《关于二次函数问题的解题技巧》.pdf

关于二次函数问题的解题技巧二次函数是重要的初等函数之一，许多问题可化归于二次函数来处理，二次函数又与二次方程及二次不等式相联系，故高考中增加了有关二次函数问题方面的内容，因而必须熟练地掌握它，并且灵活运用它。一、关注二次函数的解析式二次函数的解析式有三种不同形式。一般式：f xaxbxc a()()20；顶点式：fxa xmn a()()()20；两根式：fxa xxxxa()()()()120。无论是求解析式，还是运用解析式解决有关问题，都需要根据问题的条件，选取恰当形式。例 1.已知函数fxaxbxc aN()*2。若 cabc11，且方程fx()0有两个小于 1 的不等的正根，则a的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5 解析：根据题意，设f xa xxxx()()()12，其中 010112xx，且xx12。利用韦达定理得ax xfc12011()又fabcaxx()()()1111212aN*，由12得 a xxxx211221113而xxxx1111211214()（当且仅当x112时取等号），xxxx2222211214()（当且仅当x212时取等号），通过 可得11116211222a xxxxa（xx12时不等式不能取等号），a216，即 a4。又aN*，a的最小值为 5，应选 D。二、关注二次函数的图象和性质二次函数的图象及性质是处理二次函数问题的重要依据，正确地把握图象及性质能使问题轻松解决。例 2.设函数 fxxbxc()2，方程fxx()0的两实根分别为 xx12、，且xx212。（1）证明：xx12、也为方程 ff xx()0的两根。（2）记四次方程 ff xx()0的另两根分别为 xx34、，且xx34，试判断xx12、xx34、的大小。解析：（1）设fxxxxxx()()()12，则fxxxxxx()()()12f fxxf xxf xxf xx()()()()12xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx12112212122112121211111()()显然 xx12、也为方程 f f xx()0的两根。另外，f xxf xx()()112200，又 ff xxf xxff xxfxx()()()()1111222200，所以 xx12、也为 f fxx()0的两根。（2）由（1）知 f f xxxxxxxxxx()()()()()1212111。根据题设知 xx34、必为方程 g xxxxx()121110的两根。因g x()的图象是开口向上的，且 xxxx211222，得g xxxg xxx()()11222122，所以g xg x()()122202240，。由xx34，根据上述性质可得g x()的示意图（如图）。y x1x2x4O x3x 由图易知xxxx4132。三、关注化归于二次函数的问题高考命题强调知识之间的交叉、渗透和综合。因此有许多问题可化归于二次函数问题。例 3.设关于 x 的一元二次方程 axxa2100 有两个实根 xx12、。求证：x11，且x21。解析：令 fxaxx()21由140a，得0212a函数fx()的对称轴xa1221又fa()10，所以f x()图象与 x 轴的交点都在点（10，）的左侧，故x11，且x21。点评：因此，对于二次函数问题需要掌握解析式、图象和性质的正确使用，选择恰当能使问题轻松解决。