【最新】2019届山东省烟台市高三3月诊断性测试(一模)数学(理)试题(解析版).pdf

第 1 页 共 23 页2019 届山东省烟台市高三3 月诊断性测试（一模）数学（理）试题一、单选题1设复数z 满足12i zi，则 z=（）A-1+i B-1-i C1+i D1-i【答案】A【解析】12i zi【详解】由12i zi得21izi=(1)1iii，故选 A.【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.2若集合|1Mx x，|04NxZx，则()RC MNI（）A0B0,1C0,1,2D2,3,4【答案】B【解析】先求出集合N，然后进行补集、交集的运算即可【详解】N0，1，2，3，4，?RM x|x 1；（?RM）N0，1故选 B【点睛】本题考查补集、交集的运算，描述法、列举法的定义，熟记交集，补集的定义是关键，是基础题3已知甲袋中有1 个红球 1 个黄球，乙袋中有2 个红球 1 个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有1 个红球的概率为（）A13B12C23D56【答案】D 第 2 页 共 23 页【解析】现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数11236nC C，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，利用对立事件概率计算公式能求出取出的两球中至少有1 个红球的概率【详解】解：甲袋中有1 个红球 1 个黄球，乙袋中有2 个红球 1 个黄球，现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数11236nC C，取出的两球中至少有1 个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，利用对立事件概率计算公式得：取出的两球中至少有1个红球的概率为11115166C Cp故选 D【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4“0ba”是“11ab”的（）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：当0ba时，11ab成立，反之当0b，0a时，满足11ab，但0ba不成立，即“0ba”是“11ab”的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键5在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点3,1，则cos2（）A35-B35C45D45【答案】D 第 3 页 共 23 页【解析】由任意角的三角函数的定义求得sin，然后展开二倍角公式求cos2【详解】解：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点3,1，10OP，10sin10则22104cos212sin12105.故选 D【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题6执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A8 B 16 C32 D64【答案】C【解析】根据程序框图进行模拟计算即可【详解】解：当1a，2b时，2Sab，100S成立，则2a，2b，224Sab，100S成立，则2a，4b，248Sab，100S成立，则4a，8b，4 832Sab，100S成立，则8a，32b，832256Sab，100S不成立，输出32b，故选 C【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键第 4 页 共 23 页7在ABC中，2AB，3AC，3BAC，若23BDBCuu u vu uu v，则AD BDu uu v uuu v（）A229B229C169D89【答案】A【解析】本题主要是找到两个基底向量ABuuu v，ACuu u v，然后用两个基底向量表示ADuu u v，BDuu u v，再通过向量的运算即可得出结果【详解】解：由题意，画图如下：则：22223333BDBCACABABACu uu vuu u vuuu vu uu vuuu vuuu v，2233ADABBDABABACuuu vuuu vuuu vuuu vuuu vu uu v1233ABACuu u vuuu v.12223333AD BDABACABACuuu v uuu vu uu vuuu vu uu vu uu v22242999ABACAB ACuu u vuuu vu uu v uu u v24249cos999ABACBACu uu vuuu v8242 3 cos993229.