圆周运动的规律和应用.pdf

第 3 讲：圆周运动的规律及其应用一、描述圆周运动的几个物理量1、线速度定义：质点沿圆周运动通过的弧长l与所用时间t的比值叫线速度。也即是单位时间通过的弧长公式：tlv单位：sm物理意义：描述圆周运动的物体运动快慢的物理量。注意：线速度是矢量线速度有平均线速度和瞬时线速度之分。和速度一样，不作特殊说明，线速度指的都是瞬时线速度，也简称速度2、角速度定义：做圆周运动的物体与圆心的连线转过的角度与所用时间t的比值叫角速度。也即是单位时间转过的角度公式：t单位：srad物理意义：描述物体绕圆心转动的快慢。注意：角速度是矢量，角速度的方向高中阶段不研究。公式：t中的必须用弧度制一定要注意角速度的单位。3、周期定义：做圆周运动的物体转动一周所用的时间叫周期。符号：T 单位：s 4、频率定义：做圆周运动的物体1s 转动的圈数。符号：f单位：Hz注意：周期和频率的关系fT15、转速定义：做圆周运动的物体在单位时间转过的圈数符号：n 单位：srminr且 1sr=60minr注意：当转速以sr为单位时，转速的大小和频率在数值上相等6、向心加速度定义：做匀速圆周运动的物体的加速度始终指向圆心，这个加速度叫向心加速度。公式：rva2=r 单位：2sm方向：总是指向圆心且与线速度垂直物理意义：描述做圆周的物体速度方向变化快慢的物理量。二、匀速圆周运动1、定义：线速度大小不变的圆周运动。2、性质：匀速圆周运动的性质可以有以下三种说法变速曲线运动匀速率曲线运动变加速曲线运动（加速度的大小不变，方向在时刻变化）注意：匀速圆周运动的性质不是匀速运动，也不是匀变速曲线运动三、描述匀速圆周运动的几个物理量的关系V=r T2fT1=2 n rva2=r 四、几种常见的传动装置及其特点1、同轴传动 2、皮带传动特点：物体上任意各点的特点:轮子边缘上各点线速度的大小相等，都和皮带角速度都相同，即：CBA的速度大小相等，即：DCBAvvvv3、齿轮传动特点：两齿轮边缘上各点线速度大小相等即：CBAvvv?O?C A B R?r D B A C B A C?例 1、把地球 看成一个球体，在地球表面上赤道某一点A，北纬 60一点 B，在地球自转时，A与 B两点角速度之比为多大？线速度之比为多大？例 2、机械表中，时针、分针、秒针的运动可视为匀速转动，则分针与秒针从某次重合再次重合所经历的时间为（）A、59s B、60s C、min5960 D、min6061变式：分针和时针从某次重合再次重合所经历的时间为多少？例 3、如图所示，直径为 d 的纸制圆筒以角速度绕垂直纸面的轴O 匀速转动（图示为截面），从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒，若子弹在圆筒中旋转不到半周时，在圆筒上先后留下 A、B两个弹孔，已知AO与 BO的夹角为，求子弹速度大小五、向心力1、物体做圆周运动时，所需向心力的大小:F需=rmv2=m r=marTm222、方向：总是指向圆心且与线速度垂直。注意：（1）向心力肯定是变力。（2）向心力是按照力的作用效果命名的力，它并不是物体真实受到的力，而是由其他力来提供的。3、作用效果：产生向心加速度，改变线速度的方向，4、来源物体不会平白无故做圆周运动，要想做圆周运动必然需要向心力，但是向心力又不是物体真实受到的力，而是由其他力来提供的，下面就牵涉到向心力的来源：若物体做匀速圆周运动，则合外力提供向心力，且合外力的大小恒定，方向始终指向圆心；若物体做变速圆周运动，则沿半径方向上的合外力提供向心力，沿切线方向的合外力用来改变线速度的大小。