为奇函数且在1,1上单调递减，由210faf a，可知21fafa，于是有11112121aaaa，解得103a.故选：C【点睛】本小题主要考查函数基本性质、不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力、抽象概括能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等思想方法，属于基础题.12已知直线l与抛物线24xy交于 A，B 两点，0OA OB（其中 O 为坐标原点）.若OPOA OB，则直线OP的斜率的取值范围是（）A,22,B,44,第 9 页 共 21 页C,22,D,2 222,【答案】D【解析】设11,A x y，22,B xy，易知1212,P xxyy，又0OA OB，利用数量积的坐标运算，可得1216x x；利用斜率公式化简可得直线OP的斜率为121284xxkxx，再利用基本不等式，即可求出结果.【详解】如图，设11,A x y，22,B xy，因为OPOAOB，则1212,P xxyy，又0OA OB，即12120 x xy y，即221212016x xx x，即1216x x，设直线OP的斜率为k，则1212yykxx2221212121212121228444xxx xxxxxxxxxxx，121284xxkxx1212822 24xxxx，当且仅当121284xxxx，即124 2xx时等号成立，故,2 22 2,k.故选：D.【点睛】第 10 页 共 21 页本题主要考査直线与抛物线的方程及其位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力及创新意识；考查化归与转化、数形结合等思想方法.二、填空题13已知向量1,2a，3,4b，若/a b，则实数_.【答案】12【解析】由/a b直接列方程，可得的值.【详解】解：因为/a b，所以4 12 3，解得12.故答案为：12【点睛】此题主要考查共线向量、平面向量的数量积等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题.14若5cos45，则 sin 2_.【答案】35【解析】用诱导公式变形sin 2cos(2)2，然后再用余弦的二倍角公式计算【详解】由题意2253sin 2cos22cos1212455.故答案为：35【点睛】本题主要考查诱导公式、余弦的二倍角公式、三角函数求值等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想.15 所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体，它在这两个平面内的面叫拟柱体的底面，两底面之间的距离叫拟柱体的高，可以证明：设拟柱体的上、下底面和中截面（与底面平行且与两底面等距离的平面截几何体所得的截面）的面积分别为S，S，0S，高为 h，则拟柱体的体积为016Vh SSS.若某拟柱体的三视图如图所示，则其体积为 _.第 11 页 共 21 页【答案】1076【解析】由三视图还原出拟柱体，得出拟柱体中的尺寸，然后根据所给公式计算【详解】由三视图可还原几何体直观图如下图，上下底面都是矩形，易知43S，2 3S，0343352224S，4h，代入公式可求得1351074(126)646V.【点睛】本小题主要考査三视图等基础知识；考査空间想象能力、推理论证能力、应用意识及创新意识.16若关于 x 的不等式ln1xax恒成立，则a的最小值是 _.【答案】21e【解析】由函数的定义域进行参变分离可得ln1xax恒成立，设ln1xfxx，利用导数求函数的最大值，即可求出a的最小值.【详解】由于0 x，则原不等式可化为ln1xax，设ln1xfxx，则221ln12lnxxxxfxxx，当20,xe时，0fx，fx递增；2,xe，0fx，fx递减，可得fx在2xe处取得极大值，第 12 页 共 21 页且为最大值21e.所以21ae，则 a 的最小值为21e.故答案为:21e.【点睛】本题考查了函数的导数等基础知识，考查抽象概括、运算求解等数学能力，考査化归与转化、数形结合等思想方法.本题的关键是将不等式恒成立问题转化成求函数的最值问题.三、解答题17已知数列na的前 n 项和是nS，且22nnSa.（1）求数列na的通项公式；（2）记2222lognnba，求数列nb的前n项的和nT的最大值.【答案】（1）2nna；（2）110.【解析】（1）当1n，11aS，根据22nnSa即可求出12a；当2n时1nnnaSS代入数据，即可求得na的通项公式；（2）由（1）可得2nna，则可得*222nbn nN，根据定义可判断nb是公差为2的等差数列，根据等差数列的单调性，即可得110b，故当10n或 11 时，数列nb的前 n项和nT取得最大值，代入前n项公式即可求解.【详解】（1）对于数列na，当1n时，由22nnSa得12a.当2n时，由22nnSa，可得1122nnSa(2)n两式相减得12nnaa(2)n，所以数列na是首项为 2，公比为2 的等比数列，又1n满足等比数列，所以数列na的通项公式2nna*nN.（2）由（1）知：*2222log2222nnbn nN1222222(1)2nnbbnn，第 13 页 共 21 页所以nb是公差为-2的等差数列，由1222022210nnbnbn，解得1011n.