【最新】2019届江苏省南京市高三下学期第三次模拟考试数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 18 页2019 届江苏省南京市高三下学期第三次模拟考试数学试题一、填空题1已知集合16,UxxxN，2,3A，那么UAe_.【答案】4,5【解析】先化简集合U，再由补集的概念，即可得出结果.【详解】因为16,2,3,4,5UxxxN，2,3A，所以4,5UAe.故答案为：4,5.【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.2若复数z满足11zi，其中i为虚数单位，则 z 在复平面内对应的点在第_象限.【答案】四【解析】根据复数的除法运算法则，先求出z，再根据复数的几何意义，即可得出结果.【详解】由题意，11111111222iiziiii，其对应的点为11,22，在复平面的第四象限.故答案为：四.【点睛】本题主要考查复数的除法运算，以及复数的几何意义，属于基础题型.3已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为_【答案】30第 2 页 共 18 页【解析】直接计算平均数得到答案.【详解】28292930313132307x.故答案为：30.【点睛】本题考查了茎叶图的平均值，意在考查学生的计算能力.4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，输出S的值为 _.【答案】34【解析】根据算法，逐步执行，即可得出结果.【详解】逐步执行算法如下：初始值0S，第一步：111,1 22iS，第二步：11222233iS，第三步：3i，2133344S.输出34S.故答案为：34【点睛】本题主要考查由算法计算输出值，逐步执行即可，属于基础题型.5已知实数x，y 满足条件210201xyxyx，则 z=x+3y 的最小值是 _.【答案】-5【解析】作可行域,则直线 z=x+3y 过点 A(1,-2)取最小值-5 第 3 页 共 18 页点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6从1,2,3,4,5这5个数字中随机抽取3个不同的数字，则这3个数字经过适当排序后能组成等差数列的概率为_.【答案】25【解析】根据题意，分别求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率.【详解】从1,2,3,4,5这5个数字中随机抽取3个不同的数字，共有3510C种不同的选法；其中1,2,3；2,3,4；3,4,5；1,3,5共有4种选取方法满足条件，故所求概率为42105P.故答案为：25【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.7若函数2,0()(2),0 xxf xf xx，则2log 3f_.【答案】34【解析】根据分段函数的解析式代入求值即可.第 4 页 共 18 页【详解】解：2,0()(2),0 xxf xf xxQ因为21log 32，所以22log3log 3 222223224log 3log 32ff故答案为：34【点睛】本题考查分段函数的性质，分段函数求值以及对数的运算性质，属于中档题.8已知数列na的前n项和为nS，且231nnS，*nN.若3lognnba，则1234bbbb的值为 _.【答案】6【解析】先由递推关系231nnS，求出na，进而得出nb，即可得出结果.【详解】当1n时，123 12a，得11a.当2n时，递推231nnS，11231nnS，两式相减，得1123323nnnna，即13nna，当1n时满足，故133loglog 31nnnban，则123401236bbbb.故答案为：6.【点睛】本题主要考查由前n 项和求通项，以及由递推关系求通项，属于基础题型.9函数2sin6fxx，其中0若1x，2x是方程2fx的两个不同的实数根，且12xx的最小值为则当0,2x时，fx的最小值为 _【答案】1【解析】根据12xx的最小值为可得T,则2,则2sin26fxx,由第 5 页 共 18 页0,2x,求得最小值即可【详解】由题可得,12xx的最小值为,即函数的最小正周期为,所以22,所以2sin26fxx,因为0,2x,所以72,66 6x,所以1sin(2),162x所以min1fx故答案为：1【点睛】本题考查正弦型函数最值问题,考查转化思想,考查运算能力10在平面直角坐标系xoy中，过双曲线222210,0 xyabab的右焦点F做一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P.若线段PF的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为_.【答案】2【解析】先由双曲线方程，得到渐近线方程为byxa，设过,0F c的直线为:blyxca，根据题意，求出点P坐标，得到PF中点M的坐标，代入双曲线方程，即可得出结果.【详解】双曲线渐近线方程为byxa，设过,0F c的直线为:blyxca，令bbxcxaa，解得：2cx，代入方程byxa得点,22cbcPa，求得PF中点3,44cbcMa，将点M代入方程，22223441bccaab，化简得222ca，第 6 页 共 18 页即2cea.故答案为：2.