【精编】电磁场与电磁波习题答案.pdf

第 二 章2-1若 真 空 中 相 距 为 d 的 两 个 电 荷 q1及 q2的 电 量 分 别为 q 及 4q，当 点 电 荷q位 于 q1及 q2的 连 线 上 时，系 统 处于 平 衡 状 态，试 求q的 大 小 及 位 置。解要 使 系 统 处 于 平 衡 状 态，点 电 荷q受 到 点 电 荷q1及q2的 力 应 该 大 小 相 等，方 向 相 反，即qqqqFF21。那 么，由1222022101244rrrqqrqq，同 时 考 虑 到drr21，求 得drdr32,3121可 见 点 电 荷q可 以 任 意，但 应 位 于 点 电 荷 q1和 q2的 连 线上，且 与 点 电 荷1q相 距d31。2-2已 知 真 空 中 有 三 个 点电 荷，其 电 量 及 位 置 分 别为：)0,1,0(,4)1,0,1(,1)1,0,0(,1332211PCqPCqPCq试 求 位 于)0,1,0(P点 的 电 场强 度。解令321,rrr分 别 为 三 个 电 电 荷 的 位 置321,PPP到 P 点 的距 离，则21r，32r，23r。利 用 点 电 荷 的 场 强 公 式reE204rq，其 中re为 点 电荷 q 指 向场 点 P 的单 位 矢 量。那 么，习 题 图 2-2 z x 1q2q3qPE3 E2 E1 1q在P 点 的 场 强 大 小 为021011814rqE，方 向 为zyreee211。2q在P 点 的 场 强 大 小 为0220221214rqE，方 向 为zyxreeee312。3q在P 点 的 场 强 大 小 为023033414rqE，方 向 为yree3则 P 点 的 合 成 电 场 强 度 为zeeeEEEEyx31212814131212813121103212-3直 接 利 用 式（2-2-14）计 算 电 偶 极 子 的 电 场 强 度。解令 点 电 荷q位 于 坐 标 原 点，r为 点 电 荷q至 场 点P的 距 离。再 令 点 电 荷q 位于+z坐 标 轴 上，1r为 点 电 荷q至 场 点 P 的 距 离。两 个 点 电 荷 相 距 为 l，场 点 P 的 坐 标 为（r,）。根 据 叠 加 原 理，电 偶 极 子 在 场 点 P 产 生 的 电 场 为311304rrqrrE考 虑 到 r l，1re=er，cos1lrr，那 么 上 式 变 为rrrrrrrrqrrrrqeeE2121102122210)(44式 中2122212211cos211cos2rlrlrrllrr以rl为 变 量，并 将2122cos21rlrl在 零 点 作 泰 勒 展开。由 于rl，略 去 高 阶 项 后，得cos1cos11211rlrrlrr利 用 球 坐 标 系 中 的 散 度 计 算 公 式，求 出 电 场 强 度 为reeE3030204sin2cos1cos14rqlrqlrrlrq2-4 已 知 真 空 中 两 个 点 电 荷 的 电 量 均 为6102C，相 距 为2cm，如习 题 图2-4所 示。试 求：P 点 的 电 位；将电 量 为6102C 的 点 电 荷 由 无 限 远 处 缓 慢 地 移 至 P 点 时，外 力 必 须 作 的 功。解根 据 叠加 原 理，P 点的 合 成 电 位 为V105.24260rq因 此，将 电 量 为C1026的 点 电 荷 由 无 限 远 处 缓 慢 地 移 到P 点，外 力 必 须 做 的 功 为J5qW2-5 通 过 电 位 计 算 有 限 长 线 电 荷的 电 场 强 度。1cm P 1cmq q 1cm r习 题 图 2-4 解建 立 圆 柱 坐标 系。令 先 电荷 沿z 轴 放 置，由 于 结 构 以 z轴 对 称，场 强 与无 关。为 了 简单 起 见，令 场 点 位 于 yz 平 面。设 线 电 荷 的 长 度 为 L，密 度 为l，线 电 荷 的 中 点 位 于 坐 标 原点，场 点 P 的坐 标 为zr,2,。利 用 电 位 叠 加 原 理，求 得 场 点P 的电 位 为2200d4LLlrl式 中220rlzr。