高中数学新人教版选修2-2课时作业:第二章推理与证明2.3数学归纳法习题课Word版含解析.pdf
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高中数学新人教版选修2-2课时作业:第二章推理与证明2.3数学归纳法习题课Word版含解析.pdf
习题课数学归纳法明目标、知重点1 进一步掌握数学归纳法的实质与步骤,掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题2掌握证明nk1 成立的常见变形技巧:提公因式、添项、拆项、合并项、配方等1归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,分完全归纳法和不完全归纳法两种,而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性,必须用数学归纳法进行严格证明2数学归纳法(1)应用范围:作为一种证明方法,用于证明一些与正整数n有关的数学命题;(2)基本要求:它的证明过程必须是两步,最后还有结论,缺一不可;(3)注意点:在第二步递推归纳时,从nk到nk1 必须用上归纳假设题型一用数学归纳法证明不等式思考用数学归纳法证明不等式的关键是什么?答用数学归纳法证明不等式,首先要清楚由nk到nk1 时不等式两边项的变化;其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法,利用归纳假设证明nk1 时的结论例 1 已知数列 bn的通项公式为bn2n,求证:对任意的nN*,不等式b11b1b21b2bn1bnn1都成立证明由bn2n,得bn1bn2n12n,所以b11b1b21b2bn1bn3254762n12n.下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 不 等 式b11b1b21b2bn1bn3254762n12nn1成立(1)当n1 时,左边32,右边2,因为32 2,所以不等式成立(2)假设当nk(k1 且kN*)时不等式成立,即b11b1b21b2bk1bk3254762k12kk1成立则 当nk 1 时,左 边 b11b1b21b2bk1bkbk 11bk13254762k12k2k32k2k12k32k22k324k14k212k94k14k212k84k14k23k24k14k1k24k1k2k1 1.所以当nk1 时,不等式也成立由(1)、(2)可 得 不 等 式b11b1b21b2bn1bn3254762n12nn1对任意的nN*都成立反思与感悟用数学归纳法证明不等式时要注意两凑:一凑归纳假设;二凑证明目标在凑证明目标时,比较法、综合法、分析法都可选用跟踪训练1 用数学归纳法证明1221321421n211n(n2,nN*)证明当n2 时,左式12214,右式 11212,因为1412,所以不等式成立假设nk(k2,kN*)时,不等式成立,即1221321421k211k,则当nk1 时,1221321421k21k1211k1k121k12kk k121k2k1k k122)时,命题成立,即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)12k(k1),那么,当nk1 时,任取一条直线l,除l以外其他k条直线交点个数为f(k)12k(k1),l与其他k条直线交点个数为k,从而k1 条直线共有f(k)k个交点,即f(k1)f(k)k12k(k1)k12k(k12)12k(k1)12(k1)(k1)1,当nk1 时,命题成立由(1)(2)可知,对任意nN*(n2)命题都成立反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时,一要注意数形结合,二要注意有必要的文字说明跟踪训练 3 有n个圆,其中每两个圆相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成f(n)n2n2 部分证明(1)n1 时,分为 2 块,f(1)2,命题成立;(2)假设nk(kN*)时,被分成f(k)k2k2 部分;那么当nk1 时,依题意,第k1 个圆与前k个圆产生 2k个交点,第k1 个圆被截为 2k段弧,每段弧把所经过的区域分为两部分,所以平面上净增加了2k个区域f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2,即nk1 时命题成立,由(1)(2)知命题成立呈重点、现规律 1数学归纳法证明与正整数有关的命题,包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等2证明问题的初始值n0不一定,可根据题目要求和问题实际确定n0.3从nk到nk1 要搞清“项”的变化,不论是几何元素,还是式子;一定要用到归纳假设.一、基础过关1用数学归纳法证明等式123(n3)n3n42(nN*),验证n1 时,左边应取的项是()A1 B12 C123 D1234 答案D 解析等式左边的数是从1 加到n3.当n1 时,n34,故此时左边的数为从1 加到 4.2用数学归纳法证明“2nn21 对于nn0的自然数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3 C5 D6 答案C 解析当n取 1、2、3、4 时 2nn21 不成立,当n5 时,253252126,第一个能使 2nn21 的n值为 5,故选 C.3已知f(n)112131n(nN*),证明不等式f(2n)n2时,f(2k 1)比f(2k)多的项数是()A2k 1项B2k1项C2k项D以上都不对答案C 解析观察f(n)的表达式可知,右端分母是连续的正整数,f(2k)11212k,而f(2k 1)11212k12k112k212k2k.