《空间直线与直线之间的位置关系》教学设计(优质课).pdf

空间中直线与直线之间的位置关系（一）教学目标1知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。2过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理 4 及等角定理.难点：异面直线所成角的计算.（三）教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合；教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.生2：空间的两条直线除平行与相以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.积极性.探索新知1空间的两条直线位置关系：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：相交直线有且仅有一个公共点平行直线在同一平面内，没有公共点.异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点.随堂练习：如图所示 P50-16 是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点答案：4 对，分别是 HG与EF，AB与 CD，AB与 EF，AB与 HG.那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”学生讨论发现不能去掉“任何”师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”（1）公理 4，平行于同一条直线的两条直线互相平行（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例 2 如图所示，空间四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形 EFGH 是平行四边形.证明：连接 BD，因为 EH是ABD的中位线，所以 EH BD，且12EHBD.同理 FG BD，且12FGBD.师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作为本章的第 4个公理.公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4 是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.师（肯定）下面我们来看一个例子观察图，在长方体 ABCD ABCD 中，ADC 与AD C，培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导，培养学生解题能力.因为 EH FG，且 EH =FG，所以 四边形 EFGH 为平行四边形.ADC与ABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，ADC =ADC，ADC+ABC=180师：一般地，有以下定理：这个定理可以用公理4 证明，是公理 4 的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.探索新知3异面直线所成的角（1）异面直线所成角的概念.已知两条异面直线a、b，经过空间任一点 O作直线 aa，bb，我们把 a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b所成的角师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点 O的位置选取无关；两条异面直线所成的角加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.(或夹角).（2）异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作 ab.例 3 如图，已知正方体ABCD ABCD.（1）哪些棱所在直线与直线 BA 是异面直线？（2）直线BA和CC的夹角是多少？（3）哪此棱所在的直线与直线 AA 垂直？解：（1）由异面直线的定义可知，棱 AD、DC、CC、DD、DC、BC所在直线分别与直线 BA 是异面直线.（2）由 BB CC 可知，BBA 为异面直线 BA与 CC 的夹角，BBA=(0,2；因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a 和 b 互相垂直，也记作 ab；以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题45.（3）直线AB、BC、CD、DA、AB、BC、C D、DA分别与直线 AA 垂直.随堂练习1填空题：（1）如图，AA 是长方体的一条棱，长方体中与 AA 平行的棱共有条.（2）如果 OA O A，OBO B，那么 AOB 和AO B .答案：（1）3 条.分别是BB，CC，DD；（2）相等或互补.2 如图，已知长方体 ABCD ABCD中，AB=2 3，AD =2 3，AA =2.（1）BC和 AC所成的角学生独立完成答案：.2（1）因为 BC BC，所以BCA是异面直线 AC与 BC所成的角.在RtABC中，AB=2 3，BC=2 3，所以 BCA=45.（2）因为 AA BB，所以BBC 是异面直线 AA 和BB 所成的角.在 RtBB C 中，BC=AD=2 3，BB=AA=2，所以 BC=4，BBC=60.因此，异面直线 AA 与 BC 所成的角为 60.是多少度？（2）AA 和BC 所成的角是多少度？归纳总结1空间中两条直线的位置关系.2平行公理及等角定理.3异面直线所成的角.学生归纳，教师点评并完善培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.作业2.1 第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力附加例题例 1 “a、b 为异面直线”是指：ab=，且 ab；a面，b面，且 ab=；a面，b面，且=；a面，b面；不存在面，使a面，b面成立.上述结论中，正确的是（）A正确B正确C仅正确D仅正确【解析】等价于 a 和 b 既不相交，又不平行，故a、b 是异面直线；等价于a、b 不同在同一平面内，故a、b 是异面直线.故选 D 例 2 如果异面直线 a 与 b 所成角为 50，P为空间一定点，则过点 P与 a、b 所成的角都是 30 的直线有且仅有条.【解析】如图所示，过定点P作 a、b 的平行线a、b，因 a、b 成 50角，a 与 b 也成 50 角.过 P作APB 的平分线，取较小的角有A PO =B PO =25 .APA A PO，过 P作直线 l 与 a、b 成 30 角的直线有 2 条.例 3 空间四边形 ABCD，已知 AD =1，BD =3，且 AD BC，对角线BD=132，AC =32，求 AC和 BD所成的角。【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M，连EF、FG、GM、ME、EG.则 MG12BCEM 12ADAD BC EM MG在 R t EMG 中，有2213()()122EG在 RFG 中，EF =11324BD11324FGACEF 2+FG 2=EG 2a b A abO P ABEF FG，即 AC BDAC和 BD所成角为 90.【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是(0,2.