高中数学3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式备课资料新人教A版必修4.pdf
高中数学3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式备课资料新人教 A 版必修 4 1/3 备课资料一、和角与差角公式应用的规律两角和与差的正、余弦公式主要用于求值、化简、证明等三角变换，常见的规律如下：配角的方法：通过对角的“合成”与“分解”，寻找欲求角与已知角的内在联系，灵活应用公式，如=(+)-,=21(+)+21(-)等.公式的逆用与变形公式的活用：既要会从左到右展开，又要会从右到左合并，还要掌握公式的变形.“1”的妙用：在三角函数式中,有许多关于“1”的“变形”，如1=sin2+cos2，也有1=sin90=tan45等.二、备用习题1.在 ABC中，sinAsinBcosAcosB,则 ABC是()A.直角三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形 D.等腰三角形2.3cos12-sin12的值是()A.0 B.-2 C.2 D.2 3.在 ABC中，有关系式tanA=BCCBsinsincoscos成立，则 ABC为()A.等腰三角形B.A=60的三角形C.等腰三角形或A=60 的三角形 D.不能确定4.若 cos(-)=31,cos=43,-(0,2),(0,2),则有()A.(0,2)B.(2,)C.(-2,0)D.=25.求值：25cos25sin5cos2=_ 6.若 sin sin=1，则coscos=_ 7.已知 cos(+)=31,cos(-)=51,则 tan tan=_ 8.求函数 y=2sin(x+10)+2cos(x+55)的最大值和最小值.9.求 tan70tan50-3tan50tan70的值.10.已知 sin sin（2）.求证：tan（）mm11tan.11.化简ABAsin)2sin(-2cos(A+B).12.已知 5sin=sin(2+).求证：2tan(+)=3tan.高中数学3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式备课资料新人教 A 版必修 4 2/3 13.(2007 年高考湖南卷,16)已知函数f(x)=1-2sin2(x+8)+2sin(x+8)cos(x+8).求:(1)函数 f(x)的最小正周期;(2)函数 f(x)的单调增区间.参考答案：1.B 2.C 3.C 4.B 5.3 6.0 7.418.y=2sin(x+10)+2cos(x+10)+45=2sin(x+10)+cos(x+10)-sin(x+10)=sin(x+10)+cos(x+10)=2cos(x+10)+45=2cos(x+55),又-1sin(x+55)1,当 x+55=k360-90,即 x=k360-145(k Z)时，ymin=-2;当 x+55=k360+90,即x=k360+35(k Z)时，ymax=2.9.原式 tan（7050）（1-tan70tan50）-3tan50tan70-3（1-tan70tan50）-3tan50tan70-33tan70tan50-3tan50tan70-3.原式的值为-3.10.证明：由 sin sin（2）sin （）-sin （）sin（）cos-cos（）sin=m sin（）cos cos（）sin（1-）sin（）cos=（1）cos（）sin tan（）mm11tan .点评：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2 可化为结论式中的 与 的和，不妨将 作为一个整体来处理.此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利完成证明.11.原式=AABAABAAABAABAsinsin)cos(cos)sin(sinsin)cos(2)sin(=.sinsinsin)sin(ABAABA高中数学3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式备课资料新人教 A 版必修 4 3/3 点评：本题中三角函数均为弦函数，所以变换的问题只涉及角.一般来说，三角函数式的化简问题首先考虑角，其次是函数名，再次是代数式的结构特点.12.=(+)-，2+=(+)+，5sin(+)-=sin(+)+,即 5sin(+)cos -5cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin.2sin(+)cos=3cos(+)sin.2tan(+)=3tan.点评：注意到条件式的角是 和 2+，求证式中的角是+和，显然“不要”的角 和 2+应由要保留下来的角+与 来替代.三角条件等式的证明，一般是将条件中的角（不要的）用结论式中的角（要的）替代，然后选择恰当的公式变形.三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角.因此，看准角与角的关系十分重要.哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪些角，条件中有没有这些角，在审题中必须对此认真观察和分析.常见的变角方式有：=(+)-,2=(+)+(-),2 -=(-)+当然变换形式不唯一，应因题而异，要具体问题具体分析.13.f(x)=cos(2x+4)+sin(2x+4)=2sin(2x+4+4)=2sin(2x+2)=2cos2x.(1)函数 f(x)的最小正周期是T=22=;(2)当 2k-2x2k,即k-2xk(k Z)时,函数 f(x)=2cos2x 是增函数,故函数 f(x)的单调递增区间是 k-2,k(k Z).(设计者：仇玉法）