故22220222202222ln4ln4rLzLzrLzLzrlzlzlLLl因E，可 知 电 场 强 度 的 z 分 量 为222202222ln4rLzLzrLzLzzzElzy 习 题 图 2-5 r0P z zro dll 122222021214rLzrLzl2202112114rLzrLzrl22220224LzrrLzrrrl120sinsin4rl电 场 强 度 的 r 分量 为222202222ln4rLzLzrLzLzrrElr222202224rLzLzrLzrl2222222rLzLzrLzr2202122114rLzrLzrLzrl22212211rLzrLzrLz121120tan11tan1tan1114rl22222tan11tan1tan111210cos1cos14rl210coscos4rl式 中2tanarc,2tanarc21LzrLzr，那 么，合 成 电 强 为rzlreeE12120coscossinsin4当 L时，,021，则 合 成 电 场 强度 为rlreE02可 见，这 些 结 果 与 教 材 2-2 节 例 4 完 全 相 同。2-6 已 知 分 布 在 半 径 为a 的 半 圆 周 上 的 电 荷 线 密 度0,sin0l，试 求 圆 心 处 的 电 场 强 度。解建 立 直角 坐 标，令 线 电 荷 位 于 xy 平 面，且 以 y 轴 为对 称，如 习 题 图2-6所 示。那 么，点 电 荷lld在 圆 心 处产 生 的 电 场 强 度 具 有 两 个 分 量 Ex和 Ey。由 于 电 荷 分 布 以y 轴 为 对 称，因 此，仅 需 考 虑 电 场 强 度 的yE分 量，即sin4ddd20alEEly考 虑 到sin,dd0lal，代 入 上 式 求 得 合 成 电 场 强 度为yyaaeeE0002008dsin42-7 已 知 真 空 中 半 径 为 a 的 圆 环 上 均 匀 地 分 布 的 线 电 荷密 度 为l，试 求 通 过 圆 心 的 轴 线 上 任 一 点 的 电 位 及 电 场强 度。习 题 图 2-6 ay x o ldE 习 题 图 2-7 x y z P r o a dl y 解建 立 直 角 坐 标，令 圆 环 位 于 坐 标 原 点，如 习 题 图 2-7所 示。那 么，点 电 荷lld在 z 轴 上 P 点 产 生 的 电 位 为rll04d根 据 叠 加 原 理，圆 环 线 电 荷 在 P点 产 生 的 合 成 电 位 为2202002002d4d41zaalrlrzlalal因 电 场 强 度E，则 圆 环 线 电 荷 在 P 点 产 生 的 电场 强 度 为232202zaazzzlzzeeE2-8 设 宽 度 为 W，面 密 度 为S的 带 状 电 荷 位 于 真 空 中，试 求 空 间 任 一 点 的 电 场 强 度。解建 立 直角 坐 标，且 令 带 状 电 荷 位 于 xz 平 面 内，如 习题 图 2-8 所 示。带 状 电荷 可 划 分 为 很 多 条 宽 度 为xd的 无限 长 线 电 荷，其 线 密 度 为xsd。那 么，该 无 限 长 线 电 荷习 题 图 2-8 x y z 2w2wxdo r y x 2w2wdxx(a)(b)P(x,y)产 生 的 电 场 强 度 与 坐 标 变 量z 无 关，即reErxs02dd式 中22yxxryxxrryrxxyxyxreeeee1得yxxyxxxsyxeeE2202dd那 么yxxyxxxswwyxeeE220222dywxywxywxywxss2arctan2arctan222ln4022220yxee2-9 已 知 均 匀 分 布 的 带 电 圆 盘 半 径 为 a，面 电 荷 密 度为S，位 于 z=0 平 面，且 盘 心 与 原 点 重 合，试 求 圆 盘轴 线 上 任 一 点 电 场 强 度E。解如 图2-9 所 示，在圆 盘 上 取 一 半 径 为r，宽 度 为rd的圆 环，该 圆 环 具 有 的 电 荷 量 为srrqd2d。由 于对 称 性，该 圆 环 电 荷 在z轴 上 任 一 点P产生 的 电场 强 度 仅 的r有z分 量。根 据 习 题 2-7 结 果，获 知 该圆 环 电 荷 在 P习 题 图 2-9 o x y z r drP(0,0,z)产 生 的 电 场 强 度 的z分 量 为232202ddzrrzrEsz那 么，整 个 圆 盘 电 荷 在P产 生 的 电 场 强 度 为2200232202d2azzzzrzrzrszaszeeE2-10 已 知 电 荷 密 度 为S及S的 两 块 无 限 大 面 电 荷 分别 位 于 x=0 及 x=1 平 面，试 求10,1xx及0 x区域 中 的 电 场 强 度。