【精准解析】山东省日照市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题+.pdf
-1-山东省日照市2018-2019 学年高二上学期期末模块考试数学试题一、选择题（本大题共13 小题，共 52.0 分）1.在等比数列na中，44a，则26aa（）A.4B.16C.8D.32【答案】B【解析】等比数列的性质可知226416aaa,故选 B.2.在复平面内，复数1izi（i为虚数单位）对应的点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【详解】解：在复平面内，复数(1)111(1)(1)22iiiziiii所对应的点1 1,2 2在第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.命题“2,|0 xxxR”的否定是（）A.2,|0 xxxRB.2,|0 xxxRC.2000,0 xR xxD.2000,0 xR xx【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“2,|0 xxxR”的否定0 xR，-2-2000 xx，故选：C.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.4.设xR，则“x 1”是“2x1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由1x可得21x成立，反之不成立，所以“1x”是“21x”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件5.双曲线221916xy的渐近线方程是（）A.916yxB.169yxC.43yxD.34yx=【答案】C【解析】由220916xy，得43yx所以双曲线221916xy的渐近线方程是43yx选 C6.我国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了189 里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为（）A.108 里B.96 里C.64 里D.48 里【答案】B【解析】【分析】-3-根据题意，记该人每天走的路程里数为na，分析可得每天走的路程里数构成以12的为公比的等比数列，由6189S求得首项即可【详解】解：根据题意，记该人每天走的路程里数为na，则数列na是以12的为公比的等比数列，又由这个人走了6 天后到达目的地，即6189S，则有166112189112aS，解可得：196a，故选：B.【点睛】本题考查数列的应用，涉及等比数列的通项公式以及前n项和公式的运用，注意等比数列的性质的合理运用.7.如图，空间四边形OABC中，OAa，OB b，OCc，点M在线段OA上，且2OMMA，点N为BC的中点，则MN（）A.211322abcB.121232abcC.111222abcD.221332abc【答案】A【解析】【分析】由题意，把,OA OB OC三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将MN用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项.【详解】解：MNMAABBN，1132OAOBOABC，211322OAOBOCOB，-4-211322OAOBOC，,OAa OBb OCc，211322MNabc，故选：A.【点睛】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题.8.在数列na中，12a，11ln(1)nnaan，则naA.2ln nB.2(1)lnnnC.2lnnnD.1lnnn【答案】A【解析】【详解】试题分析：在数列na中，11ln 1nnaan112211()()()nnnnnaaaaaaaa12lnlnln2121nnnn12ln()2121nnnnln2n故选 A.9.如图，已知棱长为1 的正方体1111ABCDA B C D中，E是11A B的中点，则直线AE与平面11ABC D所成角的正弦值是（）A.155B.153C.103D.105-5-【答案】D【解析】【分析】根据AE与平面11ABC D的关系，先找到直线与平面的夹角，然后通过勾股定理求得各边长，即可求得夹角的正弦值【详解】连接1AC、1BD相交于点M，连接 EM、AM因为 EM AB，EM BC1所以 EM 平面11ABC D则 EAM 即为直线AE与平面11ABC D所成的角所以11222EMA D2151222AE所以2102sin552EAM所以选 D【点睛】本题考查了空间几何体线面的夹角关系，主要是找到直线与平面的夹角，再根据各长度求正弦值，属于中档题10.已知复数11322zi，21322zi，则下列命题中错误的是（）A.212zzB.12zzC.33121zzD.1z，2z互为共轭复数【答案】C【解析】【分析】分别计算21z，12,zz，3312,zz，然后对选项进行逐一分析排除，得出正确选项.-6-【详解】依题意21213i22zz，故 A 选项命题正确.121zz，故 B 选项命题正确.333311111,0zzzz，故 C 选项命题错误.