人教版八年级数学与三角形有关的角讲义(含解析).pdf

第1讲 与三角形有关的角知识定位讲解用时：5 分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习三角形的知识，包括与三角形有关的线段和角，本次课重点讲述与三角形有关的角，这是几何题目中出现概率较为频繁的，要熟练掌握三角形相关角的性质并灵活运用。知识梳理讲解用时：20分钟与三角形有关的线段1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形三边都不相等的三角形三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性课堂精讲精练【例题 1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.1、2、3 B.3、3、7 C.20、15、8 D.5、15、8【答案】C 与三角形有关的角1、三角形内角和定理：三角形的内角和是 1802、三角形的外角性质：性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3、三角形的几种特殊模型：两内角角平分线夹角两外角角平分线一内角、一外角角平分线夹角P=90+12A P=90-12A P=12A 4、直角三角形的性质：（1）两锐角互余（2）等面积法计算 S=12ab=12ch（3）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证明方法如左图【解析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边则成立讲解用时：2 分钟解题思路：利用三角形的三边关系做题教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边难度：2 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 1.1】若 a、b、c 分别为三角形的三边，化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a+b|【答案】-a+b+3c【解析】根据三角形的三边关系可以得出：b+ca，a+cb，b+ca，再去绝对值符号，化简合并同类项讲解用时：2 分钟解题思路：利用三角形的三边关系做题.教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 1.2】a、b、c 分别为 ABC的三边，且满足 a+b=3c-2，a-b=2c-6（1）求 c 的取值范围；（2）若 ABC 的周长为 18，求 c 的值.【答案】（1）2c6；（2）c=5【解析】根据三角形的两边之和大于第三边a+b=3c-2c，两边之差小于第三边 a-b=2c-6 c，求出 c 的取值范围.讲解用时：3 分钟解题思路：利用三角形的三边关系做题.教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 2】一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是（）A165 B120 C 150 D135【答案】A【解析】根据三角形内角和定理可求出1 的度数，由三角形外角性质可得出2 的度数，再根据 2 与互补，即可得出结论解：给图中标上 1、2，如图所示1+45+90=180，1=45，1=2+30，2=15又 2+=180，=165故选：A讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定义以及三角形外角的性质是解题的关键教学建议：熟练使用三角形内角和定理和外角的性质.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 2.1】在ABC 中，A=B+C，B=2C6，则 C的度数为（）A90B58C54D32【答案】D【解析】根据三角形的内角和等于180求出 A=90，从而得到 B、C互余，然后用 C表示出 B，再列方程求解即可解：A=B+C，A+B+C=180，A=90，B+C=90，B=90 C，B=2C6，90 C=2 C6，C=32 故选：D讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并求出A 的度数是解题的关键教学建议：熟练使用三角形内角和定理.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 3】如图所示，A=50，B=20，D=30，则 BCD 的度数为（）A80B100C120D140【答案】B【解析】延长 BC交 AD于点 E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和先求出 CED 的度数，再次利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出 BCD 的度数解：如图所示，延长BC交 AD于点 E，A=50，B=20，CED=A+B=50+20=70，BCD=CED+D=70+30=100故选：B讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作出辅助线是解题的关键教学建议：熟练使用三角形的外角性质难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 3.1】如图所示，在 ABC中，D 是 BC边上一点，1=2，3=4，BAC=63 ，求DAC的度数【答案】24【解析】ABD中，由三角形的外角性质知3=22，因此 4=22，从而可在BAC中，根据三角形内角和定理求出4 的度数，进而可在 DAC中，由三角形内角和定理求出 DAC 的度数解：设 1=2=x，则 3=4=2x因为 BAC=63，所以 2+4=117，即 x+2x=117，所以 x=39；所以 3=4=78，DAC=180 34=24讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用教学建议：熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 4】如图，在 ABC中，点 D在 AB边上，点 E在 AC边上 DE BC，点 B、C、F 在一条直线上，若 ACF=140，ADE=105，则 A的大小为（）A75B50C35D30【答案】C【解析】根据平行线的性质得出DEC=140，进而利用三角形内角和解答即可解：DE BC，DEC=ACF=140，AED=180 140=40，ADE=105，A=180 10540=35，故选：C讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查三角形内角和，关键是根据平行线的性质得出DEC=140 教学建议：熟练运用平行线的性质和三角形的内角和定理.