注意：匀速圆周运动的合外力不是恒定的，因此匀速圆周运动的加速度也不是恒定的。六、解决圆周运动题目的一般方法1、确定物体在哪个平面做圆周运动，确定m、v、r等物理量，尤其是轨道半径r2、对物体进行受力分析。?O B A 若物体做匀速圆周运动，则受力分析时一定要注意满足：任意时刻、任意位置，合外力方向一定要始终指向物体轨迹圆的圆心。若物体做变速圆周运动，受力分析后，要沿着半径方向和垂直于半径方向进行正交分解，且任意时刻、任意位置都是：沿着半径方向的合外力要指向圆心，提供向心力；沿着切线方向的力用来改变物体线速度的大小。3、根据圆周运动的中心等式需提FF列方程，该步具体步骤如下：提F的表达式写法：由向心力的来源可知：若物体做匀速圆周运动，则提F的表达式就是合外力的表达式；若物体做变速圆周运动，则提F的表达式就是沿半径方向合外力的表达式。需F的表达式写法：根据解题需要从rmv2或m r或rTm22或ma中选一个恰当的方便的表达式即可。令提F的表达式和需F的表达式相等建立圆周运动中心方程即可。注意：圆周运动的中心等式是两个表达式相等，且提F的表达式要写在等式的左边，需F的表达式要写在等式的右边。只要物体做圆周运动，则任意时刻、任意位置都要满足圆周运动的中心等式。列方程时，一般都要明确研究对象及其位置。七、圆周运动的向心力与合外力1、匀速圆周运动：线速度大小不变的圆周运动。2、变速圆周运动：线速度大小改变的圆周运动。合F指向圆心，完全充当向心力，即：合F=nF合F只改变线速度的方向，不改变线速度的大小只有na且naa合F不指向圆心，它沿半径方向上的分力nF充当向心力合F沿半径方向上的分力nF用来改变线速度的方向，垂直于半径方向上的分力F用来改变线速度的大小同时有na和a且a是na和a的和加速度vAA?）（nnaF）（合aF)aF（O AvA?）（合aFO 八、生活中常见的圆周运动模型1、水平转盘如图所示，要使小物块随着水平转盘一起转动不被“甩出去”，圆盘转动的最大角速度为rgm试分析并说明小物块离中心越远越容易被甩出去还是离中心越近越容易被甩出去？2、圆锥筒、圆锥摆圆锥筒例 4、如图所示，一质量为m的小球在一壁光滑的圆锥筒里做匀速圆周运动，轨道半径为r，（已知）求小球所受支持力大小小球的线速度、角速度和周期大小例 5、如图所示，壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和 B紧贴着壁分别在如图所示的水平面做匀速圆周运动，则（）A球 A的线速度一定大于球B的线速度B球 A的角速度一定大于球B的角速度C球 A的向心加速度一定大于球B的向心加速度D球 A对筒壁的压力一定大于球B对筒壁的压力r圆锥摆例 6、如图所示小球在水平面做匀速圆周运动，已知m、L、g求:小球所受拉力的大小小球的线速度、角速度和周期大小3、汽车过拱形桥与凹形桥拱形桥如右图为拱形桥模型，当汽车通过拱形桥的最高点时，由rvmNmg2，因此可以求出桥对车的支持力，mgrvmmgN2，故汽车处于失重状态。且当grv时 N=0，汽车将立即脱离桥面做平抛运动。凹形桥如右图为凹形桥模型，当汽车通过拱形桥的最低点时，由rvmmgN2，因此可以求出桥对车的支持力，mgrvmmgN2，故汽车处于超重状态。且曲率半径越小越容易爆胎。4、火车转弯模型思考：火车转弯处，外轨都会比轨垫的稍微高一些，这是为什么呢？为什么轨、外轨不是一样高的呢？L N mg N mg 其实，火车在转弯处除了外轨要比轨高一些之外，还有其他一些规定，如火车在转弯处都有规定的速度，下面就介绍一下。