【精准解析】山东省青岛市黄岛区2020届高三上学期期中考试数学试题.pdf

-1-2019-2020 学年度第一学期期中学业水平检测高三数学第卷一、单项选择题：本大题共10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R，集合2|20AxR xx，集合|ln10Bxx，则RABe（）A.0,2B.0,2C.0,eD.0,e【答案】C【解析】【分析】分别由集合,A B求出对应x范围，先求ARe，再求RABeU即可【详解】2202AxR xxAx x或0 x，02RAxxe|ln10|0BxxBxxe，则0RABxxee故选：C【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题2.若点44sin,cos33M在角的终边上，则cos2（）A.12B.12C.32D.32【答案】B【解析】【分析】先将点44sin,cos33M化简，得31,22M，结合同角三角函数先求出cos，再结合二倍角公式求出cos2即可-2-【详解】由2443131sin,cos,coscos22cos1332222xMMr故选：B【点睛】本题考查三角函数值的化简，同角三角函数的基本求法，二倍角公式的应用，属于基础题3.已知平面向量(2,1)AB，(3,3)ACt，若/ABAC，则BC（）A.2 5B.20C.5D.2【答案】A【解析】【分析】根据两个向量平行的坐标表示列式求得2t,再根据BCACAB求得向量的坐标,然后求得模长.【详解】因为平面向量(2,1)AB，(3,3)ACt，且/ABAC,所以23 1(3)0t,解得2t,所以(6,3)AC,所以(62,3 1)(4,2)BCACAB所以22|(4)22 5BC.故选:A【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,考查了求向量的模长,属于基础题.4.已知函数14,331,3xxfxfxx，则31o4l gf（）A.144B.13C.19D.136【答案】C【解析】【分析】-3-先判断括号内342,31 log，需代入第二段表达式，得331log2l4g4off，由343,42log继续代入第一段表达式即可求解【详解】33332 loglog 9 loglog 36443314111log42log444333ff133log 36log 36143439故选：C【点睛】本题考查分段函数中具体函数值的求解，对数的基本运算，对数恒等式的使用，属于基础题5.若先将函数2sin23yx的图象向左平移6个单位，再保持图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的2 倍，得到函数yg x的图象，则3g（）A.1B.3C.3D.2【答案】C【解析】【分析】结合函数图像平移法则求出yg x表达式，再代值运算即可【详解】由题可知，2sin23yx的图象向左平移6个单位后的表达式为：22sin 22sin22cos26636yxxx，再将所有横坐标伸长为原来的2 倍，表达式变为：2cos6yx，则2cos6g xx，2cos2cos33366g故选：C【点睛】本题考查由函数图像的平移法则求平移之后的解析式及具体的函数值，属于基础题-4-6.函数23ln44(2)xxfxx的图象可能是下面的图象()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为2233ln44ln222xxxfxxx，所以函数fx的图象关于点（2,0）对称，排除A，B当0 x时，23ln20,20 xx，所以0fx，排除 D选 C7.已知1cos33，则7sin26（）A.13B.13C.79D.79【答案】D【解析】【分析】可观察两个式子整体特征，一个为单倍角，一个为二倍角，则考虑先对1cos33整体求二倍角，再根据诱导公式进行合理转化即可【详解】27cos22cos1339，即27cos 239，7sin2sin2sin2sin 26666，-5-而226232，则2272cos 23239in2sin6s，故97sin672故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换及诱导公式的使用，熟悉单倍角与二倍角公式转化，熟练运用诱导公式是解题的关键，属于中档题8.设，为两个平面，则的充要条件是（）A.内有一条直线与垂直B.内有一条直线与内两条直线垂直C.与均与同一平面垂直D.与均与同一直线垂直【答案】A【解析】【分析】结合面面垂直的判定定理即可求解【详解】对A，符合面面垂直的判定定理描述，正确；对 B，两平面斜交时，若内的直线垂直于两平面交线，而内两条直线与交线平行时，符合描述，但两平面不垂直，故错误；对 C，垂直于同一平面的两平面也可能平行，故错误；对 D，垂直于同一直线的两平面平行，故错误；故选：A【点睛】本题考查面面垂直的性质与判定，属于基础题9.