解无 限 大平 面 电 荷 产 生 的 场 强 分 布 一 定 是 均 匀 的，其 电场 方 向 垂 直 于 无 限 大 平 面，且 分 别 指 向 两 侧。因 此，位于 x=0 平 面 内 的 无 限 大 面 电 荷S，在 x 0区 域 中 产 生 的 电 场 强度11ExeE。位 于 x=1 平 面 内 的 无 限 大 面 电 荷S，在x 1区 域 中产 生 的 电 场 强 度22ExeE。由 电 场 强 度 法 向 边 界 条 件 获 知，01010 xsEE02020 xsEE即01010 xsEE12020 xsEE由 此 求 得0212sEE根 据 叠 加 定 理，各 区 域 中 的 电 场 强 度 应 为0,02121xEExxeeEEE10,02121xEEsxxeeEEE1,02121xEExxeeEEE2-11若 在 球 坐 标 系 中，电 荷 分 布 函 数为brbraar0,100,06试 求braar,0及br区 域 中 的 电 通 密 度D。解作 一 个 半 径 为 r 的 球 面 为 高 斯 面，由对 称 性 可 知reDsD24drqqs式 中 q 为闭 合 面 S 包 围 的 电 荷。那 么在ar0区 域 中，由 于 q=0，因 此 D=0。在bra区 域 中，闭 合 面 S 包 围 的 电 荷 量 为3363410darvqv因 此，reD2336310rar在br区 域 中，闭 合 面 S 包 围 的 电 荷 量 为3363410dabvqv因 此，reD2336310rab2-12 若 带 电 球 的 内 外 区 域 中 的 电 场 强 度 为araqrarrq,2reE试 求 球 内 外 各 点 的 电 位。解在ar区 域中，电 位 为aqraaqraarr222dddrErErE在ar区 域 中，rqrrrEd2-13 已 知 圆 球 坐 标 系 中 空 间 电 场 分 布函 数 为arraarr,253reE试 求 空 间 的 电 荷 密 度。解利 用 高 斯 定 理 的 微 分 形 式0E，得 知 在 球 坐 标系 中rErrrr2200dd1E那 么，在ar区域 中 电 荷 密 度 为205205dd1rrrrr在ar区域 中 电 荷 密 度 为0dd1520arrr2-14 已 知 真 空 中 的 电 荷 分 布 函 数 为ararrr,00,)(2式 中 r 为球 坐 标 系 中 的 半 径，试 求 空 间 各 点 的 电 场 强 度。解由 于 电荷 分 布 具 有 球 对 称 性，取 球 面 为 高 斯 面，那 么根 据 高 斯 定 理在ar0区 域 中502254d4drrrrvrqrvrrrrreeE03052515441在ar区 域 中502254d4darrrvrqavrrraareeE0250525154412-15 已 知 空 间 电 场 强 度zyxeeeE543，试 求（0,0,0）与（1,1,2）两 点 间 的 电 位 差。解设 P1点 的 坐 标 为（0,0,0,）,P2点 的 坐 标 为（1,1,2,），那 么，两 点 间 的 电 位 差 为21dPPVlE式 中zyxdddd,543zyxzyxeeeleeeE，因 此 电 位差 为V3d5d4d32,1,10,0,0zyxV2-16已 知 同 轴 圆 柱 电 容 器 的 内 导 体 半 径 为 a，外 导 体 的内 半 径 为 b。若 填 充 介 质 的 相 对 介 电 常 数2r。试 求 在外 导 体 尺 寸 不 变 的 情 况 下，为 了 获 得 最 高 耐 压，内 外 导体 半 径 之 比。解已 知 若同 轴 线 单 位 长 度 内 的 电 荷 量 为 q1，则 同 轴 线 内电 场 强 度reErq21。为 了 使 同 轴 线 获 得 最 高 耐 压，应 在保 持 内 外 导 体 之 间 的 电 位 差 V 不 变 的 情 况 下，使 同 轴 线内 最 大 的 电 场 强 度 达 到 最 小 值，即 应 使 内 导 体 表 面ar处 的 电 场 强 度 达 到 最 小 值。