根据共轭复数的概念知，D 选项命题正确.所以本题选 C.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数平方、三次方的运算，还考查了共轭复数的概念.属于基础题.11.若,a b cR，则下列命题中为真命题的是（）A.若 ab，则22acbcB.若0ab，则2abbaC.若|ab，则22abD.若 ab，则11ba【答案】B【解析】【分析】由基本不等式及不等式的性质逐一检验即可得解.【详解】解：对于选项A，当0c=时，若 ab，则22acbc，故 A 错误，对于选项B，因为0ab，所以0ab，0ba，所以22ababbaba，当且仅当abba，即22ab时取等号，故B 正确，对于选项C，取0,1ab时，显然选项C 错误，对于选项D，取1,1ab时，显然选项D 错误，综上可知：选项B 正确，故选：B.【点睛】本题考查了基本不等式及不等式的性质，属于基础题.12.已知函数yfx的定义域为0,，对任意的,0,x y，fxfyfxy成立，当1x时，0fx.若数列na满足11af，且*121nnfafanN，则（）A.11fB.yfx在0,为减函数-7-C.2018201921aD.2019201921a【答案】C【解析】【分析】A.根 据fxfyfxy，用 赋 值 法 判 断.B.利 用 单 调 性 定 义 判 断.C.根 据 B 知yfx在0,为增函数，再由*121nnf afanN，得到121nnaa，求通项na判断.D.与 C 的判断方法一致.【详解】A.由fxfyfxy，令1xy得10f故 A 不正确.B.任取12,0,x x且12xx，则2211xfxfxfx，因为当1x时，0fx，所以22110 xfxfxfx，所以yfx在0,为增函数，故B 错误.C.由 B 知yfx在0,为增函数且*121nnf afanN，所以121nnaa，即112(1)nnaa，又110af，所以111a，所以1na是以 1 为首项，以2 为公比的等比数列，所以121nna所以2018201921a，故 C 正确.D.由 C 知 D 不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值，单调性及其应用以及数列问题，还考查了推理辨析论证的能力，属于中档题.13.已知椭圆22122:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，离心率为1e，椭圆1C的-8-上顶点为M，且120MFMF曲线2C和椭圆1C有相同焦点，且双曲线2C的离心率为2e，P为曲线1C与2C的一个公共点，若123F PF，则（）A.212eeB.1232e eC.221252eeD.22211ee【答案】B【解析】【分析】如图所示，设双曲线的标准方程为：2222111xyab，11,0a b半焦距为c.根据椭圆1C的上顶点为M，且120MFMF.可得12,2F MFbc，可得1e，设1PFm，2PFn.利用定义可得：12,2mna mna.可得22()()4mnmnmn.在12PF F中，由余弦定理可得：222242cos()33cmnmnmnmn，代入化简利用离心率计算公式即可得出.【详解】解：如图所示，设双曲线的标准方程为：221122111,0 xya bab，半焦距为c.椭圆1C的上顶点为M，且120MFMF.122F MF，bc，222ac.122cea.-9-不妨设点P在第一象限，设1PFm，2PFn.2mna，12mna.22221()()4mnmnmnaa.在12PF F中，由余弦定理可得：2222222142cos()3433cmnmnmnmnaaa222143caa.两边同除以2c，得2212134ee，解得：232e.12233222e e.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于难题.二、填空题（本大题共4 小题，共 16.0分）14.设复数21iz（i为虚数单位），则 z 的虚部为 _.【答案】1【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：22(1)2(1)11(1)(1)2iiziiii，复数 z的虚部为1.故答案为：1.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.15.已知平面的一个法向量为11,2,2n，平面的一个法向量为22,4,nk，若，则k的值为 _.-10-【答案】4【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出【详解】解：，12/nn，存在实属使得21nn12242k解得：4k故答案为4.【点睛】本题考查了向量共线定理，属于基础题16.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6 项均为正数，第7 项起为负数，则它的公差为【答案】-4【解析】试题分析：解：设等差数列an的公差为d，所以 a6=23+5d，a7=23+6d，又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以-235 d-236，因为数列是公差为整数的等差数列，所以d=-4故答案为-4.