故选 A【点睛】本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算本题属基础题8我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（）第 5 页 共 23 页A12B136C12D1233【答案】B【解析】根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为2111111 1 212323436V；所以对应不规则几何体的体积为136故选 B【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题9将函数sin0,2fxx的图象向右平移6个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且12f，则当取最小值时，函数fx的解析式为（）Asin 26fxxBsin 26fxx第 6 页 共 23 页Csin 46fxxDsin 46fxx【答案】C【解析】由题意利用函数sinyAx的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由12f，求出，再根据所得图象关于y轴对称求出，可得fx的解析式【详解】解：将函数sin(0,)2fxx的图象向右平移6个单位长度后，可得sin6yx的图象；所得图象关于y轴对称，62k，kZ1sinsin2f，即1sin2，26，.63k，620k,则当取最小值时，取1k，可得4，函数fx的解析式为sin 46fxx.故选 C【点睛】本题主要考查函数sinyAx的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题10设A，B，C，D是同一个球面上四点，ABC是斜边长为6 的等腰直角三角形，若三棱锥DABC体积的最大值为27，则该球的表面积为（）A36B64C100D144【答案】C【解析】由题意画出图形，求出三棱锥DABC的外接球的半径，代入表面积公式求解【详解】解：如图，第 7 页 共 23 页ABC是斜边BC长为 6 的等腰直角三角形，则当D位于直径的端点时，三棱锥DABC体积取最大值为27，由ABAC，ABAC，6BC，可得斜边BC上的高3AE，3 2ABAC，由113 23 22732DE，解得9DE，则21AEEFDE 球O的直径为10DEEF，则球O的半径为11052 该球的表面积为245100S故选 C【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题11若函数()sin 2xxf xeex，则满足2(21)()0fxf x的x的取值范围为（）A1(1,)2B1(,1)(,)2UC1(,1)2D1(,)(1,)2【答案】B【解析】判断函数fx为定义域R上的奇函数，且为增函数，再把2210fxfx化为221xx，求出解集即可【详解】解：函数sin2xxfxeex，定义域为R，且满足sin2xxfxeexsin2xxeexfx，第 8 页 共 23 页fx为R上的奇函数；又2cos222 cos20 xxfxeexxx恒成立，fx为R上的单调增函数；又2210fxfx，得221fxfxfx，221xx，即2210 xx，解得1x或12x，所以x的取值范围是1,1,2故选 B【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题12已知1F、2F分别为双曲线22146xy的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足120MFMFuuuu v u uuu v，若直线2MF与双曲线的另一个交点为N，则1MF N的面积为（）A12 B12 2C24 D242【答案】C【解析】设1MFm，2MFn，根据双曲线的定义和12MFMF，可求出6m，2n，再设2NFt，则14NFt根据勾股定理求出6t即可求出三角形的面积.【详解】解：设1MFm，2MFn，1F、2F分别为双曲线22146xy的左、右焦点，24mna，1222 10F Fc.第 9 页 共 23 页120MFMFuuuu v uuuu v，12MFMF，222440mnc，2222mnmnmn，即2401624mn，12mn，解得6m，2n，设2NFt，则124NFatt，在1Rt NMF中可得222426tt，解得6t，628MN，1MF N的面积111862422SMNMF.故选 C【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题二、填空题13已知5()(2)axx的展开式中3x 的系数为40，则实数a的值为 _【答案】3【解析】把52x按照二项式定理展开，可得52axx的展开式中3x的系数，再根据52axx的展开式中3x的系数为40，求得a的值第 10 页 共 23 页【详解】解：5234523280804010axxaxxxxxx的展开式中3x的系数为408040a，3a，故答案为：3【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式指定项的系数的求法，属于基础题14已知x，y满足约束条件330040 xyxyxy，则2zxy的最小值是_【答案】94【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论【详解】解：作出x，y满足约束条件330040 xyxyxy的对应的平面区域如图：由2zxy得2yxz，平移直线2yxz，由图象可知当直线2yxz经过点A时，直线的纵截距最小，此时 z 最小，由3300 xyxy解得3 3,4 4A，此时3392444z，第 