因此f(2k 1)比f(2k)多了 2k项4 用数学归纳法证明不等式1n11n212n1124(nN*)的过程中,由nk递推到nk1 时,下列说法正确的是()A增加了一项12k1B增加了两项12k1和12k1C增加了 B中的两项,但又减少了一项1k1D增加了 A中的一项,但又减少了一项1k1答案C 解析当nk时,不等式左边为1k11k212k,当nk1 时,不等式左边为1k21k312k12k112k2,故选 C.5用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被 9 整除”,要利用归纳假设证nk1 时的情况,只需展开()A(k3)3B(k2)3C(k1)3D(k1)3(k2)3答案A 解析假设当nk时,原式能被 9 整除,即k3(k1)3(k2)3能被 9 整除当nk1 时,(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k3)3展开,让其出现k3即可6已知数列 an 的前n项和为Sn,且a11,Snn2an(nN*)依次计算出S1,S2,S3,S4后,可猜想Sn的表达式为 _ 答案Sn2nn1解析S11,S243,S33264,S485,猜想Sn2nn1.7已知正数数列 an(nN*)中,前n项和为Sn,且 2Snan1an,用数学归纳法证明:annn1.证明(1)当n1 时,a1S112(a11a1),a211(an0),a11,又101,n1 时,结论成立(2)假设nk(kN*)时,结论成立,即akkk1.当nk1 时,ak1Sk1Sk12(ak11ak 1)12(ak1ak)12(ak11ak 1)12(kk11kk1)12(ak11ak 1)k.a2k12kak110,解得ak1k1k(an0),nk1 时,结论成立由(1)(2)可知,对nN*都有annn1.二、能力提升8对于不等式n2nn1(nN*),某学生的证明过程如下:当n1 时,12111,不等式成立假设nk(nN*)时,不等式成立,即k2kk1,则nk1时,k12k1 k23k2121n2.假设nk时,不等 式 成 立 则 当nk 1时,应 推 证 的 目 标 不 等 式 是_ 答案1221321k21k121k22121k3解析观察 不等式 中的 分母 变化知,122132 1k21k121k22121k3.10证明:62n 11 能被 7 整除(nN*)证明(1)当n1 时,62 117 能被 7 整除(2)假设当nk(kN*)时,62k11 能被 7 整除那么当nk1 时,62(k 1)1162k121 36(62k11)35.62k 11 能被 7 整除,35 也能被 7 整除,当nk1 时,62(k 1)11 能被 7 整除由(1),(2)知命题成立11求证:1n11n213n56(n2,nN*)证明(1)当n2 时,左边1314151656,不等式成立(2)假设当nk(k2,kN*)时命题成立,即1k11k213k56.则当nk1 时,1k1 11k1 213k13k113k213k11k11k213k(13k113k213k31k1)56(13k113k213k31k1)56(313k31k1)56,所以当nk1 时不等式也成立由(1)和(2)可知,原不等式对一切n2,nN*均成立12 已知数列 an中,a123,其前n项和Sn满足anSn1Sn2(n2),计算S1,S2,S3,S4,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法加以证明解当n2时,anSnSn 1Sn1Sn2.Sn1Sn12(n2)则有:S1a123,S21S1234,S31S2245,S41S3256,由此猜想:Snn1n2(nN*)用数学归纳法证明:(1)当n1 时,S123a1,猜想成立(2)假设nk(kN*)猜想成立,即Skk1k2成立,那么nk1 时,Sk11Sk21k1k22k2k3k1 1k1 2.即nk1 时猜想成立由(1)(2)可知,对任意正整数n,猜想结论均成立三、探究与拓展13已知递增等差数列 an满足:a11,且a1,a2,a4成等比数列(1)求数列 an的通项公式an;(2)若不等式(1 12a1)(1 12a2)(112an)m2an1对任意nN*,试猜想出实数m的最小值,并证明解(1)设数列 an公差为d(d0),由题意可知a1a4a22,即 1(13d)(1 d)2,解得d1 或d0(舍去)所以an1(n1)1n.(2)不等式等价于1234562n12nm2n1,当n1 时,m32;当n2 时,m358;而32358,所以猜想,m的最小值为32.下面证不等式1234562n12n322n1对任意nN*恒成立下面用数学归纳法证明:证明(1)当n1 时,1232312,命题成立(2)假设当nk时,不等式,1234562k12k322k1成立,当nk1 时,1234562k12k2k12k2322k12k12k2,只要证322k12k12k2 322k3,只要证2k12k212k3,只要证2k12k32k2,只要证 4k28k34k28k4,只要证 34,显然成立所以,对任意nN*,不等式1234562n12n322n1恒成立