若函数2sin2 sin2coscoscos0 xxfx的一个极大值点为6，则（）A.0B.6C.4D.3-6-【答案】D【解析】【分析】先将表达式结合二倍角公式和两角差的余弦公式化简，再采用待定系数法即可求解【详解】22sin2 sin2coscoscossin 2 sin2cos1 cosfxxxxxsin2 sincos2 coscos 2xxx，因为fx的一个极大值点为6，所以cos 2166f，解得2,3kkZ，又0，故3，故选：D【点睛】本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式和两角差的余弦公式的使用，属于基础题10.英国数学家泰勒发现了如下公式：246cos11212341 23456xxxx.则下列数值更接近cos0.4的是（）A.0.91B.0.92C.0.93D.0.94【答案】B【解析】【分析】根据表达式特点可写出通式，再分n为奇数和偶数分类讨论即可【详解】由题知2462123cos11111121 23412 345 62!nnxxxxxn题设要求精确到0.01 即可，当n为奇数时，由于20.4110.080.921 2，460.40.4012 341 234 56，所以2460.40.40.9212 3c41 20.4114os0.54326；当n为偶数时，由于420.4110.41 20.921342，-7-680.40.401 234 561 23456 78，48261c0.40.40.40.921 234123 4561 23 45 678os.0.411 20 4综上所述，cos0.40.92故选：B【点睛】本题考查新定义的理解与使用，找出规律，学会分类讨论是解题的关键，属于中档题二、多项选择题：本大题共3 小题，每小题 4 分，共 12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 4 分，选对但不全的得2 分，有选错的得 0 分.11.下列结论正确的是（）A.若22ab，则11abB.若0 x，则44xxC.若0ab，则lglgabD.若0ab，1ab，则114ab【答案】BCD【解析】【分析】根据不等式的性质举反例可判断A；利用基本不等式可判断B；由对数函数的单调性可判断C；由基本不等式可判断D.【详解】对于A，若22ab，则ab，当2a，1b时，11ab不成立，故A 错；对于 B，由0 x，则4424xxxx，当且仅当2x取等号，故B 正确；对于 C，由lgyx为单调递增函数，由0ab，则lglgab，故 C 正确；对于 D，由0ab，1ab，则1111224bab aabababa b，当且仅当12ab时取等号，故D 正确；故选：BCD【点睛】本题考查了基本不等式的性质、基本不等式以及对数函数的单调性，属于基础题.-8-12.在正方体1111ABCDA B C D中，下列直线或平面与平面1ACD平行的是（）A.直线1A BB.直线1BBC.平面11A DCD.平面11A BC【答案】AD【解析】【分析】作出正方体，由线面平行的判定定理可判断A、B；由面面平行的判定定理可判断C、D.【详解】如图由11ABD C，且1AB平面1ACD，1D C平面1ACD，故直线1A B与平面1ACD平行，故A正确；直线11BBDD，1DD与平面1ACD相交，故直线1BB与平面1ACD相交，故B 错误；由图，显然平面11A DC与平面1ACD相交，故C 错误；由11ABD C，11ACAC，且1111A BACA，1ACD CC，故平面11A BC与平面1ACD平行，故 D正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了线面平行、面面平行的判定定理，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.13.若函数1xfxe与g xax的图象恰有一个公共点，则实数a可能取值为（）A.2B.0C.1D.1【答案】BCD【解析】【分析】-9-作出1xfxe的图像，利用数形结合可判断0a满足恰有一个公共点；当0a时，需直线与曲线相切即可.【详解】由1xfxe与g xax恒过0,0，如图，当0a时，两函数图象恰有一个公共点，当0a时，函数1xfxe与g xax的图象恰有一个公共点，则g xax为1xfxe的切线，且切点为0,0，由xfxe，所以001afe，综上所述，0,1a或1.故选：BCD【点睛】本题考查了指数函数图像、导数的几何意义，考查了数形结合在解题中的应用，属于基础题.