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.11有一个体积为2 的长方体，它的长、宽、高依次为a，b，1，现将它的长增加1，宽增加 2，且体积不变，则所得长方体高的最大值为_；【答案】14；【解析】由体积公式得2ab，长宽高变化后体积公式为(1)(2)2abh，这样可用,a b表示h，然后结合基本不等式求得最值【详解】依题意2ab，设新长方体高为h，则(1)(2)2abh，222(1)(2)2242habababab2214224422ab，当且仅当2ab时等号成立h的最大值为14故答案为14【点睛】本题考查长方体体积，考查用基本不等式求最值，属于中档题型12已知向量,a b cv v v是同一平面内的三个向量，其中,a bv v是夹角为60 的两个单位向量若向量cv满足(2)5cabvvv,则cv的最小值为 _【答案】5 77【解析】以 OA 为 x 轴的正方向建立坐标系，写出,a br r的坐标，设(,)cx yr，由(2)5cabrrr，可得2350 xy，再求原点到直线的距离，即可求得结果.【详解】第 7 页 共 18 页如图以 OA 为 x 轴的正方向建立坐标系，由题意可设,OAa OBb OCcuu u rr uu u rr u uu rr可得13(1,0),22abrr,设(,)cx yr(2)5cabrrr，即为(,)(2,3)235x yxy，即 C 在直线2350 xy上运动，则|cr的最小值为|005|5 7743d故答案为:5 77【点睛】本题考查了平面向量的数量积，考查了向量的坐标表示、点到直线的距离公式，考查了转化思想，属于中档题.13在平面直角坐标系xOy中，已知MN是圆22:122Cxy的一条弦，且CMCN，P是MN的中点，当弦MN在圆C上运动时，直线:350lxy上存在两点,A B，使得2APB恒成立，则线段AB长度的最小值是_.【答案】2 102【解析】先根据题意，得到三角形CMN为等腰直角三角形，求出点P的轨迹方程；再由2APB恒成立，得到点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部，进而得到AB的最小值为圆的直径的最小值，即可得出结果.【详解】因为P是MN的中点，所以CPMN,又因为CMCN，所以三角形CMN为等腰直角三角形，所以1CP,即点P在以C为圆心，以1为半径的圆上，因此，点P的轨迹方程为22121xy；第 8 页 共 18 页要使2APB恒成立，则点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部，而AB在直线:350lxy上，点C到直线:350lxy的距离1651019d,所以，以AB为直径的圆的半径的最小值为101r,所以线段AB长度的最小值是2 102.故答案为：2 102.【点睛】本题主要考查直线与圆的方程的应用，属于常考题型.14已知函数f(x)12x2alnxx12，对任意x1，)，当 f(x)mx 恒成立时实数 m 的最大值为1，则实数a的取值范围是_【答案】(，1【解析】分离参数 m，根据函数单调性求出函数的最小值，根据函数最小值判断.【详解】对任意 x1，)，有 f(x)mx 恒成立，即()f xmx恒成立，即min()f xmx，又当 f(x)mx 恒成立时实数m 的最大值为1，所以min()1f xx.因为(1)11f所以问题等价转化为()1f xx在1,)上恒成立，即()0f xx在1,)上恒成立.设()()g xf xx211ln22xax（1x），2()xag xx 当1a时，因为1x，所以2()0 xagxx，因此()g x在1,)上是单调递增函数，所以()(1)0g xg，即()0f xx在1,)上恒成立；当1a时，在(1,)a上，有()0g x；在(,)a上，有()0g x，所以()g x在(1,)a上为单调递减函数，在(,)a上为单调递增函数.当(1,)xa，有()(1)0g xg，即()0fxx在1,)上不恒成立.综合 得：实数a的取值范围是(,1.第 9 页 共 18 页【点睛】本题考查了利用参变分离法解决含参的不等式恒成立问题，考查了学生综合分析、转化与划归、分类讨论，数学运算能力，属于难题.二、解答题15已知,a b c分别是ABC三个角,A B C所对的边，且满足coscoscoscoscAaBbAC(1)求证：AC；(2)若2b,1BA BCuu ruu u r，求sin B的值【答案】（1）见解析（2）2 2sin3B【解析】(1)利用正弦定理将已知的边角混合式化为(sincossincos)cossincosABBACCA，再逆用两角和的正弦公式并化简，可得coscosCA，进而可得AC；(2)由(1)知ac，可将1BA BCuu r uu u r可化为2cos1aB再结合222222cos2acbaBaca，求出2a，从而求出cosB，再利用同角三角函数关系求出sin B【详解】(1)由正弦定理2sinsinsinabcRABC，得2sin,2sin,2sinaRA bRB cRC，代入coscoscoscoscAaBbAC，得(sincossincos)cossincosABBACCA，即sin()cossincosABCCA，因为ABC，所以sin()sinABC，所以sincossincosCCCA，又C是ABC的内角，所以sin0C，所以coscosCA，又,A C为三角形的内角，所以AC(2)由(1)知，因为AC，所以ac，第 10 页 共 18 页由余弦定理得222222cos2acbaBaca，因为1BA BCuu r uu u r，即|cos1BABCBu uu ruuu r，所以22cos21aBa，所以23a，所以1cos3B，因为(0,)B，所以22 2sin1cos3BB【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及平面向量的数量积的运算，属于中档题16在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，/AD BC，1AB，2BC，60ABC.