所以当10n或 11 时，数列nb的前 n 项和nT取得最大值，其最大值为1101011105 2021102TbbTT最大值【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式等基础知识；考查运算求解能力及应用意识；考查分类与整合、化归与转化等思想方法，属中档题.18 某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系.现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（）的8 组数据，并制成如图所示的散点图.根据收集到的数据，计算得到如下值：xy821iixx18iiiyyxx1812.325224.04235.96（1）求出 y 关于 x 的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28时月生长量y 的预报值；（2）根据 y 关于 x 的回归方程，得到残差图如图所示，分析该回归方程的拟合效果.第 14 页 共 21 页附：对于一组数据122,nnvvv，其回归直线?v的斜率和截距的最小二乘估计分别为121?nliiniivv，?v.【答案】（1）?1.056.63yx，22.77cm；（2）答案见解析.【解析】（1）代入公式求?b和?a，得到?1.056.63yx，再将28x代入计算；（2）根据残差图的特征分析即可.【详解】（1）设月生长量y 与月平均气温x 之间的线性回归方程为?yabx.81821235.96?1.053224.04iiiiiyyxxbxx所以?12.3251.053 186.63aybx则 y 关于 x 的线性回归方程为?1.056.63yx当28x时，1.05286.6322.77y（cm）.所以，在气温在28时，该植物月生长量的预报值为22.77cm.（2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，该回归方程的预报精度相应会较高，说明拟合效果较好【点睛】本小题主要考査回归方程、统计案例等基础知识；考查抽象概括、数据处理、运算求解等能力和应用意识.19如图，在四边形ABCD中，/AD BC，ABAD，30ABE，90BEC，2ADa，E是AD的中点.现将ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P.第 15 页 共 21 页（1）若3FCPF，求证：/DF平面PBE；（2）若平面PBE平面BCDE，三棱锥CPDE的体积为14，求线段BE的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2BE.【解析】（1）在线段PB上取靠近点P的四等分点G，根据长度和角度关系可证得四边形DEGF为平行四边形，结合线面平行的判定定理可证得结论；（2）利用面面垂直性质可证得EC平面PBE，采用体积桥的方式可求得CPBEV，进而构造方程可求得结果.【详解】（1）2ADa，E为AD中点，DEAEa，30ABE，ABAD，2BEa，又90BEC，30ECBABE，4BCa，1/,4DE BC DEBC，在线段PB上取靠近点P的四等分点G，连接FG，EG，3FCPF，14PGPFPBPC，1/,=4GF BC GFBC，,/DEFG DEFG，第 16 页 共 21 页四边形DEGF为平行四边形，/DFEG，又 DF平面PBE，EG平面PBE，/DF平面PBE.（2）由90BEC得：BEEC.平面PBE平面BCDE，平面PBE平面BCDEBE，EC平面BCDE，EC平面PBE由（1）知：4BCDE，则4BECDECSS，111444CPDEP CDEPBECCPBEVVVV，1CPBEV.由21132 31332CPBEPBEVECSaaa，解得：1a，22BEa.【点睛】本小题主要考查平面与平面垂直的性质、直线与平面平行的判定、棱锥体积公式等基础知识；考査空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.20在直角坐标系内，点 A，B 的坐标分别为2,0，2,0，P 是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于14，设点 P 的轨迹为C.（1）求轨迹C 的方程；（2）设过点1,0且倾斜角不为0 的直线l与轨迹 C 相交于 M，N 两点，求证：直线AM，BN的交点在直线4x上.【答案】（1）22104xyy；（2）证明见解析.【解析】（1）设点，列式，化简（注意斜率存在的条件），求轨迹方程.（2）直线l倾斜角不为0，设直线的方程1xmy（不用取讨论斜率是否存在），联立直线和椭圆的方程，消元，韦达定理，用点的坐标表示直线AM和BN方程，求交点00,Q xy，进而求出04x，即证明交点在直线4x.【详解】（1）设点(,)P x y，2PAykx，2PBykx则1224yyxx，得2244yx，即22104xyy.第 17 页 共 21 页故轨迹 C 的方程为：22104xyy.（2）根据题意，可设直线MN的方程为：1xmy，由22114xmyxy，消去 x 并整理得224230mymy.其中，222412416480mmm.设11,Mx y，22,N xy，则12224myym，12234y ym.因直线l的倾斜角不为0，故1x，2x不等于2（1y，2y不为 0），从而可设直线AM的方程为：1122yyxx，直线BN的方程为：2222yyxx，所以，直线AM，BN的交点00,Q xy的坐标满足：2100122222yxxxyx.