高中数学人教A版选修1-1学业分层测评12抛物线的简单几何性质Word版含解析.pdf

学业分层测评(建议用时：45 分钟)学业达标 一、选择题1过抛物线y24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在【解析】由定义，知|AB|527，因为|AB|min4，所以这样的直线有且仅有两条【答案】B 2过点(1,0)作斜率为 2 的直线，与抛物线 y28x 交于A，B 两点，则弦AB 的长为()A2 13 B2 15 C2 17 D2 19【解析】设 A，B 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线 AB 斜率为 2，且过点(1,0)得直线 AB 的方程为y2(x1)，代入抛物线方程y28x 得 4(x1)28x，整理得x2 4x 1 0，则x1 x2 4，x1x2 1，|AB|5x1x224x1x25164215.故选 B.【答案】B 3(2014 全国卷)已知抛物线C：y2x 的焦点为F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|54x0，则 x0()A1B2 C4D8【解析】由 y2x 得 2p1，即 p12，因此焦点 F14，0，准线方程为l：x14，设 A 点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d|AF|，从而 x01454x0，解得 x01，故选 A.【答案】A 4已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1 的直线交抛物线于A，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx 1 Cx2 Dx 2【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 A，B 两点在抛物线上，得y212px1，y222px2，由，得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)又线段 AB 的中点的纵坐标为2，即 y1y24，直线 AB 的斜率为1，故2p4，p2，因此抛物线的准线方程为xp2 1.【答案】B 5设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y24x 的焦点，A 为抛物线上一点，若 O A A F 4，则点 A 的坐标为()【导学号：26160061】A(2，2 2)B(1，2)C(1,2)D(2,22)【解析】设 A(x，y)，则 y24x，O A(x，y)，A F(1x，y)，O A A Fxx2y2 4，由可解得x1，y 2.【答案】B 二、填空题6抛物线 y24x 上的点到直线xy40 的最小距离为_【解析】可判断直线yx4 与抛物线 y24x 相离，设 yxm 与抛物线 y24x 相切，则由yxm，y24x，消去 x 得 y24y4m0.1616m0，m1.又 yx4 与 yx1 的距离 d|41|23 22，则所求的最小距离为3 22.【答案】3 227已知抛物线y24x，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 y21y21的最小值是 _【解析】设 AB 的方程为xmy4，代入 y24x 得y24my160，则 y1y24m，y1y2 16，y21y22(y1y2)22y1y216m232，当 m0 时，y21y22最小为 32.【答案】32 8过抛物线y22x 的焦点 F 作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|2512，|AF|BF|，则|AF|_.【解析】设过抛物线焦点的直线为yk x12，联立得y22x，yk x12，整理得 k2x2(k22)x14k20，x1x2k22k2，x1x214.|AB|x1x21k22k212512，得 k224，代入 k2x2(k22)x14k20 得 12x213x30，解之得 x113，x234，又|AF|BF|，故|AF|x11256.【答案】56三、解答题9求过定点P(0,1)，且与抛物线y22x 只有一个公共点的直线方程【解】如图所示，若直线的斜率不存在，则过点 P(0,1)的直线方程为x0，由x0，y22x，得x0，y0，即直线 x0 与抛物线只有一个公共点若直线的斜率存在，则设直线为ykx1，代入 y22x 得：k2x2(2k2)x10，当 k0 时，直线方程为y1，与抛物线只有一个交点当 k0 时，(2k2)24k20?k12.此时，直线方程为 y12x1.可知，y1 或 y12x1 为所求的直线方程故所求的直线方程为x0 或 y1 或 y12x1.10已知抛物线的焦点F 在 x 轴上，直线l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于A，B 两点，O 为坐标原点，若 OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程【解】由题意，抛物线方程为y22px(p0)，焦点 Fp2，0，直线 l：xp2，A，B 两点坐标为p2，p，p2，p，|AB|2|p|.OAB 的面积为 4，12p2 2|p|4，p 2 2.抛物线方程为y2 42x.能力提升 1(2014 全国卷)设 F 为抛物线C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为30 的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|()A.303B6 C12 D7 3【解析】F 为抛物线 C：y23x 的焦点，F34，0，AB 的方程为 y0tan 30 x34，即 y33x34.联立y23x，y33x34，得13x272x3160.x1x27213212，即 xAxB212.由于|AB|xAxBp，所以|AB|2123212.【答案】C 2已知 AB 是抛物线 y22px(p0)上的两点，O 为原点，若|OA|OB|，且抛物线的焦点恰好为AOB 的垂心，则直线 AB 的方程是()AxpBx32pCx52pDx3p【解析】|OA|O B|，A，B 关于 x 轴对称设 A(x0，2px0)，B(x0，2px0)AFOB，Fp2，0，2px0 x0p2 2px0 x0 1，x052p.【答案】C 3(2014 湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线x 1 的距离相等 若机器人接触不到过点P(1,0)且斜率为 k 的直线，则k 的取值范围是_【解析】由题意知机器人行进轨迹为以F(1,0)为焦点，x 1 为准线的抛物线，其方程为 y24x.设过点(1,0)且斜率为 k 的直线方程为yk(x1)代入 y24x，得 k2x2(2k24)xk20.机器人接触不到该直线，(2k24)24k41.k1 或 k0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上(1)求抛物线 C 的方程；(2)设 A，B 是抛物线 C 上两个动点，过A 作平行于 x 轴的直线 m，直线 OB 与直线 m 交于点 N，若 O A O B0(O为原点，A，B 异于原点)，试求点 N 的轨迹方程.【导 学号：26160062】【解】(1)直线 l：y12x54.过原点且垂直于l 的直线方程为y 2x.由，得x12.抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上，p2122，p2.抛物线 C 的方程为 y24x.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)由 O A O B0，得 x1x2y1y20.又 y214x1，y224x2，解得 y1y2 16.直线 ON：yy2x2x，即 y4y2x.由及 yy1，得点 N 的轨迹方程为x 4(y0)