11 页 共 23 页故答案为：94【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法15 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2a，sin3 cosaBbA，则ABC周长的最大值为_【答案】6【解析】由正弦定理化简已知等式可得：sin sin3sin cosABBA，结合sin0B，可求tan3A，结合范围0,A，可求3A，由余弦定理，基本不等式可求4bc，进而可求4bc，即可计算得解ABC周长的最大值【详解】解：2a，sin3 cosaBbA，由正弦定理可得：sin sin3sin cosABBA，sin0B，sin3cosAA，可得：tan3A，0,A，3A，由余弦定理2222cosabcbcA，可得：2242bcbcbcbcbc，当且仅当bc时等号成立，由22243bcbcbcbc，可得：24343 416bcbc，即4bc，当且仅当bc时等号成立，ABC周长246abc，即其最大值为6故答案为：6【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16已知ln,02()(4),24xxef xfexexe，若方程()0f xmx有 2个不同的实根，第 12 页 共 23 页则实数m的取值范围是_（结果用区间表示）【答案】1(,)e【解析】由方程的解与函数图象的交点个数的关系可得0fxmx有 2 个不同的实根等价于yfx的图象与直线ymx的交点个数为2，由函数图象的性质及利用导数求切线方程可设过原点的直线与yfx相切与点00,P xy，由1fxx，则此切线方程为0001lnyxxxx，又此直线过原点0,0，则求得0 xe，即切线方程为1yxe再结合图象可得实数m的取值范围是1me，得解.【详解】解：由,024,24lnxxefxfexexe，可得：yfx在0,4e的图象关于直线2xe对称，0fxmx有 2个不同的实根等价于yfx的图象与直线ymx的交点个数为2，yfx的图象与直线ymx的位置关系如图所示，设过原点的直线与yfx相切与点00,P xy，由1fxx，则此切线方程为：0001lnyxxxx，又此直线过原点0,0，则求得0 xe，第 13 页 共 23 页即切线方程为：1yxe，由图可知：当yfx的图象与直线ymx的交点个数为2 时，实数m的取值范围是1me，故答案为1,e【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数的相互转化、函数图象的性质及利用导数求切线方程，属难度较大的题型三、解答题17已知数列na中，11a，*1212,nnaannN（1）记2log1nnba，判断nb是否为等差数列，并说明理由；（2）在（1）的条件下，设1nnnbca，求数列nc的前n项和nT【答案】(1)见解析；(2)222nnnT【解析】（1）根据题意，由于2log1nnba，分析可得当1n时，计算可得1b的值，当2n时，分析1nnbb的值，综合即可得答案；（2）由（1）的结论求出nb的通项公式，进而可得2nnnc，由错位相减法求和可得答案【详解】解：（1）根据题意2log1nnba，当1n时，有1212log1log 21ba；当2n时，1221211log1log1log1nnnnnnabbaaa122122loglog 211nnaa；所以数列nb是以 1 为首项、公差为1 的等差数列（2）由（1）的结论，数列nb是以 1 为首项、公差为1 的等差数列，则21nbnn，第 14 页 共 23 页则12nna，于是2nnnc，23111111123.122222nnnTnn，2311111112.122222nnnTnn，可得：231111111.222222nnnTn1111111221122212nnnnnn，所以222nnnT【点睛】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，考查了数列性质的证明，关键是求出数列bn的通项公式，属于综合题18如图，在平面四边形ABCD中，ABC等边三角形，ACDC，以AC为折痕将ABC折起，使得平面ABC平面ACD（1）设E为BC的中点，求证：AE 平面BCD；（2）若BD与平面ABC所成角的正切值为32，求二面角ABDC的余弦值【答案】(1)见证明；(2)34【解析】（1）推导出CD平面ABC，从而CDAE，再求出AEBC，由此能证明AE平面BCD（2）由DC平面ABC，知DBC即为BD与平面ABC所成角，从而在直角DCB中，3tan2DCDBCBC，以C为坐标原点，分别以CDuuu v，CAuu u v所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz 利用向量法能求出二面角ABDC的余弦值【详解】第 15 页 共 23 页证明：（1）因为平面ABC平面ACD，平面ABC平面ACDAC，CD平面ACD，CDAC，所以CD平面ABC又AE平面ABC，所以CDAE在等边ABC中，因为E为BC的中点，所以AEBC因为AECD，AEBC，CDBCC，所以AE平面BCD（2）解：由（1）知DC平面ABC，所以DBC即为BD与平面ABC所成角，于是在直角DCB中，3tan2DCDBCBC以C为坐标原点，分别以CDuuu v，CAu uu v所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz设等边ABC的边长为a，则32CDa，0,0,0C，0,0Aa，30,22aaB，3,0,02aD，30,22aaABuuu v，3,02aADau uu v，30,22aaCBuuu v，3,0,02aCDuuu v.