第卷三、填空题：本大题共4 个小题，每小题4 分，共 16 分.14.声强级IL（单位：dB）由公式1210lg10IIL给出，其中I为声强（单位：2/Wm）.（1）平时常人交谈时的声强约为6210/Wm，则其声强级为_dB；（2）一般正常人听觉能忍受的最高声强为21/Wm，能听到的最低声强为12210/Wm，则正常人听觉的声强级范围为_dB.【答案】(1).60(2).0,120【解析】【分析】-10-根据定义，代入数值，结合对数运算性质即可求解；【详解】（1）当62110/IWm时，66121010lg10lg106010IL；（2）当221/IWm时，1212110lg10lg1012010IL，当122310/IWm时，12121010lg010IL，则正常人听觉的声强级范围为0,120 dB故答案为：60；0,120【点睛】本题考查指数与对数的基本运算，属于基础题15.已知等差数列na满足：2355aaa，*nN，则数列sin2na的前 2019 项和等于_.【答案】0【解析】【分析】由2355aaa计算出数列na的通项公式，再根据新数列的周期性特点即可求解【详解】由2355aaa可得2311512351451naaadaanaadd，则sinsin22nan，当1n时，sin12，当2n时，2sin02，当3n时，3sin12，当4n时，4sin02，通过列举发现新数列是一个周期为4 的循环数列，记sin2nnb，nS为nb前n项和，则12341,0,1,0,bbbb201912341235040Sbbbbbbb故数列sin2na的前 2019 项和等于 0故答案为：0【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，周期数列前n项和的求解，三角函数的周期性，-11-属于基础题16.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若222sinsinsinsinsinABCAB，ABC的面积3S，则c的取值范围为 _.【答案】2c【解析】【分析】结合正弦定理角化边及余弦定理，可得1cos2C，再由正弦定理面积公式求得4ab，再结合余弦定理22222cos22abcabcCabab放缩即可求解【详解】由题222222222sinsinsinsinsin2cosABCABabcababcababC，求得1cos2C，又因为1sin342SabCab，由余弦定理及不等式性质可得：22222cos22abcabcCabab，即21828c，化简得2c故答案为：2c【点睛】本题考查正弦定理角化边，正弦的面积公式，余弦定理解三角形，不等式的基本性质，属于中档题17.已知三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且2PAPBPC，则三棱锥PABC的外接球与内切球的半径比为_【答案】3312【解析】【分析】将三棱锥放在长方体中，外接球半径即为长方体对角线的一半，内切球的半径利用等体法进行求解.【详解】以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱，作长方体，由2PAPBPC，可知此长方体即为正方体.-12-设外接圆半径为R，则44432R，设内切圆半径为r，则内切圆的圆心到四个面的距离均为r，由1133ACPAPBPCBABCPCBSSSSrSAP，解得233r所以33132233Rr，故答案为：3312【点睛】本题主要考查了多面体的内切球外接球问题、等体法求距离，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.四、解答题：共 82 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.在ABC中，E，F分别为线段BC，AC上的点，/EFAB，3AB，2EF，AE23，3BAC.（1）求EAC；（2）求BC的长度.【答案】（1）6；（2）3 3【解析】【分析】（1）先画出大致图像，在三角形AEF中由正弦定理可得sinsinAEEFAFEEAF，进而求出1sin2EAF，结合三角形内角特点即可求解；（2）由（1）的结论可得，AEF为等腰三角形，求出2AFEF，再由相似三角形可求-13-6AC，对ABC采用余弦定理2222cosBCABACABACBAC即可求解；【详解】（1）在ABC中：/EFAB，所以23AFE，在AFE中由正弦定理知：1sinsinsin2AEEFEAFAFEEAF，又因为23AFE为钝角，所以6EAF.（2）因为23AFE，6EAF，所以6AEF，2AFEF，又因为/EFAB，3AB，2EF，所以2CFAF，即6AC，在ABC中由余弦定理知：2222cos27BCABACABACBAC，3 3BC.