（1）求证：平面PAC平面PAB；（2）设平面PBCI平面PADl，求证：/BC l.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证明AC面PAB，再由面面垂直的判定定理，即可得结论成立；（2）先由线面平行的判定定理，证明BC P面PAD；再根据线面平行的性质，即可证明结论成立.【详解】解：（1）在ABCV中，由余弦定理可得2222cos3ACABBCAB BCB，222BCACAB，ACAB，又PA面ABCD，AC面ABCD，ACPA，且PAABA，PA、AB面PAB，AC面PAB.又AC面PAC，面PAC面PAB.第 11 页 共 18 页（2）因为ADBCADP，面PADBC，面PAD，所以BC P面PAD；又BC面PBC，面PAD面PBClBClP.【点睛】本题主要考查证明面面垂直，以及线线平行，熟记线面、面面面垂直的判定定理，以及线面平行的判定定理与性质即可，属于常考题型.17如图，在摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160m.摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15m 的圆柱体与一个半径为15m的半球体组成.圆柱的地面中心P在线段AB上，且PB为45m.半球体球心Q到地面的距离PQ为15m.把摩天轮看做一个半径为72 m 的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75m.把摩天轮均匀旋转一周需要30min，若某游客乘坐摩天轮（把游客看作圆C上的一点）旋转一周，求该游客能看到点B的时长.（只考虑此建筑物对游客视线的遮挡）【答案】10分钟【解析】先由题意，以B为坐标原点建立直角坐标系，得出0,0B，45,15Q，160,75C，设过B且与圆Q相切的直线l的方程为ykx，得到24515151kk，求出直线l的方程；再设l与圆C交于E、F两点，弦EF的中点为H，根据题中数据，求出圆心角ECF的大小，即可得出结果.【详解】解：以B为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，由题意可知0,0B，45,15Q，160,75C，设过B且与圆Q相切的直线l的方程为ykx，则第 12 页 共 18 页2451531541kkk，（0k舍去）:340lxy圆心C到l的距离为3 160475365d设l与圆C交于E、F两点，弦EF的中点为H，则由圆C的半径为72，3HCE，23ECF，30103t（分钟）答：该游客能看到点B的时间长为10分钟.【点睛】本题主要考查由直线与圆相切求切线方程，以及由直线与圆位置关系求夹角的问题，熟记直线与圆位置关系，以及点到直线的距离公式即可，属于常考题型.18在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:10 xyCabab过点21,2，离心率为22.,A B分别是椭圆C的上、下顶点，M是椭圆C上异于,A B的一点.（1）求椭圆C的方程；第 13 页 共 18 页（2）若点P在直线20 xy上，且3BPBMu uu ruu uu r，求PMA的面积；（3）过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且点D在线段OA上（不包括端点,O A），直线NA与直线BM交于点P，求OD OPu u u r u uu r的值.【答案】（1）2212xy；（2）2 63；（3）1【解析】（1）根据离心率，先将椭圆方程化为222212xybb，再将点21,2代入，求出b，即可得出椭圆方程；（2）先由题意，设11,Mx y，00,2P xx，根据3BPBMuu u ruuu u r，得到010133xxxy，代入椭圆方程，再根据1012PMAPABMABSSSABxxVVV，即可求出结果；（3）设11,Mx y，得到直线MN的方程，得出110,Dyx，再由直线MN与椭圆方程联立，根韦达定理，以及题中条件，得出11111111111111414,12222xxyyxyPxyxyxyxy，最后根据向量数量积的坐标运算，即可得出结果.【详解】（1）由题意，222222122xyeabbb，代入点21,2，解得1b，所以2212xy即为所求椭圆的方程；（2）由题意，设11,Mxy，00,2P xx，由3BPBMuuu ruuuu r，得010133xxxy，代入椭圆方程，解得206x，因此1012 623PMAPABMABSSSAB xxVVV；（3）设11,Mx y，则直线11:MNyxxy，则110,Dyx，第 14 页 共 18 页联立MN与椭圆方程，得22111134220 xyxxyx，由韦达定理，得11143Nyxxx，所以111142,33xyxyN，所以111123:14xyANyxxy；111:1yBMyxx，联立直线AN和直线BM，得11111111111111414,12222xxyyxyPxyxyxyxy所以11111111111111111114221412222yxyxyxyyxyyxxyxyOD OPxyuuu r uuu r111122112+222xyxyxy，又M是椭圆C上异于,A B的一点，所以2121=12xy，即21212=2xy所以可得=1OD OPuuu r uuu r.