考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题5数列、推理与证明第25练.pdf

第 25 练归纳推理与类比推理题型分析 高考展望 归纳推理与类比推理是新增内容，在高考中，常以选择题、填空题的形式考查.题目难度不大，只要掌握合情推理的基础理论知识和基本方法即可解决.体验高考1.(2015陕西)观察下列等式：11212，11213141314，11213141516141516，据此规律，第n 个等式可为 _.答案112131412n112n1n11n212n解析等式左边的特征：第1 个等式有2 项，第 2 个有 4 项，第 3 个有 6 项，且正负交错，故第 n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为112131412n112n；等式右边的特征：第 1 个有 1 项，第 2 个有 2 项，第 3 个有 3 项，故第 n 个有 n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n11n212n.2.(2016课标全国甲)有三张卡片，分别写有1 和 2，1 和 3，2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.答案1 和 3解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1 和 2”或“1 和 3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2 和 3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1 和 3”.3.(2015福建)一个二元码是由0 和 1 组成的数字串x1x2xn(nN*)，其中 xk(k1，2，n)称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1，或者由1 变为 0).已知某种二元码x1x2 x7的码元满足如下校验方程组：x4x5x6x70，x2x3x6x70，x1x3x5x70，其中运算定义为 000，01 1，101，110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 _.答案5解析()x4x5x6x711011；()x2x3x6x710010；()x1x3x5x710111.由()()知 x5，x7有一个错误，()中没有错误，x5错误，故 k 等于 5.高考必会题型题型一利用归纳推理求解相关问题例 1(1)观察下列等式121，1222 3，122232 6，122232 42 10，照此规律，第n 个等式可为 _.(2)如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()答案(1)12223242(1)n1n2(1)n1n n 12(2)A解析(1)观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(1)n1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1，3，6，10，15，21，.设此数列为 an，则a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，an an1 n，各式相加得an a1234n，即an123 nn n12.所以第 n 个等式为12223242(1)n1n2(1)n1n n12.(2)第一个图，左下角为黑，然后顺时针旋转，变为第二个图；接下来，相邻的黑块顺时针旋转；所以之后所有图就应该是相邻的黑块顺时针旋转，故选A.点评归纳推理的三个特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围；(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需要经过逻辑推理和实践检验，因此归纳推理不能作为数学证明的工具；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助发现问题和提出问题.变式训练1已知 cos 312，cos 5cos 2514，cos 7cos 27cos 3718，根据以上等式，可猜想出的一般结论是_.答案cos 2n1cos 22n1 cos n2n112n，nN*题型二利用类比推理求解相关问题例 2半径为 r 的圆的面积S(r)r2，周长 C(r)2 r，若将 r 看作(0，)上的变量，则(r2)2 r，式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，对于半径为R的球，若将 R 看作(0，)上的变量，请写出类比的等式：_.上式用语言可以叙述为 _.答案(43 R3)4 R2球的体积函数的导数等于球的表面积函数解析圆的面积类比为球的体积，圆的周长类比为球的表面积，那么语言可以叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数，故填：(43 R3)4 R2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数.点评类比推理的一般步骤(1)定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力.变式训练2在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S214.推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC 的内切球体积为V1，外接球体积为 V2，则V1V2等于()A.164B.127C.19D.18答案B解析从平面图形类比到空间图形，从二维类比三维，可得到如下结论：正四面体的内切球与外接球半径之比为13，所以正四面体的内切球的体积V1与外接球的体积V2之比等于V1V2(13)3127，故选 B.高考题型精练1.设 0 0)上的一点，则抛物线在点P 处的切线的斜率可以通过如下方法求得：在y22px 两边同时对x 求导，得2yy 2p，即 ypy，所以抛物线在点P 处的切线的斜率kpy0，请类比上述方法，求出双曲线x2y221 在点 P(2，2)处的切线的方程为 _.答案2xy20解析x2y221，两边同时对x 求导，得 2xyy0，即 y2xy，(22)，Py2，切线方程为y22(x2)，即 2xy20.12.设 f(x)axax2，g(x)axax2(其中 a0，且 a1).(1)523，请你推测g(5)能否用 f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解(1)由 f(3)g(2)g(3)f(2)a3a32a2 a22a3a32a2a22a5a52，又 g(5)a5a52，因此 g(5)f(3)g(2)g(3)f(2).(2)由 g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)，即 g(23)f(3)g(2)g(3)f(2)，于是推测g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y).证明：因为 f(x)axax2，g(x)axax2，所以 g(xy)axy axy2，g(y)ayay2，f(y)ayay2，所以 f(x)g(y)g(x)f(y)axax2ayay2axax2ayay2axyaxy2 g(xy).