考点：等差数列的通项公式点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算17.若正实数,a b满足2(3)16abab，则31abab的最大值为 _.【答案】16【解析】【分析】由已知可得，2(3)16abab，由2(3)1612(3)ababa b，利用基本不等式可求3ab的范围，然后对所求式子进行化简可求.【详解】解：正实数,a b满足2(3)16abab-11-2(3)16abab，223(3)1612(3)122abababa b，解可得，32ab，当且仅当3ab时取等号；则2(3)1311316(3)666ababababab，即最大值16.故答案为：16.【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值，解题的关键是对已知条件的灵活变形，属于中档题.三、解答题（本大题共6 小题，共 82.0分）18.已知关于x的不等式2520,axxaR.（1）当2a时，解此不等式；（2）若此不等式的解集为|2x x或13x，求实数a的值.【答案】（1）1|22xx；（2）3.【解析】【分析】（1）求2a时一元二次不等式的解集即可；（2）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a的值.【详解】解：（1）2a时，不等式为22520 xx，可化为(2)(21)0 xx，解得122x，不等式的解集为1|22xx；（2）若不等式2520axx的解集为1|23x xx或，则方程2520axx的实数根为2 和13，-12-1523a，解得3a，即a的值为3.【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应一元二次方程的应用问题，属于基础题.19.已知各项都为正数的数列na满足21111,2420nnnnnaaaaaa.（1）求2a；（2）求数列na的通项公式和前n项和nS.【答案】（1）212a；（2）112nna，12 12nnS.【解析】【分析】（1）首先利用数列的通项，根据赋值法求出212a.（2）根据数列的关系时的变换求出数列的通项公式，进一步求出等比数列的前n项和.【详解】解：（1）各项都为正数的数列na满足21111,2420nnnnnaaaaaa.当1n时，2212112420a aaaa.解得：212a.（2）由于：2112420nnnnnaaaaa.整理得：12220nnnnaaaa，所以：1220nnnaaa由于数列各项都为正数，则：12nnaa，即：112nnaa（常数），故：数列na是以11a为首项，12为公比的等比数列.则：1112nna，-13-由于首项符合通项，故：112nna.则：011111222nnS，11 1212 11212nn.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的性质和前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题.20.已知抛物线2:2(0)Cypx p的焦点为F，抛物线C与直线1:lyx的一个交点的横坐标为 8.（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线2l与1l垂直，且与抛物线C交于不同的两点,A B，若OAOB，求直线2l的方程.【答案】（1）28yx；（2）8yx.【解析】【分析】（1）求出交点坐标，代入抛物线方程求出p的值即可；（2）根据直线垂直，得到直线2l的斜率，设出直线2l的方程，利用OAOB，转化为坐标之积，利用设而不求思想进行求解即可.【详解】解：（1）抛物线C与直线1:lyx的一个交点的横坐标为8，纵坐标8y，即交点坐标为(8,8)，则642816pp，即4p，即抛物线方程为28yx；（2）不过原点O的直线2l与1l垂直，-14-直线2l的斜率1k，设直线2l的方程为yxb，设11,A x y，22,B xy，若OAOB，则0OA OB，即12120 x xy y，又2211228,8yxyx，22121264y yx x，即221212164x xy y，则2212121064y yy y即1211064y y，得1264y y，由28yxbyx得2880yyb，则12864y yb，即8b，则直线2l的方程为8yx.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，求出抛物线的方程，以及联立直线和抛物线方程，转化为一元二次方程是解决本题的关键.21.如图，在三棱柱111ABCA B C中，BA平面11ACC A，190A AC，12AAABAC.（1）求二面角11BCBA的大小；（2）设 P 是线段1AC的中点，H 是棱BC的中点，求证：PH平面1AB C.【答案】（1）120；（2）详见解析.【解析】-15-【分析】以A为原点，以1,AC AA AB所在直线分别为,x y z轴建立空间直角坐标系.（1）求得面1BCB的法向量为(,)mx y z，面11A BC 的法向量为(,)na b c.可得二面角11BCBA的大小为 120；（2）由10,0PHACPHAB，即可得PH平面1ABCC.【详解】解：BA平面11ACC A，190A AC，1AA，AC，AB两两垂直，故以A为原点，以1,AC AA AB所在直线分别为,x y z轴建立空间直角坐标系.12AAABAC.