而2121122121212123321yxymymy yyyxymymy yy2122121123239344433344mmymmymmmmmyym，因此，04x，即点 Q 在直线4x上.【点睛】本小题主要考查曲线轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系；考查运算求解能力和转化化归思想，属于难题.21已知函数21102xa xfxxae.（1）若曲线yfx在1x处切线的斜率为1e，判断函数fx的单调性；（2）若函数fx有两个零点，求a 的取值范围.第 18 页 共 21 页【答案】（1）答案见解析；（2）,0.【解析】（1）对fx求导，根据导数的几何意义代入1x，可求得切线的斜率，进而可得 a 的值；分别判断当0 x、0 x时，fx的正负，即可判断fx的单调性；（2）当0a时，由0fx得0 x或lnxa，分别求出1a、01a和1a时，fx的单调性，并求出极值个数；当0a时，由0fx得0 x，判断fx的单调性，可得00fxfa极小，又x时，0fx，x时，0fx，综合分析，即可得答案.【详解】（1）由题xxxaxeafxxxee，则111feae，得1a，此时1xxefxxe，由0fx得0 x.则0 x时，0fx，fx为增函数；0 x时，0fx，fx为增函数，且00f，所以fx为 R 上的增函数.（2）当0a时，由0fx得0 x或lnxa，若1a，由（1）知，fx为 R 上的增函数.由1102f，2220fe，所以fx只有一个零点，不符合题意.若01a，则lnxa时，0fx，fx为增函数；ln0ax时，0fx，fx为减函数；0 x时，0fx，fx为增函数.而00fxfa极小，故fx最多只有一个零点，不符合题意.若1a时，则0 x时，0fx，fx为增函数；0lnxa时，0fx，fx为减函数；lnxa时，0fx，fx为增函数.得21lnlnln102faaafx极小，故fx最多只有一个零点，不符合第 19 页 共 21 页题意.当0a时，由0fx得0 x，由0 x得0fx，fx为减函数，由0 x得0fx，fx为增函数，则00fxfa极小.又1(1)02f,1222111(1)2(2)2(1)421(1)022aaaaeaaaaaafaeee，所以当0a时，fx始终有两个零点.综上所述，a 的取值范围是,0【点睛】本题主要考查函数图像和性质、函数零点、不等式、函数的导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识和创新意识；考查分类与整合、化归与转化、数形结合等思想方法，属中档题.22在平面直角坐标系xOy中，曲线143:xtCyt（t 为参数），曲线21cos:sinxCy，（为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线1C，2C的极坐标方程；（2）射线tan0,02yxx分别交1C，2C于 A，B 两点，求OBOA的最大值.【答案】（1）cos3sin40，2cos；（2）34.【解析】（1）对于曲线1C代入消元，消去t.对于曲线2C利用22sin+cos1，消去.再利用222cossinxxyy，即可化为极坐标方程.（2）联立射线tanyx的极坐标方程为与曲线1C，2C的极坐标方程，即可用角表示出OA、OB，化简后根据02即可求出OBOA的最大值.【详解】第 20 页 共 21 页（1）消去参数t，得曲线1C的直角坐标方程为340 xy，则曲线1C的极坐标方程为cos3sin40.消去参数，得曲线2C的直角坐标方程为2211xy，即2220 xyx，所以曲线2C的极坐标方程为22cos0，即2cos（2）射线tan0,02yxx的极坐标方程为02，联立cos3 sin40，得4cos3 sinA，所以4cos3 sinOA；由2cos，得2cosB，则2cosOB，因此2coscos3sin4OBOAcos213sin 211sin 24264由02，得72666.所以，当262，即6时，max113244OBOA.故OBOA的最大值为34【点睛】本题主要考查曲线的参数方程、极坐标方程及其互化等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合、化归与转化等思想方法.属于基础题.23已知函数32fxxx.（1）求fx的值域；（2）记函数fx的最小值为M.设 a，b，c 均为正数，且abcM，求证：14912abc.【答案】（1）3,；（2）证明见解析.第 21 页 共 21 页【解析】（1）利用零点分界法即可求解.（2）由（1）fx的最小值为3，可得3abc，由149149abcabcabc，然后再利用基本不等式即可证出.【详解】（1）当3x时，3233fxxxx，此时6,fx；当30 x时，323fxxxx，此时3,6f x（）；当0 x时，3233fxxxx，此时3,fx，综上，函数fx的值域为3,（2）由（1）知，函数fx的最小值为3，则3M，即3abc.因为149494914bacacbabcabcabacbc494914222bacacbabacbc36其中，当且仅当12a，1b，32c取“=”.又因为3abc，所以14912abc.【点睛】本小题主要考查含绝对值不等式的解法、基本不等式、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化等思想方法，属于基础题.