因 为 同 轴 线 单 位 长 度 内 的 电容 为VabqabVqCln2ln2111则 同 轴 线 内 导 体 表 面ar处 电 场 强 度 为ababbVabaVaElnln)(令 b 不 变，以 比 值ab为 变 量，对 上 式 求 极 值，获 知 当 比值eab时，aE取 得 最 小值，即 同 轴 线 获 得 最 高 耐 压。2-17若 在 一 个 电 荷 密 度 为，半 径 为 a 的 均 匀 带 电 球中，存 在 一 个 半 径 为 b 的 球 形 空 腔，空 腔 中 心 与 带 电 球中 心 的 间 距 为 d，试 求 空 腔 中 的 电 场 强 度。解此 题 可利 用 高 斯 定 理 和 叠 加 原 理 求 解。首 先设 半 径 为a的 整 个 球 内 充 满 电 荷 密 度 为的 电 荷，则 球 内 P 点 的 电场 强 度 为reErP0320133441rr式 中r是 由 球 心 o 点 指 向 P 点 的 位 置 矢 量，再 设 半 径 为 b的 球 腔 内 充 满 电 荷 密 度 为的 电 荷，则 其 在 球 内 P点 的电 场 强 度 为reErP0320233441rr式 中 r 是 由 腔 心 o 点 指 向 P 点 的 位 置 矢 量。那 么，合 成 电 场 强 度PPEE21即 是 原 先 空 腔 内 任 一点 的 电 场 强 度，即drrEEEPPP002133习 题 图 2-17 o b a P r d ro式 中 d 是 由 球 心 o 点 指 向 腔 心 o 点 的 位 置 矢 量。可 见，空腔 内 的 电 场 是 均 匀 的。2-18 已 知 介 质 圆 柱 体 的 半 径为 a，长 度 为 l，当 沿轴 线 方 向 发生 均 匀 极 化 时，极 化 强 度 为P，试 求 介 质 中 束 缚 电 荷 在 圆 柱 内 外轴 线 上 产 生 的 电 场 强 度。解建 立 圆柱 坐 标，且 令 圆 柱 的 下端 面 位 于 xy 平 面。由 于 是 均 匀 极化，故 只 考 虑 面 束 缚 电 荷。而 且该 束 缚 电 荷 仅 存 在 圆 柱 上 下 端 面。已 知 面 束 缚 电 荷 密 度与 极 化 强 度 的 关 系 为nseP式 中 en为 表 面 的 外 法 线 方 向 上 单 位 矢 量。由 此求 得 圆 柱体 上 端 面 的 束 缚 电 荷 面 密 度 为Ps1，圆 柱 体 下 端 面 的束 缚 面 电 荷 密 度 为Ps2。由 习 题 2-9 获 知，位 于 xy 平 面，面 电 荷 为s的 圆 盘在 其 轴 线 上 的 电 场 强 度 为zsazzzzeE2202因 此，圆 柱 下 端 面 束 缚 电 荷 在 z 轴上 产 生 的 电 场 强 度 为zazzzzPeE22022而 圆 柱 上 端 面 束 缚 电 荷 在 z 轴 上 产 生 的 电 场 强 度 为zalzlzlzlzPeE2201)(2那 么，上 下 端 面 束 缚 电 荷 在 z 轴 上 任 一 点 产 生 的 合 成 电场 强 度 为x y z aP习 题 图 2-18 P l y 222202azzzzalzlzlzlzPzeE2-19 已 知 内 半 径 为a，外 半 径 为b的 均 匀 介 质 球 壳 的 介电 常 数 为，若 在 球 心 放 置 一 个 电 量 为 q 的 点 电 荷，试 求：介 质 壳 内 外 表 面 上 的 束 缚 电 荷；各 区 域 中 的 电 场 强度。解先 求 各 区 域 中 的 电 场 强 度。根 据 介 质 中 高 斯 定 理reDsD2244drqqDrqs在ar0区域 中，电 场 强 度 为reDE2004rq在bra区域 中，电 场 强 度 为reDE24rq在br区域 中，电 场 强 度 为reDE2004rq再 求 介 质 壳 内 外 表 面 上 的 束 缚 电 荷。由 于EP0，则 介 质 壳 内 表 面 上 束 缚 电 荷 面 密度 为2020414aqaqsPePnr外 表 面 上 束 缚 电 荷 面 密 度 为2020414bqbqsPePnr2-20 将 一 块 无 限 大 的 厚 度 为d 的 介 质 板 放 在 均 匀 电 场E中，周 围 媒 质 为 真 空。已 知 介 质 板 的 介 电 常 数 为，均匀 电 场E 的 方 向 与 介 质 板 法 线 的 夹 角 为1，如 习 题 图 2-20所示。当 介 质 板 中 的 电 场 线 方 向42时，试 求 角 度1及 介 质 表面 的 束 缚 电 荷 面 密 度。