【点睛】本题考查等腰三角形性质，正弦定理，余弦定理解三角形，属于基础题19.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，/ABCD，ABBC，2AB，1PAPDCDBC，面PAD面ABCD，E为AD的中点.（1）求证：PABD；（2）在线段AB上是否存在一点G，使得/BC面 PEG？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，证明见解析【解析】-14-【分析】（1）可作AB中点F，连接DF，通过底面梯形的性质可证四边形BCDF 为正方形，求出边2AD，2BD，通过勾股定理可证BDAD，再结合面PAD面ABCD，面PAD面ABCDAD，可证BD面PAD，得到PABD，即可得证；（2）可将问题转化，在底面找一点G使得EGBC，即可求证；【详解】（1）取AB中点F，连接DF，/DCAB且12DCAB，/DCBF且DCBF，所以四边形BCDF 为平行四边形，又ABBC，1BCCD，所以四边形BCDF 为正方形.在Rt AFD中，因为1DFAF，所以2AD，在Rt BCD中，因为1BCCD，所以2BD，因为2AB，所以222ADBDAB，BDAD，因为BD面ABCD，面PAD面ABCDAD，面PAD面ABCD，所以BD面PAD，因为PA面PAD，所以PABD.（2）线段AB上存在一点G，满足14AGAB，即G为AF中点时，/BC面 PEG，证明如下：连结EG，E为AD的中点，G为AF中点，/GEDF，又/DFBC，所以/GEBC，GE 面 PEG，BC面 PEG，/BC面 PEG.-15-【点睛】本题考查线面垂直的性质，线线垂直的证明，由线面平行需找满足条件的点，属于中档题20.已知数列na满足：110a，21nnaa，lgnnba，2lognncb，*nN.（1）证明：数列nb为等比数列；（2）证明：数列nc为等差数列；（3）若数列12nb的前n项和为nS，数列nc的前n项和为nT，数列1nTn的前n项和为nW，证明：nnWS.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用11lglgnnnnbaba，由21nnaa代换即可求证；（2）由（1）得1lg2nnnba，则2loglg1nncan，通过定义即可求证；（3）由题可求1122nnb，由等比数列前n项和公式可求112nnS=-，由等差数列前n项和公式可求12nn nT，则11121nTnnn，结合裂项公式可求221nWn，通过放缩即可求证；【详解】（1）因为211lglg2lg2lglglgnnnnnnnnbaaabaaa，又因为11lg1ba，所以nb是首项为 1，公比 2 的等比数列.（2）由（1）得：1lg2nnnba，所以2loglg1nncan，所以111nnccnn，-16-所以nc是公差为 1 的等差数列.（3）由（2）知：1122nnb，11112211212nnnS，因为12nn nT，所以1211211nTnn nnn，所以111111222122311nWnnn，所以22121111112nnnWSnn.【点睛】本题考查等差数列，等比数列的证明，等差数列，等比数列通项公式，前n项和公式，裂项相消法，放缩法等的应用，综合性强，但难度不大，属于中档题21.图 1是由菱形ABCD，平行四边形ABEF 和矩形EFGH组成的一个平面图形，其中2AB，1BEEH，3ABC，4ABE，将其沿AB，EF折起使得CD与HG重合，如图2（1）证明：图2 中的平面BCE平面 ABEF；（2）求图 2 中点F到平面BCE的距离；（3）求图 2 中二面角EABC的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)1(3)33【解析】【分析】-17-（1）证出CEBE、CEEF，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证出.（2）证出AEBE，由（1）可得 AE 平面BCE，求出AE即可求出点F到平面BCE的距离.（3）以E为坐标原点，分别以EB、EC、EA为x、y、z 轴建立空间直角坐标系Exyz，求出平面ABC的法向量与平面ABE 的法向量，利用向量的夹角即可求出.