2021年人教A版高中数学必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学设计(1).pdf

第 1 页 共 6 页2021 年人教 A 版高中数学必修第一册第五章三角函数5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修1 本（A 版）第五章的5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标学科素养1.了解两角差的余弦公式的推导过程2掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式3 熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法4.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。a.数学抽象：公式的推导；b.逻辑推理：公式之间的联系；c.数学运算：运用和差角角公式求值；d.直观想象：两角差的余弦公式的推导；e.数学建模：公式的灵活运用；教学重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。多媒体第 2 页 共 6 页教学过程设计意图核心教学素养目标（一）创 设 问 题 情 境提出问题.两角差的余弦公式如果已知任意角，的正弦、余弦，能由此推出，的正弦、余弦吗？下面，我们来探究cos()与角，的正弦、余弦之间的关系不妨令?2k ，kZ 如图 5.5.1，设单位圆与?轴的正半轴相交于点A（，），以?轴非负半轴为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点?1（cos，sin ），?1（cos，sin），P(cos()，sin()任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性连接?1?1，AP若把扇形OAP,绕着点 O 旋转角，则点A，P 分别与点?1,?1重合根据圆的旋转对称性可知，?与?1?1?重合，从而，所以 AP?1?1根据两点间的距离公式，得cos(?-?)-12+s?(?-?)2=(cos?-?)2+(sin?-?)2，化简得:cos(?-?)=cos?+sin?当?=2k （kZ）时，容易证明上式仍然成立所以，对于任意角，有cos(?-?)=cos?+sin?（）此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角 的余弦之间的关系，通 过 开 门 见山，提出问题，利用坐标法，推导两角差的余弦公式，培养和发展数学抽象、直观想 象 的 核 心 素养。第 3 页 共 6 页称为差角的余弦公式，简记作().典例解析例利用公式 cos(?-?)证明：（）cos(?-?)=sin?;（）cos(?-?)=cos?证明:(1)cos(?-?)=cos?+sin?sin?=01sin?=sin?(2)cos(?-?)=cos?+sin?sin?=(-1)cos?+?cos?例已知 s?=45，?(?,?),cos?=-513，?是第三象限角，求cos(?-?)的值解：由 s?=45，?(?,?),得cos?=-1-?2=-1-(45)2=-35又由 cos?=-513，?是第三象限角，得sin?=-1-?2=-1-(-513)2=-1213所以 cos(?-?)=cos?+sin?=(-35)(-513)+(45)(-1213)=-3365由公式cos(?-?)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？下面以公式cos(?-?)为基础来推导其他公式例如，比较 cos(?-?)与cos(?+?)，并注意到 与?-?之间的联系：?+?-（-?）则由公式cos(?-?)，有cos(?+?)=cos?-(-?)cos?(-?)+sin?(-?)=cos?-sin?于是得到了两角和的余弦公式，简记作C（）cos(?+?)=cos?-sin?问题探究上面得到了两角和与差的余弦公式 我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化 你能根据（），（）及诱导公式五（或六），推导出用任意通过对两角差的余弦公式的运用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；第 4 页 共 6 页角 ，的正弦、余弦表示sin（），sin（）的公式吗？通过推导，可以得到：s?(?+?)sin?+cos?，（S（）s?(?-?)sin?-cos?;（S（）你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从()，()出发，推导出用任意角，的正切表示?(?+?)，?(?-?)的公式吗？通过推导，可以得到：?(?+?)=?+?1-?T(+)?(?-?)=?-?1+?T(-)和（差）角公式中，都是任意角 如果令 为某些特殊角，就能得到许多有用的公式 你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式公式()，()，()给出了任意角，的三角函数值与其和角 的三角函数值之间的关系 为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式类似地，()，()，()都叫做差角公式典例解析例 3.已知 s?=-35，?是第四象限角，求 s?(?4-?),cos(?4+?),tan(?-?4)的值解：由 s?=-35，?是第四象限角，得cos?=1-?2=1-(-35)2=45所以?=?=-3545=-34于是有 s?(?4-?)=sin?4?-cos?4?=2245-22(-35)=7 210;通过其它和差角公式的推导和应用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对典型问 题 的 分 析 解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；第 5 页 共 6 页cos(?4+?)=?4?-sin?4?=2245-22(-35)=7 210;?(?-?4)=?-?41+?4=?-11+?=-34-11+(-34)=-7 由以上解答可以看到，在本题条件下有s?(?4-?)=cos(?4+?)那么对于任意角，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明?例 利用和（差）角公式计算下列各式的值：（）sin72 cos42 cos72 sin42 ;（）cos20 cos70 sin20 sin70 ;（3）1+?151-?15;分析：和、差角公式把 的三角函数式转化成了，的三角函数式 如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简解：（）由公式S（），得sin72 cos42 cos72 sin42=Sin(72 42)=sin30=12（2）由公式C（+），得cos20 cos70 sin20 sin70=cos(20+70)=cos90=0（3）由公式T（+）及?45=1，得1+?151-?15=?45+?15?45-?15=?(45+15)=?60=3三、当堂达标1 cos 65 cos 35 sin 65 sin 35等于()Acos 100 Bsin 100 C32D12【解析】原式 cos(65 35)cos 30 32.【答案】C2.已知 是锐角，sin 35，则 cos4等于()A210B210C25D25通过练习巩固本节所学知识，巩固对和差和差距角公式的运用，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、第 6 页 共 6 页【解析】因为 是锐角，sin 35，所以 cos 45，所以 cos422452235210.故选 B【答案】B3已知锐角，满足 cos 35，cos()513，则 cos 等于()A3365B3365C5475D5475【解析】因为 ，为锐角，cos 35，cos()513，所以 sin 45，sin()1213.所以 cos cos()cos()cos sin()sin 513351213453365.故选 A【答案】A4计算3 tan 1513tan 15_.【解析】3tan 1513tan 15tan 60tan 151tan 60 tan 15 tan 45 1.【答案】15已知 ，均为锐角，sin 55，cos 1010，求 .【解】，均为锐角，sin 55，cos 1010，sin 31010，cos 2 55.sin sin ，2 0，sin()sin cos cos sin 5510102553 101022，4.逻辑推理的核心素养。四、小结让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？知识上：两角和差的公式思想方法上：整体代换思想，转化思想。五、作业1.课时练2.预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学 习 中 的 易 错点；