解根 据 两种 介 质 的 边 界 条 件 获 知，边 界 上 电 场 强 度 切 向分 量 和 电 通 密 度 的 法 向 分 量 连 续。因 此 可 得221sinsinEE；221coscosDD已 知220,EDED，那 么 由 上式 求 得010201021arctantantantantan已 知 介 质 表 面 的 束 缚 电 荷)(0EDePenns，那 么，介 质 左 表 面 上 束 缚 电 荷 面 密 度 为10021020211cos111EnsDeDePenn1介 质 右 表 面 上 束 缚 电 荷 面 密 度 为100220202222cos111EnsDeDePenn2-21 已 知 两 个 导 体 球 的 半 径 分 别 为 6cm 及 12cm，电量 均 为6103C，相 距 很 远。若 以 导 线 相 连 后，试 求：电 荷 移 动 的 方 向 及 电 量；两 球 最 终 的 电 位 及 电 量。解设 两 球 相 距 为 d，考 虑 到 d a,d b，两 个 带 电E d 112200E 习 题 图 2-20 E2en2en1球 的 电 位 为dqaq210141；dqbq120241两 球 以 导 线 相 连 后，两 球 电 位 相 等，电 荷 重 新 分 布，但 总 电 荷量 应 该 守 恒，即21及C106621qqq，求 得 两 球 最 终 的 电 量 分 别 为C10231261qqabbdadbdaqC10432262qqabbdadadbq可 见，电 荷 由 半 径 小 的 导 体 球 转 移 到 半 径 大 的 导 体 球，移 动 的 电 荷 量 为C1016。两 球 最 终 电 位 分 别 为V103415101aqV103415202bq2-22 已 知 两 个 导 体 球 的 重 量 分 别 为m1=5g，m2=10g，电量 均 为6105C，以 无 重 量 的 绝 缘 线 相 连。若 绝 缘 线 的 长度 l=1 m，且 远 大 于 两 球 的 半 径，试 求；绝 缘 线 切 断的 瞬 时，每 球 的 加 速 度；绝 缘 线 切 断 很 久 以 后，两 球的 速 度。解 绝缘 线 切 断 的 瞬 时，每 球 受 到 的 力 为N225.0410510540662021rqqF因 此，两 球 获 得 的 加 速 度 分 别 为211sm45005.0225.0mFa222sm5.2201.0225.0mFa当 两球 相 距 为 l 时，两 球 的 电 位 分 别 为lqrq2110141；lqrq1220241此 时，系 统 的 电 场 能 量 为22112121qqW绝缘 线 切 断 很 久 以 后，两 球 相 距 很 远(l a,l b)，那 么，两 球 的 电 位 分 别 为10114rq;20224rq由 此 可 见，绝 缘 线 切 断 很 久 的 前 后，系 统 电 场 能 量 的 变化 为)J(225.0442142102201102lqqlqqlqW这 部 分 电 场 能 量 的 变 化 转 变 为 两 球 的 动 能，根 据 能 量 守恒 原 理 及 动 量 守 恒 定 理 可 得 下 列 方 程：2222112121vmvmW，02211vmvm由 此 即 可 求 出 绝 缘 线 切 断 很 久 以 后 两 球 的 速 度 v1和 v2：sm74.71v；sm87.32v2-23如 习 题 图 2-23 所 示，半 径 为 a 的 导 体 球 中 有 两个 较 小 的 球 形 空 腔。若 在 空 腔 中 心 分 别 放 置 两 个 点 电 荷q1及 q2，在 距 离ar处 放 置 另 一 个 点 电 荷 q3，试 求 三 个点 电 荷 受 到 的 电 场 力。q1q2rq3a习 题 图 2-23 解根 据 原 书 2-7 节 所 述，封 闭 导 体 空 腔 具 有 静 电 屏 蔽特 性。因 此，q1与 q2之 间 没 有 作 用 力，q3对 于 q1及 q2也没 有 作 用 力。但 是 q1及 q2在 导 体 外 表 面 产 生 的 感 应 电 荷-q1及-q2，对于 q3有 作 用 力。考 虑 到 r a，根 据 库仑 定律 获 知 该 作 用 力 为203214rqqqf2-24 证 明 位 于 无 源 区 中 任 一 球 面 上 电 位 的 平 均 值 等 于其 球 心 的 电 位，而 与 球 外 的 电 荷 分 布 特 性 无 关。