四川省成都市2021届零诊(高二下期末)理科数学模拟试题(解析卷).pdf

1 四川省成都市 2021 届零诊（高二下期末）理科数学模拟试题简介 -2020.6.30 鉴于成都市今年高二下期（零诊）摸底考试范围和比例作了部分调整，除了2020 届（去年）的零诊外，之前的摸底试题参考意义不大。2021 届成都市零诊考试范围和分布比例：数学理：人教 A版 必修 1、2、3、4、5;选修 2-1，选修 2-2，选修 4-4。数学文：人教 A版 必修 1、2、3、4、5;选修 1-1,选修 1-2，选修 4-4。其中高一内容约占15%(重点考查函数等)，高二上期内容约占35%，高二下期内容约占50%。本套卷按新课标（全国卷）的试题类型编写。（12 道选择，4 道填空，6道解答题）试卷根据成都市最新的考试范围和分布比例编写，希望能给广大师生朋友在备考零诊提供一点微薄之力。如有不足之处，望大家多多指正！2 四川省成都市 2021 届零诊（高二下期末）理科数学模拟试题第卷（选择题，共60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知3|xNxA，2|-40Bx xxx，则（）【答案】A【解析】由题意得：，所以.【方法总结】集合中的元素有关问题的求解策略：(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合(2)看这些元素满足什么限制条件(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性2已知复数满足为虚数单位)，则在复平面内复数对应的点的坐标为（）ABCD【答案】B【解析】由题意,得.则,其在复数平面内对应的点的坐标为.故选：B.3随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加某家庭2019 年全年的收入与2015 年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是()A该家庭2019 年食品的消费额是2015 年食品的消费额的一半B该家庭2019 年教育医疗的消费额与2015 年教育医疗的消费额相当C该家庭2019 年休闲旅游的消费额是2015 年休闲旅游的消费额的五倍D该家庭2019 年生活用品的消费额是2015 年生活用品的消费额的两倍BA3,2,1.A2,1.B3,0.C4,3.D1,2,33|xNxA2|-401,4BxxxBA3,2,1z(3425zii iz21,52,1521,52,15525zi25zi2,153 4 解析：选 C.设该家庭2015 年全年收入为a，则 2019 年全年收入为2a.对于 A，2019 年食品消费额为0.2 2a0.4a，2015 年食品消费额为0.4a，故两者相等，A 不正确对于B，2019 年教育医疗消费额为0.2 2a0.4a，2015 年教育医疗消费额为0.2a，故 B 不正确 对于 C，2019 年休闲旅游消费额为0.25 2a0.5a，2015年休闲旅游消费额为0.1a，故 C 正确对于D，2019 年生活用品的消费额为0.3 2a0.6a，2015 年生活用品的消费额为0.15a，故 D 不正确故选C.4某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）ABCD【答案】A【解析】由题意可知该三棱锥底面是边长为的等腰直角三角形,高为 2.故外接球直径为.故外接球表面积.故选：A5.下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是().ABCD【答案】D解析由已知，则，所以为上的奇函数.8648 232222+2=22222 24482SR11122xxfxexy2ln1yxx2yxtanyx111=22xxfxxR111111=2222xxxxfxfxfxR4 设，.易判断为上的增函数，也为上的增函数，所以为上的增函数.A 选项中的不是奇函数，排除A；B 选项中令，则，所以为奇函数.设，易判断为增函数，而也为增函数，由复合函数的单调性知为增函数，所以B 选项中的函数的奇偶性、单调性与的奇偶性、单调性相同；C 选项中不是奇函数，排除 C；D 选项中在上不是单调函数.排除 D.故选 B.5我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作数书九章中提出了计算多项式的值的秦九韶算法，即将改写成如下形式：，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入（）.A.B.C.D.112xfx2112xfx1fxR2fxR12fxfxfxRexy2ln1fxxx2ln1fxxx21ln1xx2ln1xxfxfx21u xxxu xlnyu2ln1yxx111=22xxfx2yxtanyxR11nnnnfxa xax10a xaLfx1210nnnfxa xaxaxaxaLLivvxaivv xaiva xvivaxv5 解析秦九韶算法的过程是.这个过程用循环结构来实现,则在空白的执行框内应填入.故选 A.7平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点，且，则的值为（）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，若，所以不符合，所以，所以.是结束输出 vi 0?i=i-1i=n-1输入 n，an，x开始v=an输入 ai否011,2,nkkn kvavvxaknLivvxaxOy00(,)P xy(,0)23cos()650 x3 34104 33103 34104 3310(,0)23cos()65(,)63 6(0,)6633cos()625(,0)634sin()65033413 34coscos()66525210 x6 8 已知，给出下列四个命题：；其中真命题的是（）.A.B.C.D.