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 4.1】如图，在 ABC中，CD AB，垂足为 D，点 E在 BC上，EF AB，垂足为 F1=2，3=105，求 ACB的度数【答案】105【解析】证明 CD EF，得到 2=BCD，证明 DG BC，根据平行线的性质证明即可解：CD AB，EF AB，CD EF，2=BCD，又1=2，1=BCD，DG BC，ACB=3=105讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键教学建议：熟练掌握平行线的判定和性质.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 5】如图，ABC 中，A=50，D是 BC延长线上一点，ABC和ACD 的平分线交于点 E，则 E的度数为（）A40B20C25D30【答案】C 【解析】根据三角形的角平分线的定义得到EBC=ABC，ECD=ACD，根据三角形的外角的性质计算即可解：由三角形的外角的性质可知，E=ECD EBD，ABC 的平分线与 ACD 的平分线交于点 E，EBC=ABC，ECD=ACD，ACD ABC=A=50，ACD ABC=25，E=ECD EBD=25，故选：C讲解用时：3 分钟解题思路：充分利用角平分线的性质和三角形的外角性质.教学建议：熟记一内角、一外角角平分线的模型.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 5.1】如图，在 ABC 中，点 D在边 BA的延长线上，ABC 的平分线和 DAC 的平分线相交于点 M，若BAC=80，C=60，则 M的大小为（）A20B25C30D35【答案】C【解析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出ABC=40，再根据角平分线的定义求出 ABM，CAM，然后利用三角形的内角和定理求出M即可解：BAC=80，C=60，ABC=40，ABC 的平分线和 DAC 的平分线相交于点M，ABM=20，CAM=，M=180 205080=30，故选：C讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键教学建议：熟记一内角、一外角角平分线的模型.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 6】如图，在 ABC中，B、C的平分线 BE，CD相交于点 F，A=60，求 BFC的度数.【答案】120【解析】根据角平分线的定义可得出CBF=ABC、BCF=ACB，再根据内角和定理结合 A=60 即可求出 BFC的度数解：ABC、ACB 的平分线 BE、CD相交于点 F，CBF=ABC，BCF=ACB，A=60，ABC+ACB=180 A=120，BFC=180（CBF+BCF）=180（ABC+ACB）=120讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键教学建议：熟记两内角角平分线的模型.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 6.1】（1）如图，BD、CD是ABC和ACB的角平分线且交于点D，A=50 ，则D=（2）如图，BD、CD是ABC和ACB外角的平分线且相交于点D，请猜想A与D 之间的数量关系：（3）如图，BD 为ABC的角平分线，CD为ACB的外角的角平分线，它们相交于点 D，请猜想 A 与D 之间的数量关系，并说明理由【答案】B（1）115；（2）90-12A；（3）D=12A【解析】（1）根据角平分线的定义得到DBC=ABC，DCB=ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；（2）根据角平分线的定义得到DBC=EBC，FCB=ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；（3）根据角平分线的定义得到DBC=ABC，DCE=ACE，根据三角形的外角的性质解答解：（1）BD、CD是ABC和ACB 的角平分线，DBC=ABC，DCB=ACB，D=180（DBC+DCB）=180（ABC+ACB）=180（180A）=90+A；A=50，D=115，故答案为：115；（2）BC、CD是ABC和ACB外角的平分线，DBC=EBC，FCB=ACB，D=180（DBC+DCB）=180（EBC+FCB）=180（180+A）=90A；故答案为：90A；（3）BD为ABC的角平分线，CD为ACB的外角的角平分线，DBC=ABC，DCE=ACE，D=21=（ACE ABC）=A讲解用时：5 分钟解题思路：本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键教学建议：熟记三角形角平分线的3 种模型.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 7】如图，在 ACB 中，ACB=90，CD AB于 D（1）求证：ACD=B；（2）若 AF平分 CAB 分别交 CD、BC于 E、F，求证：CEF=CFE【答案】（1）ACD=B；（2）CEF=CFE【解析】（1）由于ACD 与B都是BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出CFA=90 CAF，AED=90 DAE，再根据角平分线的定义得出CAF=DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明 CEF=CFE 证明：（1）ACB=90，CD AB于 D，ACD+BCD=90，B+BCD=90，ACD=B；（2）在 RtAFC中，CFA=90 CAF，同理在 RtAED中，AED=90 DAE 又AF平分CAB，CAF=DAE，AED=CFE，又 CEF=AED，CEF=CFE 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中教学建议：熟练掌握直角三角形的性质.