解已 知 电 位 与 电 场 强 度 的 关 系 为E，又 知E，由 此 获 知 电 位 满 足 下 列 泊 松 方 程02利 用 格 林 函 数 求 得 泊 松 方 程 的 解 为SVGGvGsrr,rrrr,rrr,rdd0000式 中rrrr,410G。考 虑 到3041rrrrrr,G，代 入上 式 得SVvsrrrrrrrrrrrrd41d4130若 闭 合 面 S内 为 无源 区，即0，那 么Ssrrrrrrrrrd413若 闭 合 面 S 为 一个 球 面，其 半 径 为 a，球 心 为 场 点，则arr，那 么 上 式 变 为srrrrrd413Saa考 虑 到 差 矢 量rr的 方 向 为 该 球 面 的 半 径 方 向，即 与sd的方 向 恰 好 相 反，又E,则 上 式 变 为saaSSd41d412rsEr由 于 在 S面 内 无 电 荷，则0dSsE，那 么saSd412rr由 此 式 可 见，位 于 无 源 区 中 任 一 球 面 上 的 电 位 的 平 均 值等 于 其 球心 的 电 位，而 与 球 外 的 电 荷 分 布 无 关。2-25 已 知 可 变 电 容 器 的 最 大 电 容 量pF100maxC，最小 电容 量pF10minC，外 加 直 流 电 压 为 300V，试 求 使 电 容 器 由最 小 变 为 最 大 的 过 程 中 外 力 必 须 作 的 功。解在 可 变电 容 器 的 电 容 量 由 最 小 变 为 最 大 的 过 程 中，电源 作 的 功 和 外 力 作 的 功 均 转 变 为 电 场 储 能 的 增 量，即eWWW外电源式 中)J(101.8)(6minmaxVCVCVqVW电源因 此，外 力 必 须 作 的 功 为J1005.46外W2-26若 使 两 个 电 容 器 均 为 C 的 真 空 电 容 器 充 以 电 压 V后，断 开 电 源 相 互 并 联，再 将 其 中 之 一 填 满 介 电 常 数 为r的 理 想 介 质，试 求：两 个 电 容 器 的 最 终 电 位；转 移的 电 量。解两 电 容器 断 开 电 源 相 互 并 联，再 将 其 中 之 一 填 满 相 对介 电 常 数 为r理 想 介 质 后，两 电 容 器 的 电 容 量 分 别 为CCCCr21,两 电 容 器 的 电 量 分 别 为21,qq，且CVqq221由 于 两 个 电 容 器 的 电 压 相 等，因 此rqqCqCq212211联 立 上 述 两 式，求 得rCVq121，rrCVq122因 此，两 电 容 器 的 最 终 电 位 为rVCqCqV122211考 虑 到12qq，转 移 的 电 量 为CVCVqqrr1122-27 同 轴 圆 柱 电 容 器 的 内 导 体半 径 为a，外 导 体 半 径 为b，其内 一 半 填 充 介 电 常 数 为1的 介质，另 一 半 填 充 介 质 的 介 电 常数 为2，如 习 题 图 2-27 所 示。当 外 加 电 压 为 V 时，试 求：电 容 器 中 的 电 场 强 度；各 边 界 上 的 电 荷 密 度；电 容 及 储 能。解 设内 导 体 的 外 表 面 上 单 位 长 度 的 电 量 为 q，外 导 体的 内 表 面 上 单 位 长 度 的 电 量 为q。取 内 外 导 体 之 间 一 个同 轴 的 单 位 长 度 圆 柱 面 作 为 高 斯 面，由 高 斯 定 理2a 1b 习 题 图 2-27 qssD dbra求 得qDDr21已 知222111,EDED，在 两 种 介 质 的 分 界 面 上 电 场强 度 的 切 向 分 量 必 须 连 续，即21EE，求 得2121rqEEE内 外 导 体 之 间 的 电 位 差 为abqVbalnd21rE即 单 位 长 度 内 的 电 荷 量 为abVqln121故 同 轴 电 容 器 中 的 电 场 强 度 为reEabrVln由 于 电 场 强 度 在 两 种 介 质 的 分 界 面 上 无 法 向 分量，故 此 边 界 上 的 电 荷 密 度 为 零。内 导 体 的 外 表 面 上 的 电 荷 面 密 度 为abaVsln111Eer；abaVsln222Eer外 导 体 的 内 表 面 上 的 电 荷 面 密 度 为abbVsln111Eer；abbVsln222Eer 单 位 长 度 的 电 容 为abVqCln21电 容 器 中 的 储 能 密 度 为212222121ln21d21d2121abVvEvEwVVe2-28 一 平板 电 容 器 的 结 构 如 习 题 图 2-28所 示，间 距为d，极 板 面 积 为ll。