【答案】D解析画出的可行域如图所示.对于命题,在点处,则是假命题;对于命题,在点处,取最大值为,故是真命题;对于命题,点到的斜率最小值在点处取到为,故是假命题;对于命题,在点处,故是真命题.故选 D.9.唐代诗人李顾的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的2 0,2 036 0 xyDx yxyxy,1:,0Px yD xy2,21 0Px yDxy：,31:,41yPx yDx,224,2Px yD xy：12,P P23,P P34,P P24,P PD1P2,0A2020 xy1P2P0,2C21xy1143P4P0,2C2202424Pxyx+y-2=03x-y+6=0A(-2,0)B(-1,3)C(0,2)x-y+2=0221xy3,0A4xy7 最短总路程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：求出关于的对称点，根据题意，为最短距离，求出即可.解：设点关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为，根据题意，为最短距离，先求出的坐标，的中点为，直线的斜率为1，故直线为，由，联立得故，所以，故，故选：A.10.已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为，若.则该双曲线的离心率为（）A.2B.3C.D.【答案】D解：根据题意可画出以下图像，过点作垂线并交于点，因为，在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，即，因为圆的半径为，是圆的半径，所以，因为，所以，三角形是直角三角形，因为，所以，即点纵坐标为，将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，1711721732A4xyA2A CA4xy,A a bC1A CAAA3,22abAAAA3yx34223abba4a1b224117A C1171A C22221(0,0)xyabab12,FF222xybM123MFMF23M12F F12F FH123MFMFM122MFMFa2232MFMFa2MFa222xybbOM222xybOMb22222,OMb MFa OFc abc290OMF2OMF2MHOF22,abOFMHOMMFMHcMabcM22222a bxbc22,bbabxMccc8 将点坐标带入双曲线中可得，化简得，选 D.11已知过抛物线220ypx p的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且3AFFBu uu ruuu r，抛物线的准线l 与x轴交于 C，1AAl于点1A，且四边形1AACF的面积为6 3，过1,0K的直线 l 交抛物线于M，N两点，且1,2KMKNuuu u ruuu r，点 G 为线段 MN 的垂直平分线与x轴的交点，则点 G 的横坐标0 x的取值范围为（）A133,4B92,4C93,2D11,72【答案】A【解析】过B作1BBl于1B，设直线AB与 l 交点为D，由抛物线的性质可知1AAAF，1BBBF，CFp，设 BDm，BFn，则1113BBBDBFADAAAF，即143mmn，2mn 又1BBBDCFDF，23nmpmn，23pn，2DFmnp，130ADA，M422221baa cc4422baa c222422caaa c223ca3cea9 又132AAnp，CFp，12 3A Dp，3CDp，13ACp，直角梯形1AACF的面积为123632ppp，解得2p，24yx，设11,Mxy，22,N xy，KMKNuuuu ruuu r，12yy，设直线:1lxmy代入到24yx中得2440ymy，124yym，124y y，21212242xxm yym，由以上式子可得221142m，由 12 可得12y递增，即有2944,2m，即291,8m，又 MN 中点221,2mm，直线 MN 的垂直平分线的方程为2221ymm xm，令0y，可得2013213,4xm，故选 A 12已知函数有两个零点，函数，则方程的实根个数至多为A2 B3 C4 D5【答案】C【命题意图】主要考查函数的零点，函数与导数等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，抽象与概括能力和创新意识；考查数形结合思想，分类与整合思想，函数与方程思想【解析】选C令，则即，此方程有两根对于函数，时，所以在单调递减，在单调递增，所以有极小值当时，在单调递增，且时，；时，作出的大致图象可知，有1 个实根；至多有 3 个实根，所以方程的实根至多有4 个()f x1212(01)xxxx，2()ln()g xxx()0f g x()tg x0f g x()0f t1212,(01)t ttt2ln()g xxx0 x()2lng xxx221xgxxx()g x(0,2)(2,)()g x(2)22ln 2(0,1)g0 x2ln()g xxx210gxx()g x(,0)xy0 x+yg x10g xt2(0,1)g xt0f g x10 第卷（非选择题，共90 分）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在答题卡上13记 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若5a2S5+5，则数列 an的公差为1【答案】1解析：利用等差数列的通项公式及求和公式即可得出设等差数列 an的公差为d5a2S5+5，5（a1+d）5a1+10d+5，则数列 an 的公差 d 1故答案为：1本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14在极坐标系中，圆1C 的极坐标方程为24(cossin)pp，以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy 已知曲线2C 的参数方程为22|xtyt（t为参数），曲线2C 与圆1C 交于,A B两点，则圆1C 夹在,A B两点间的劣弧AB 的长为【答案】2解析：圆1C 的直角坐标方程为22(2)(2)8xy；圆1C 夹在,A B两点间的劣弧AB 的长为12222415.