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 7.1】如图，已知 D为ABC边 BC延长线上一点，DF AB于 F 交 AC于 E，A=30，D=40，求 ACD 的度数【答案】80【解析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答解：DF AB，B=40 DFB=90，B=90 D=90 40=50，ACD 是ABC的外角，A=30，ACD=B+A=50+30=80讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查三角形外角与内角的关系，关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180教学建议：熟练掌握直角三角形的性质以及三角形内角和定理、外角性质.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018 课后作业【作业 1】如图，在 ABC中，BF平分 ABC，CF平分 ACB，BFC=115，则 A的度数是（）A50B57.5 C60D65【答案】A【解析】先根据三角形内角和定理得出BCF+CBF的度数，再由角平分线的性质得出 ABC+ACB 的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论解：BFC=115，BCF+CBF=180 115=65BF平分 ABC，CF平分 ACB，ABC+ACB=2（BCF+CBF）=130，A+ABC+ACB=180，A=180 130=50故选：A讲解用时：3 分钟难度：2 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 2】在直角 ABC中，C=90 ，沿图中虚线剪去 C，则1+2=【答案】270【解析】首先根据三角形的内角和定理求得A 与B 的度数的和，然后利用四边形的内角和定理即可求解解：A+B+C=180，A+B=180 C=90，1+2+A+B=360，1+2=36090=270故答案是：270讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 3】一个三角形的最大角不会小于度【答案】60【解析】因为三角形的内角和是180 度，假设三角形的最大角小于60，那么此三角形的内角和小于180 度，与三角形的内角和是180度矛盾，所以三角形的最大角不小于 60 度解：由分析可知：如果三角形的最大角小于60，那么此三角形的内角和小于180 度，与三角形的内角和是180 度矛盾所以三角形的最大角不小于60 度；故答案为：60讲解用时：4 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 4】如图，是一个不规则的五角星，则A+B+C+D+E=（用度数表示）【答案】180【解析】根据三角形外角性质，可得1=C+2，2=A+D，那么有 1=C+A+D，再根据三角形内角和定理有1+B+E=180，从而易求 A+B+C+D+E=180 解：如右图所示，1=C+2，2=A+D，1=C+A+D，又 1+B+E=180，A+B+C+D+E=180故答案是：180讲解用时：4 分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 5】如图，在ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点 O，BOA=125，求DAC 的度数【答案】20【解析】先根据角平分线定义和三角形内角和定理求出CAB+CBA的度数，再求出 C的度数，即可求出答案解：AE，BF是角平分线，OAB=BAC，OBA=ABC，CAB+CBA=2（OAB+OBA）=2（180 AOB），AOB=125，CAB+CBA=110，C=70，ADC=90，CAD=20 讲解用时：4 分钟难度：3适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 6】已知：如图，点 D、E分别在 AB、AC上，DE BC，F是 AD上一点，FE的延长线交 BC的延长线于点 G 求证：（1）EGH ADE；（2）EGH=ADE+A+AEF【答案】（1）成立；（2）EGH=ADE+A+AEF【解析】（1）根据平行线的性质得出B=ADE，根据三角形的外角性质得出EGH B，即可得出答案；（2）根据三角形的外角性质得出BFE=A+AEF，EGH=B+BFE，根据平行线的性质得出 B=ADE，即可得出答案证明：（1）EGH 是FBG的外角，EGH B，又DE BC，B=ADE （两直线平行，同位角相等），EGH ADE；（2）BFE是AFE的外角，BFE=A+AEF，EGH 是BFG的外角，EGH=B+BFE EGH=B+A+AEF，又DE BC，B=ADE（两直线平行，同位角相等），EGH=ADE+A+AEF 讲解用时：4 分钟难度：2 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 7】如图，已知：点 P是ABC内一点（1）求证：BPC A；（2）若 PB平分 ABC，PC平分 ACB，A=40，求 P的度数【答案】（1）成立；（2）110【解析】（1）延长 BP交 AC于 D，根据PDC 外角的性质知 BPC 1；根据ABD外角的性质知 1A，所以易证 BPC A（2）由三角形内角和定理求出ABC+ACB=140，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果（1）证明：延长 BP交 AC于 D，如图所示：BPC 是CDP 的一个外角，1 是ABD的一个外角，BPC 1，1A，BPC A；（2）在 ABC 中，A=40，ABC+ACB=180 A=18040=140，PB平分 ABC，PC平分 ACB，PBC=ABC，PCB=ACB，在ABC 中，P=180（PBC+PCB）=180（ABC+ACB）=180（ABC+ACB）=180140=110讲解用时：4 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018