试 求：接 上 电 压 V 时，移 去 介 质 前 后 电 容 器 中 的 电 场 强 度、电 通 密 度、各 边 界 上 的 电 荷 密 度、电 容 及 储 能；断 开 电 源 后，再 计 算 介 质 移 去 前 后 以 上 各 个 参 数。解 接 上 电 源，介 质 存 在 时，介 质 边 界 上 电 场 强 度 切 向分 量 必 须 连 续，因 此，介 质 内 外 的 电 场 强 度 E 是相 等 的，即 电 场 强 度 为dVE。但 是 介 质 内 外 的 电 通 密 度 不 等，介质 内dVED，介质 外dVED000。两 部 分 极 板 表 面 自 由 电 荷 面 密 度 分 别 为dVs，dVs00电容 器 的 电 量dVllqss222002电容 量 为dlVqC220电 容 器 储 能 为dVlqVW4)(21220若 接 上 电 压 时，移 去 介 质，那 么 电 容 器 中 的 电 场 强度 为dVE电 通 密 度 为极 板 表 面 自 由 电 荷 面 密 度 为dVEs00电 容 器 的 电 量 为dVllqs202d l/2K V l/2习 题 图 2-28 电 容 量 为dlVqC20电 容 器 的 储 能 为dVlqVW221220 断 开 电 源 后，移 去 介 质 前，各 个 参 数 不 变。但 是若 移 去 介 质，由 于 极 板 上 的 电 量 q不 变，电 场 强 度 为00202dVlqE电 通 密 度 为dVED200极 板 表 面 自 由 电 荷 面 密 度 为dVs20两 极 板 之 间 的 电 位 差 为002VEdV电 容 量 为dlVqC02电 容 器 的 储 能 为02022821dVlqVW2-29 若 平 板 电 容 器 的 结 构 如 习 题 图 2-29所 示，尺 寸 同上 题，计 算 上 题 中 各 种 情 况 下 的 参 数。解 接 上 电 压，介 质 存 在 时，介 质 内 外 的 电 通 密 度 均为2lqD，因 此，介 质 内 外 的 电 场 强 度 分 别 为d/2d/2l 习 题 图 2-29 2lqE；020lqE两 极 板 之 间 的 电 位 差 为020022lqdEEdV。则dVEdVEdVlq00000022,22则 电 位 移 矢 量 为dVED002；dVED000002极 板 表 面 自 由 电 荷 面 密 度 为dVs002；dVs0002介 电 常 数 为的 介 质 在 靠 近 极 板 一 侧 表 面 上 束 缚 电 荷 面密 度 为dVEss00002介 电 常 数 为与 介 电 常 数 为0的 两 种 介 质 边 界 上 的 束 缚电 荷 面 密 度 为dVEEs000002此 电 容 器 的 电 量dVlllqss0020222则 电 容 量 为dlVqC0022电 容 器 的 储 能 为dlVqVW00222221接 上 电 压 时，移 去 介 质 后：电 场 强 度 为dVE电 位 移 矢 量 为dVED00极 板 表 面 自 由 电 荷 面 密 度 为dVs0电 容 器 的 电 量dVllqs202电 容 量 为dlVqC20电 容 器 的 储 能 为dVlqVW221220(2)断 开 电 源 后，介 质 存 在 时，各 个 参 数 与 接 上 电 源 时完 全 相 同。但 是，移 去 介 质 后，由 于 极 板 上 的 电 量 q 不变，电 容 器 中 电 场 强 度 为dVlqE0202，电 通 密 度 为dVED0002极 板 表 面 自 由 电 荷 面 密 度 为dVs002两 极 板 之 间 的 电 位 差 为02VEdV电 容 量 为dlVqC20电 容 器 的 储 能 为dlVqVW2002222212-30已 知 两 个 电 容 器 C1及 C2的 电 量 分别 为 q1及 q2，试 求 两 者 并 联 后 的 总 储 能。若 要 求 并 联 前 后 的 总 储 能 不变，则 两 个 电 容 器 的 电 容 及 电 量 应 满 足 什 么 条 件？