则11(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,2,2)ACABB.（1）1111(2,0,2),(0,2,0),(2,2,0),(0,0,2)BCBBACAB.设面1BCB的法向量为(,)mx y z，面11AB C 的法向量为(,)na b c.由122020m BCxzm BBy，(1,0,1)m.由11122020n ACabn A Bc，(1,1,0)n.11cos,222m n.二面角11BCBA的大小为120；（2）P 是线段1AC的中点，H 是棱BC的中点，(1,1,0),(1,0,1)PH.(0,1,1)PH.100PHACPHAB，且1ACABA.-16-PH平面1AB C【点睛】本题考查直线和平面垂直关系的判定与二面角的计算，考查空间想象、转化、计算、论证能力，属于中档题.22.为参与某次救援，潜水员需潜至水下30 米处进行作业.在下潜与返回水面的过程中保持匀速，速度均为v米/分钟（12vp，p为常数），下潜过程中每分钟耗氧量与速度v的平方成正比，当速度为1 米/分钟时，每分钟耗氧量为0.2 升；在水下30 米作业时，每分钟耗氧量为 0.4 升：返回水面的过程中每分钟耗氧量为0.2 升假定氧气瓶中氧气为20 升，潜水员下潜时开始使用氧气瓶中的氧气，返回到水面时氧气瓶中氧气恰好用尽.（1）试求潜水员在水下30 米作业的时间y（单位：分钟）与速度v的函数解析式；（2）试求潜水员在水下30 米能作业的最长时间.【答案】（1）15015yvv；（2）分类讨论，详见解析.【解析】【分析】（1）下潜过程中每分钟耗氧量与速度v的平方成正比，则下潜每分钟耗氧量为20.2v，上升和下潜的时间为30v，即可求出230300.40.20.220yvvv，整理即可，（2）根据（1）的函数解析式，需要分类讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可求出.【详解】解：（1）下潜过程中每分钟耗氧量与速度v的平方成正比，则下潜每分钟耗氧量为20.2v，上升和下潜的时间为30v，则230300.40.20.220yvvv，整理可得15015yvv，（1,2vp p为常数）（2）由（1）可知，当1p时，11501550152503020yvvvv，当且仅当1v时取等号，当112p时，易知函数1tvv在1,2p上为减函数，min1tpp15015ypp，-17-故当1p潜水员在水下30 米能作业的最长时间为20 分钟，当112p时，潜水员在水下30 米能作业的最长时间为15015 pp分钟【点睛】本题考查函数模型的选择和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，恰当地建立方程.易错点是弄不清数量间的相互关系，导致建立方程出错.23.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点为(2,0)F，点(2,2)M在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）若不经过点(0,)Pb的直线l与椭圆C相交于不同的两点,A B，且直线PA与直线PB的斜率之和为1，试判断直线l是否过定点.若过定点，请求出该定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22184xy；（2）直线l过定点(4,2).【解析】【分析】（1）先利用椭圆定义求出a的值，结合c的值可求出b的值，从而得出椭圆C的方程；（2）先假设直线l的斜率存在，设出直线方程，与椭圆方程联立，列出韦达定理，再依据两直线斜率之和为1，得出含有k和m的式子，利用因式分解，可得m与k的关系，最后讨论不存在的情况即可.【详解】解：（1）易知，椭圆C的左焦点为(2,0)F，由椭圆定义可得222|(22)2(22)24 2aMFMF，2 2a，所以，22(2 2)22b，因此，椭圆C的方程为22184xy；（2）设点11,A x y、22,B xy当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，易知2m.将直线l的方程与椭圆C的方程联立22184ykxmxy，消去y得-18-222214280kxkmxm，由韦达定理得122421kmxxk，21222821mx xk.直线PA和直线PB的斜率之和为121212121212122(2)22221PAPBkx xmxxyykxmkxmkkxxxxx x.化简得1212(21)(2)0kx xmxx，即2228(21)4(2)021mkkm mk，由于2m，所以，(21)(2)20kmkm，所以，42mk.所以，直线l的方程为42ykxk，直线l过定点(4,2)；当直线l与x轴垂直时，设直线l的方程为xn，此时点A与点 B 关于x轴对称，则120yy，直线PA和直线PB的斜率之和为122241PAPByykknnn，得4n.此时，直线l也过点(4,2).综上所述，直线l过定点(4,2).【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的定义以及韦达定理法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力，属于中档题.