如图所示，在平面直角坐标系中，将直线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积据此类比：将曲线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积.xOy2xy1xxx210d2xVx圆锥3 10.1212x2(0)yxx2yyy_V11【答案】2解析：因为曲线是绕轴旋转，故需将其方程变形为，可求旋转体体积.16 若以曲线上任意一点为切点作切线，曲线上总存在异于点的点，使得以点为切点作切线满足，则称曲线具有“可平行性”.已知下列曲线：；.其中具有“可平行性”的曲线是（写出所有正确的编号）【答案】解析 有两个相等实根，因此曲线不具有“可平行性”；，总有两个不同的实根与之对应，因此曲线是具有“可平行性”的曲线；，则至少有两个不同的实根与之对应，因此曲线是具有“可平行性”的曲线；，当时，只有一个实根，因此曲线不具有“可平行性”.综上，是具有“可平行性”的曲线.评注本题将“可平行性”这一抽象的概念转化为曲线对应函数的导函数是否存在2 个不同的零点的问题，使解答变得易于操作.三、解答题：本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（12 分）设函数32fxxaxbxc.（1）求曲线yfx在点0,0f处的切线方程；20yxxyxy2222002dd202Vyyy yyyfx,Mx ylM,NxyNlllyfx3yxx1yxxsinyx22lnyxx231,1y=xfx3yxx211yxfxa,1a1yxxcosyxcosxa1,1asinyx124y=x+x2 24fx22x22lnxx第 13 题图y=x=1y x x O y y=2 y=O 12（2）设4ab，若函数fx有三个不同零点，求c的取值范围；解析（1）由32fxxaxbxc，得232fxxaxb.因为0fc，0fb，所以曲线yfx在点0,0f处的切线方程为ybxc.（2）当4ab时，3244f xxxxc，所以2384fxxx.令0fx，得23840 xx，解得2x或23x.fx与fx在区间,上的变化情况如下表所示.x,2222,3232,3fx00fxc3227c所以当0c且32027c时，存在14,2x，222,3x，32,03x，使得1230f xfxf x.由fx的单调性，当且仅当320,27c时，函数3244fxxxxc有三个不同零点.19.（12 分）如图所示，在四棱柱1111ABCDA B C D中，侧棱1AA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADAB，/ABCD，1224ABADAA.（1）证明：1A D平面11ABC D；（2）若四棱锥111AABC D的体积为103，求四棱柱1111ABCDA B C D的侧面积.【解析】（1）因为侧棱1AA平面ABCD，所以1AAAD，1AAAB，又ABAD，1AAADAI，所以AB平面11ADD A，13 而1A D平面11ADD A，所以1ABA D；又1AAAD，1AAAD，所以四边形11ADD A为正方形，所以11A DAD，又1ABADAI，所以1A D平面11ABC D.（2）记1A D与1AD的交点为O，所以1A O平面11ABC D，又1224ABADAA，所以12AO，12 2AD，设11CDC Dx，则1111111128103233AABC DVABC DxADAO，解得1x，即1CD，所以22(41)213BC，所以四棱柱1111ABCDA B C D的侧面积为(12413)2142 13S.18（12 分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了散点图 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合，已求得：用指数函数模型拟合的回归方程为，与的相关系数；,（其中）；（1）用反比例函数模型求关于的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到 001），并用其估计产量为10 千件时每件产品的非原料成本xbyaxdxyce$0.296.54xyeln yx10.94r81=183.4iiiu y=0.34u2=0.115u821=1.53iiu81360iiy82122385.5iiy1,1,2,3,8iiuixLyx14 参考数据：,参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，相关系数19【解析】（1）令，则可转化为，1 分因为，所以，4 分则，所以，5 分所以关于的回归方程为；6 分（2）与的相关系数为：，9 分因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，10 分把代入回归方程：，（元），11 分所以当产量为10 千件时，每件产品的非原料成本估计为21 元 12 分20（12 分）已知点1 0F，直线4lxP：，为平面内的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点M，且11022PFPMPFPMuu u vuuuu vuu u vuuuu v.