解并 联 前 两 个电 容 器 总 储 能 为2221212121CqCqWWWcc前并 联 后 总 电 容 为21CCC，总 电 量 为21qqq，则总 储 能 为2122122121CCqqCqW后要 使后前WW，即 要 求212212221212121CCqqCqCq方 程 两 边 同 乘21CC，整 理 后 得21222121122qqqCCqCC方 程 两 边 再 同 乘21CC，可 得2121222121222qqCCqCqC即022112qCqC由 此 获 知 两 个 电 容 器 的 电 容 量 及 电 荷 量 应 该 满 足 的条 件 为2121CCqq2-31 若 平 板 电 容 器 中 介 电常 数 为112)(xdx平 板 面 积 为 A，间 距 为 d，如习 题 2-31 所 示。试 求 平 板 电容 器 的 电 容。解设 极 板 上 的 电 荷 密 度 分 别 为s，则 由 高 斯 定 理，可得 电 通 密 度sD，因 此 电 场 强 度 为112xdxDxEsdx0Ad X 0习 题 图 2-31 A那 么，两 极 板 的 电 位 差 为12120lnddxxEVsd则 电 容 量 为1212lndAVAVqCs2-32 若 平 板 空 气 电 容 器 的电 压 为 V，极 板 面 积 为 A，间 距 为d，如 习 题 图 2-32所示。若 将 一 块 厚 度 为)(dtt的 导 体 板 平 行 地 插 入 该 平 板电 容 器 中，试 求 外 力 必 须 作的 功。解未 插 入 导 体板 之 前，电 容 量dAC0。插 入 导 体 板 后，可 看 作 两 个 电 容 串 联，其 中 一 个 电 容 器 的 电 容xAC01，另 一 个 电 容 器 的 电 容xtdAC02，那 么 总 电 容 量 为tdACCCCC02121根 据 能 量 守 恒 原 理，电 源 作 的 功 和 外 力 作 的 功 均 转变 为 电 场 能 的 增 量，即12WWWWWe外电源式 中20VtddAtVCVVCqVW电源电源WVCCWWWe21)(21d212d V t 习 题 图 2-32 A则2021VtddAtW外2-33 已 知 线 密 度)C/m(106l的 无 限 长 线 电 荷 位 于（1,0,z）处，另 一 面 密 度)C/m(1026S的 无 限 大 面 电荷 分 布 在 x=0 平 面。试 求 位 于0,0,21处 电 量C109q的点 电 荷 受 到 的 电 场 力。解根 据 题 意，两 种 电 荷 的 位置 如 图 2-33 所 示。由 习 题2-10知，无 限 大 面 电 荷 在P点 产 生 的电 场 强 度 为02sxeE无 限 长 线 电 荷 在P 点 产 生的 电 场 强 度 为xxeeE0022llr因 此，P 点 的 总 电 场 强 度 为xeEEE00212ls所 以 位 于 P 点 的点 电 荷 受 到 的 电 场 力 为N1005.22500 xlsxqqeeEF2-34已 知 平 板 电 容 器 的 极 板 尺 寸为ba，间 距 为 d，两 板 间 插 入 介 质 块 的 介 电 常 数 为，如 习 题 图 2-34所示。试 求：当 接 上 电 压 V 时，插 入 介 质 块 受 的 力；电 源断 开 后，再 插 入 介 质 时，介 质 块 的 受 力。d a b S U 习 题 图 2-34 x z 1 P lo s0.55 y 习 题 图 2-33 解 此 时 为 常 电 位 系 统，因 此 介 质 块 受 到 的 电 场 力 为constexWFdd式 中 x 为 沿 介 质 块 宽 边 b 的 位 移。介 质 块 插 入 后，引 起电 容 改 变。设 插 入 深 度 x，则 电 容 器 的 电 容 为xbdadxbadaxC)()(000电 容 器 的 电 场 能 量 可 表 示 为xbdaUCUWe)(2210022那 么 介 质 块 受 到 的 x 方 向 的 电 场 力为)(2dd02daUxWFconst此 时 为 常 电 荷 系 统，因 此 介 质 块 受 到 的 电 场 力 为constqexWFdd式 中 x 为沿 介 质 块 宽 边 b 的 位 移。介 质 块 插 入 后，极 板 电 量 不 变，只 有 电 容 改 变。此时 电 容 器 的 电 场 能 量 可 表 示 为xbadqCqWe)(12210022因 此 介 质 块 受 到 的 x 方 向 的 电 场 力为200020222ddxbdUabxWFconstqe