【详解】（1）由题知，在BEC中，222BCECBE，所以CEBE又在矩形EFGH中，CEEF，且EFBEE，所以CE平面 ABEF 又因为CE平面BCE，所以平面BEC平面 ABEF（2）由（1）知：CE平面 ABEF，所以CEAE因为菱形ABCD中的3ABC，所以ABC为等边三角形，2ACAB，所以在RtAEC中，2221AEACCE，1AE所以在AEB中，222ABAEBE，AEBE又因为平面BCE平面 ABEF，且平面BCE平面ABEFBE，所以 AE 平面BCE又因为AF平面BCE，所以点F到平面BCE的距离为1AE（3）以E为坐标原点，分别以EB、EC、EA为x、y、z轴建立空间直角坐标系Exyz，所以0,0,0E，1,0,0B，0,1,0C，0,0,1A由（1）知平面ABE的法向量为0,1,0mEC，设平面ABC的法向量,nx y zr，因为1,0,1BA，1,1,0BCuu u r，由00n BAn BC，得00 xzxy，取1x得，1,1,1n所以3cos3m nm n，即二面角EABC的余弦值为33【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理、点到面的距离以及用空间向量求二面角，考-18-查了学生的推理能力和计算能力，属于中档题.22.已知函数ln1fxaxxaR.（1）求函数fx的极值；（2）若0fx，求a的值.【答案】（1）0a时，fx无极值；当0a时，极大值ln1aaa，无极小值；（2）1【解析】【分析】（1）先求导，得10afxxx，再分为0a和0a两种情况具体讨论，进一步确定函数的极值；（2）由（1）可判断当0a时，不满足所求条件，当0a时，maxfxfa，则所求问题转化为：ln10fxf aaaa，可构造函数ln1g aaaa，得lngaa，令0ga得1a，可判断g a在1a处取到最小值，且10g，故求得1a；【详解】（1）由题知：10afxxx，当0a时，0fx，fx在0,上单调递减，所以fx无极值，当0a时，0fx得xa，当0,xa时，0f x，所以fx在0,a上单调递增；当,xa时，0fx，所以fx在,a上单调递减；所以fx在xa时取得极大值ln1faaaa，综上：0a时，fx无极值；当0a时，fx有极大值ln1f aaaa，无极小值.（2）若0fx恒成立，-19-由（1）知当0a时，0fx，fx在0,上单调递减，又因为10f，0,1x时0fx，1,x时0fx，所以0a时，不存在符合题意的a值，若0a时，由（1）知：若0fx恒成立，只需ln10fxfaaaa，令ln1g aaaa，则lngaa，0ga得1a，当0,1a时，0ga，所以g a在0,1上单调递减；当1,a时，0ga，所以g a在1,上单调递增；且10g，因此1a.【点睛】本题考查利用含参导数分类讨论求极值，恒成立问题的等价转化，构造函数法求解参数取值，属于中档题23.已知自变量为x的函数11lnln12xnnnefnxnex的极大值点为nxP，*nN，2.718e为自然对数的底数.（1）若1n，证明：fx有且仅有2 个零点；（2）若1x，2x，3x，nx为任意正实数，证明：14niiiifxP.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当1n时，11ln2xfxxe，求导得111xfxex，令11xg xex，再次求导1210 xgxex，可判断fx在0,单调递减，又110f，故1fx在0,1上单调递增；在1,上单调递减；求得1111fxf，再判断210fe，210fe，结合零点存在定理判断，1fx有且仅有2 个零点；-20-（2）对nfx求导可得xnnnfxex，又0nnnnnfne，故可判断0,xn，0nfx；,xn，0nfx，nfx在0,n上单调递增；在,n上单调递减；故nPn且112nnnxnff，所求问题转化为1112nniiiniinfxP，记112nnin为nW，观察知nW为等差乘以等比数列的形式，结合错位相减法化简即可求证；【详解】解：（1）由题知：11ln2xfxxe，111xfxex，令11xg xex，1210 xgxex，fx在0,单调递减，又11110 xfex，0,1x，10fx，1,x，10fx，故1fx在0,1上单调递增；在1,上单调递减；所以1111fxf；又因为22110efee，2221213314444240efeeee，所以1fx在0,1，1,上各恰有零点，即1fx有且仅有 2 个零点.（2）由题知xnnnfxex，因此0nnnnnfne，0,xn，0nfx；,xn，0nfx，故nfx在0,n上单调递增；在,n上单调递减；因此nPn且112nnnxnff，112nnnfx，所以1112nniiiniinfxP，记112nnin为nW，所以01211232222nnnW，12311231222222nnnWnn，所以21111122222nnnWn，-21-所以111222122212nnnnWnn，所以12442nnnW，因此11142nniiiniinfxP，即14niiiifxP.【点睛】本题考查利用导数证明函数零点个数，利用导数研究函数极值点，放缩法证明不等式的应用，错位相减法求数列前n项和，转化与化归能力，计算能力，属于难题