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点1F作直线1l（与x轴不重合）交C轨迹于A，B两点，求三角形面积OAB的取值范围.（O为坐标原点）【解析】（1）设动点P xy，则4Hy，由11022PFPMPFPMuuu vuuu u vuuu vuu uu v2214PFPMu uu vuu uu v，即2214PFPMuuu vuuuu v，2221144xyx，化简得22143xy0.616185.561.420.135e11,u22,u,nnu?u)1221niiiniiunuunuu1222211niiinniiiiunurunun1uxbyaxyabu360458y8221818183.48 0.3445611001.53 8 0.1150.6?18iiiiiu yuybuu45?1000.3411aybu11100?yuyx10011?yxy1x28822221181888iiiiiiiu yuyruuyy61610.9961.40.616185.512rr10 x10011?yx100112110y)15（2）由(1)知轨迹C的方程为22143xy，当直线1l斜率不存在时31,2A，31,2B1322DABSABOF当直线1l斜率存在时，设直线l方程为1xmy0m，设11,A x y22,B xy由221143xmyxy得2234690mymy.则21441440m，122634myym，122934y ym，11212OABSOFyy212121142yyy y22221363623434mmm2221634mm令21(1)mt t，则2631OABtSt2166196196ttttt令196fttt，则219ftt，当1t时，0ft，196fttt在1,上单调递增，116f tf，136162OABS综上所述，三角形OAB面积的取值范围是30,221（12 分）已知2()(ln)2xfxxxae（1）证明fx在1x处的切线恒过定点；（2）若fx有两个极值点，求实数a的取值范围解析：（1）2(ln)()xxxaxefxx，所以12fae又因为12fae，所以fx在1x处的切线方程221yaeaex即2yae x，所以fx在1x处的切线恒过定点0,0（2）l()()n2xxxxexxfa，其中0 x，设()2(ln)xg xxxaxe，则(1)(2)()xxaxeg xx，当0a时，0gx，则g x在(0,)单调递增，g x在(0,)上至多有一个零点，16 即fx在(0,)上至多有一个零点，fx至多只有一个极值点，不合题意，舍去当0a时，设2xh xaxe，()(1)xh xa xe，0hx，h x在(0,)上单调递减，020h，22()220ahea，02(0,)a，使得00h x，即002xax e2，当00,xx时，0h x，此时0gx，g x在00,x单调递增，当0(),xx时，0h x，此时0gx，g x在0(),x单调递减，g x在(0,)有极大值0g x，即0max000()2 lnxg xxxax e00002 ln22 ln1xxxx若00ln10 xx，则0g x，0fx，fx在(0,)单调递减，不合题意，若00ln10 xx，设lnp xxx，1()10p xx，p x在(0,)单调递增，又11p，01x，()(1)0 xxxexe，xyxe在(0,)单调递增，002xx eea，即20ae，此时00g x，00fx1111112()2(1)20eeaeaeeeeeg，g x在00,x单调递增，00g x101(,)xxe，使得10g x，当10,xx时，0g x，0fx，fx在10,x上单调递减，当10,xx x时，0g x，0fx，fx在10,x x上单调递增，fx在1xx取得极小值又11lnxexxx，1xexx444444442 ln42ln0aaageeeaaaaag x在0(),x单调递减，00g x，又02(0,)xa，04xa，204(,)xxa，使得20g x，当02,xxx时，0g x，0fx，fx在02,xx上单调递增，当2,xx时，0g x，0fx，fx在2(),x上单调递减，17 fx在2xx处取得极大值综上所述，若fx有两个极值点，则实数a的取值范围为2(0,)e（注：利用当x时，0g x，当0 x时，0g x，证明存在两个极值点，得1 分）22.（10 分）如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧?BC,?AD 和线段 AB，CD 四部分组成，在极坐标系Ox 中，A（2，3），B（1，23），C（1，43），D（2，3），弧?BC,?AD 所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线是弧?BC，曲线M2是弧?AD （1）分别写出M1，M2的极坐标方程：（2）点 E，F位于曲线M2上，且3EOF，求 EOF 面积的取值范围解析（1）由题意可知：M1的极坐标方程为24133记圆弧 AD 所在圆的圆心（2，0）易得极点O 在圆弧 AD 上设 P（，）为 M2上任意一点，则在OO1P 中，可得 4cos（33）所以：M1，M2的极坐标方程为24133和 4cos（33）（2）设点 E（1，），点 F（2,3），（03），所以 14cos ，24cos3所以121sin4 3 coscoscossinsin2 3 sin 2323336EOFS由于03，所以1sin 2126故2 3,33EOFS