设平面ABD的一个法向量为111,mx y zv，则00AB mAD mu uu vvuuu vv，即11113022302ayazaxay，令11z，则13y，12 33x，于是2 3,3,13mv.设平面BCD的一个法向量为222,nxyzv，则00CB nCD nuu u vvuuu vv，即22213022302ayazax，解得20 x，令21z，则23y，于是0,3,1nv所以23cos,4423m nm nm nv vv vvv.第 16 页 共 23 页由题意知二面角ABDC为锐角，所以二面角ABDC的余弦值为34【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19已知F为抛物线2:20Cypx p的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点.当直线与x 轴垂直时，AB4.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线AB 与抛物线的准线l 相交于点M，在抛物线C 上是否存在点P，使得直线 PA，PM，PB 的斜率成等差数列？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）24yx（2）存在；(1,2)P【解析】（1）求出抛物线的焦点坐标，根据题意，令2px，求出纵坐标的值，再根据AB4进行求解即可；（2）设直线AB的方程,与抛物线方程联立，求出直线PA，PM，PB 的斜率表达式，结合等差数列和一元二次方程根与系数关系，得到一个等式，根据等式成立进行求解即可.【详解】解：（1）因为(,0)2pF，在抛物线方程22ypx中，令2px，可得yp，所以当直线与x轴垂直时24ABp，解得2p，抛物线的方程为24yx.（2）不妨设直线AB的方程为1(0)xmym，因为抛物线24yx的准线方程为1x，所以2(1,)Mm.联立241yxxmy消去x，得2440ymy，设11(,)A xy，22(,)B xy，则124yym，124y y，第 17 页 共 23 页若存在定点00(,)P xy满足条件，则2PMPAPBkkk，即0010200102221yyyyymxxxxx，因为点,P A B均在抛物线上，所以222012012,444yyyxxx.代入化简可得00122200120122(2)2(4)()myyyym yyyyyy y，将124yym，124y y代入整理可得002200022(4)44myymm yymy，即220(1)(4)0my，因为上式对0m恒成立，所以2040y，解得02y，将02y代入抛物线方程，可得01x，于是点(1,2)P即为满足题意的定点.【点睛】本题考查了已知抛物线的弦长求参数问题，考查了直线与抛物线的位置关系的应用，考查了等差数列的性质，考查了直线斜率公式，考查了数学运算能力.202019 年 2月 13 日烟台市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200 名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图（1）求这 200 名学生每周阅读时间的样本平均数x和样本方差2s(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布2N，第 18 页 共 23 页其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若2,XN令XY，则0,1Y N，且aP XaP Y利用直方图得到的正态分布，求10P X(ii)从该高校的学生中随机抽取20 名，记Z表示这 20 名学生中每周阅读时间超过10 小时的人数，求2P Z(结果精确到00001)以及Z的数学期望参考数据：1940178,0.77340.00763 若0,1Y N，则0.750.7734P Y【答案】(1)9，1.78(2)（i）0.7734（ii）见解析【解析】（1）直接由平均数公式及方差公式求解；（2）（i）由题知9，21.78，则9,1.78XN，求出，结合已知公式求解10P X（）由（i）知(10)1100.2266P XP X，可得20,0.2266ZB，由2101P ZP ZP Z求解2P Z，再由正态分布的期望公式求Z的数学期望E Z【详解】解：（1）60.03 70.18 0.290.35 10 0.1911 0.09 120.049x，2222(69)0.03(79)0.1(89)0.2s222(99)0.35(109)0.19(119)0.092(129)0.041.78；（2）（i）由题知9，21.78，9,1.78XN，17841.78103109100.750.773443P XP YP Y；（）由（i）知(10)1100.2266P XP X，可得20,0.2266ZB，2101P ZP ZP Z201192010.77340.22660.7734C10.7734200.22660.0076第 19 页 共 23 页0.9597.Z的数学期望20 0.22664.532E Z.