火车转弯的限定速度如图所示，已知铁轨间距为L，、外轨的高度差为h，转弯的轨道半径为r，火车的质量为m，设此时火车转弯时刚好既不挤压外轨，又不挤压轨，对火车进行受力分析如图，由牛顿第二定律可得：rvmmg20tan,因为在很小时，sintan所以rvmmg20sin，又因为Lhsin，固有rvmLhmg20，可解得：Lghrv0此速度即为火车转弯时的限定速度。火车转弯时侧压力的分析当火车的行驶速度0vv时，它转弯所需要的向心力刚好由重力和轨道的支持力的合力来提供，此时火车轮缘既不挤压轨，也不挤压外轨当火车的行驶速度0vv时，它转弯所需要的向心力大于重力和轨道的支持力的合力，故此时火车轮缘挤压外轨当火车的行驶速度0vv时，它转弯所需要的向心力小于重力和轨道的支持力的合力，故此时火车轮缘挤压轨九、竖直平面的圆周运动的两种模型1、无支撑物的模型图通过最高点的临界条件：无支持的物体刚好、恰好、正好通过最高点的临界条件是：物体受到的弹力（压力或拉力）刚好为 0，即：N（T）=0 只在重力场中，无支持物刚好通过最高点的临界速度：grv临（由grvrvmmg临临2）对最高点进行讨论分析当grv时，物体刚好通过最高点，绳或轨道对物体无弹力作用。O mg F合N?h L?绳v 圆轨道V 当grv时，物体能通过最高点，绳或轨道对物体有向下弹力作用。当grv时，物体不能通过最高点。对最低点进行分析由于物体在最低点受到的重力竖直向下、故弹力必竖直向上，故有2、有支撑物的模型图通过最高点的临界条件：0临v由于有支撑，所以在最高点只有有一点点速度，物体就可以通过最高点。对最高点进行讨论分析当0v时，物体刚好通过最高点，由rvmNmg2可知mgN即：杆或管道对物体的弹力大小等于重力，方向：竖直向上。（此时设弹力方向向下）此时对于杆子：杆子产生的是支持力；对于管道：物体挤压管壁。当grv0时，由rvmNmg2可知02rvmmgN即：杆或管道对物体的弹力大小等于rvmmg2，方向竖直向上。（此时设弹力方向向上）此时对于杆子：杆子产生的是支持力；对于管道：物体挤压管壁。当grv时，由rvmNmg2可知0N即：杆或管道对物体的弹力大小等于0，即杆或管道对物体没有弹力的作用。（此时设弹力方向向上）当grv时，由rvmNmg2可知02rvmmgN即：杆或管道对物体的弹力大小等于rvmmg2，方向竖直向下。（此时设弹力方向向上）此时对于杆子：杆子产生的是拉力；对于管道：物体挤压外管壁。注意：轻杆既可以产生支持力也可以产生拉力。?杆v光滑管道vrvmmgN2rvmmgT2对最低点进行分析由于物体在最低点受到的重力竖直向下、弹力竖直向上，故必然有rvmmgN2例 7、如图所示，长度为L=0.5 m 的轻质杆 OA，A端固定一个质量为kgm3的小球，小球以O 点为圆心在竖直平面做圆周运动。通过最高点时小球的速率是sm2，g取210sm，则此时轻杆OA受到（）A、6N的拉力B、6N的压力C、24N拉力D、54N的压力例 8、如图所示，长度为l的轻绳上端固定在天花板上，与竖直方向的夹角为，让质量为m的小球由图示位置无初速度释放，求刚释放时，轻绳对小球拉力的大小小球通过最低点时的速度大小及此时轻绳对小球拉力大小十、圆周运动、离心运动和近心运动的比较1、圆周运动：需提FF2、离心运动：合外力突然消失或不足以提供物体做圆周运动所需要的向心力即：需提FF3、近心运动：合外力大于物体做圆周运动所需要的向心力，即：需提FFO A：0提F（离心运动）：需提FF（离心运动）：需提FF（圆周运动）：需提FF（近心运动）l