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，以及椭圆中求面积，定值的问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.19已知函数1afxlnxx，aR.（1）若函数f（x）在 x1 处的切线为y2x+b，求 a，b 的值；（2）记 g（x）f（x）+ax，若函数g（x）在区间（0，12）上有最小值，求实数a的取值范围；（3）当 a0 时，关于x 的方程 f（x）bx2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.【答案】（1）a 1，b 2（2）a（0，23）（3）b（0，2e）【解析】（1）求导得到f（x）21axx，根据切线方程公式计算得到答案.（2）g（x）2221aaxxaaxxx，讨论 a0 和 a0 两种情况，根据函数的单调性求最值得到答案.（3）方程等价于bx2lnx10 有两个不等的实数根，设h（x）bx2lnx 1，则 h第 15 页 共 18 页（x）2bx1x，讨论 b0 和 b0 两种情况，计算h（x）的最小值为h（12b），计算得到答案.【详解】（1）1afxlnxx，f（x）21axx，由题意可得，f（1）1a2，解得 a 1，f（1）a+1 0，直线 y2x+b 过点（1，0），可得 b 2；（2）g（x）lnx1aaxx，则 g（x）2221aaxxaaxxx若 a0，则 g（x）22211a xxaaxxx0 在（0，12）上恒成立，f（x）单调递增，a0 不符合题意，若 a 0，设 G（x）ax2+xa，则 G（x）在（0，12）上单调递增，由题意，则应有G（0）a0，G（12）3142a0，解得 a32，则存在 x0（0，12），使得 G（x0）0，且当x（0，x0）时，g（x）0，g（x）单调递减，当 x（012x，）时，g（x）0，g（x）单调递增，g（x）在（0，12）上的最小值为g（x0），a（0，23）；（3）由题意可知，方程lnx+1 bx2，即 bx2lnx10 有两个不等的实数根，设 h（x）bx2lnx1，则 h（x）2bx1x.当 b0 时，h（x）0 恒成立，h（x）单调递减，不可能有两个零点，当 b 0 时，令 h（x）0，解得 x12b.且当 x（0，12b）时，h（x）0，h（x）单调递减，当 x（12b，+）时，h（x）0，h（x）单调递增，第 16 页 共 18 页 h（x）的最小值为h（12b）.由题意，应用h（12b）11122lnb0，解得 0b2e.又 h（1e）2be0，且112eb，存在 x1（112eb，），使得 h（x1）0.h（1b）11111lnlnbbbb，设 H（b）11lnbb，则 H（b）1bb，且当 x（0，1）时，H（b）0，H（b）单调递减，当 x（1，2e）时，H（b）0，H（b）单调递增，H（b）H（1）0，即 h（1b）0，112bb，存在 x2（12b，1b，使得 h（x2）0.综上，b（0，2e）.【点睛】本题考查了根据切线，最值和根的个数求参数，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.20数列na的前n项和为nS，若存在正整数,r t，且rt，使得rSt，tSr同时成立，则称数列na为“,M r t数列”.（1）若首项为3，公差为d的等差数列na是“,2M rr数列”，求d的值；（2）已知数列na为等比数列，公比为q.若数列na为“,2M rr数列”，4r，求q的值；若数列na为“,M r t数列”，1,0q，求证：r为奇数，t为偶数.【答案】（1）1d；（2）312q；证明见解析【解析】（1）根据题意，以及“,M r t数列”的概念，得到1322621r rrdrrrrdr，求解，即可得出结果；第 17 页 共 18 页（2）根据数列na为“,2M rr数列”，得到2122rrSrSr，再由4r，即可得出结果；根据数列na为“,M r t数列”，得到11rtrqtq，令1xfxxq，分别讨论：,r t为偶数；r为偶数，t为奇数；,r t为奇数三种情况，结合导数的方法进行处理，即可得出结果.【详解】解：（1）若首项为3，公差为d的等差数列na是“,2M rr数列”，由题意可得，1322621r rrdrrrrdr，解得：31rd；（2）若数列na为“,2M rr数列”，则211222rrrSrqSr，又4r，所以112rq或3312rq；若数列na为“,M r t数列”，则11111111rrrtttaqStqrqtqaqSrq，令1xfxxq，若,r t为偶数，则rt，11rtqq不符合题意；若r为偶数，t为奇数，1111rtrtrqrqtqtq不符题意；若,r t为奇数，1xfxxq，则1ln11 lnxxxxfxqx qqqq，令0,1xqt，11 lng ttt，则2ln20gttte，所以g t在20,e上单调递减，在2,1e上单调递增；2210g tg ee第 18 页 共 18 页即fx单调增，与题意不符；综上r为奇数，t为偶数.【点睛】本题主要考查数列新定义与导数的综合，熟记等差与等比的求和公式，以及导数的方法求函数最值即可，难度较大.