【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题21 已知函数2()23()xxf xeaxa eaR，其中2.71828.e为自然对数的底数（1）讨论()f x 的单调性；（2）当(0,)x时，222e()3e10()xxxaaxaf x恒成立，求a的取值范围【答案】(1)见解析；(2)(ln 24,ln10)【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令221210 xg xexaxaxa只需在0,x使min0gx即可，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a的范围即可【详解】解：（1）由题意可知，2222323xxxxxeaeafxeaa ee3xxxeaeae，当0a时，0 xfxe，此时fx在R上单调递增；当0a时，令0fx，解得ln 3xa，当,ln3xa时，0fx，fx单调递减；当ln 3,xa时，0fx，fx单调递增；当0a时，令0fx，解得lnxa，当,lnxa时，0fx，fx单调递减；当ln,xa时，0fx，fx单调递增；综上，当0a时，fx在R上单调递增；当0a时，,ln3xa时，fx单调递减，第 20 页 共 23 页ln 3,xa时单调递增；当0a时，,lnxa时，fx单调递减，ln,xa时单调递增（2）由222310 xxexaa exafx，可得，2212100 xexaxaxa，令221210 xg xexaxaxa，只需在0,x使min0gx即可，1222xxxgxexaexaexa，当0a时，0 xa，当0ln2x时，0gx，当ln2x时，0gx，所以g x在0,ln2上是减函数，在ln2,上是增函数，只需22ln22ln22ln 22ln280gaa，解得ln24ln22a，所以ln240a；当0ln2a时，g x在0,a上是增函数，在,ln2a上是减函数，在ln2,上是增函数，则2000g lng，解得0ln2a，当ln2a时，0gx，g x在0,上是增函数，而209ln2ln 20g成立，当ln2a时，g x在0,ln2上是增函数，在ln2,a上是减函数，在,a上是增函数，则2100090ag aegaa，解得ln2ln10a综上，a的取值范围为ln24,ln10.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题第 21 页 共 23 页22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为312132xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22 22cos.（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点(1,3)P，直线l与曲线C相交于两点A，B，求11PAPB的值【答案】(1)l的普通方程为320 xy；曲线C的直角坐标方程2228xy(2)4 2【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得2512 340tt，再利用一元二次方程根和系数的关系,利用直线参数方程t 的几何意义求出结果【详解】解：（1）直线l的普通方程为320 xy；因为2282cos，所以2222cos8，将cosx，222xy，代入上式，可得2228xy（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得2512340tt，设A，B两点所对应的参数分别为1t，2t，则1212 35tt，1 245t t于是2121 2121 21 24114 2ttt tPAPBttPAPBPAPBt tt t.【点睛】第 22 页 共 23 页本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23已知函数()212f xxm x.（1）当1m时，求不等式()2f x的解集；（2）若实数m使得不等式(2)f xm在 1,1x恒成立，求m的取值范围【答案】(1)|15x xx或(2)3|2m m【解析】（1）分 3 种情况去绝对值，解不等式组可得；（2）将不等式分离参数m后构造函数求最小值可得【详解】解：（1）当1m时，2122xx，当2x时，原不等式转化为1222xx，解得2x；当122x时，原不等式转化为1 222xx，解得21x；当12x时，原不等式转化为2122xx，解得5x；综上，不等式的解集为|15x xx或.（2）由已知得：225fxxm xm，即251xmx.251xg xx，1,1x，由题意minmg x当0,1x时，257211xg xxx为减函数，此时最小值为312g；当1,0 x时，253211xg xxx为增函数，此时最小值为712g又3722，所以min32g x所以m的取值范围为3|2m m.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查不等式的恒成立问题，考查函数的最值的求法，属中档题第 23 页 共 23 页