高中数学人教A版选修1-1学业分层测评10双曲线的简单几何性质Word版含解析.pdf

学业分层测评(建议用时：45 分钟)学业达标 一、选择题1双曲线x29y2161 的渐近线方程是()A4x 3y0B16x 9y0 C3x 4y0 D9x 16y0【解析】由题意知，双曲线焦点在x 轴上，且 a3，b4，渐近线方程为y43x，即 4x 3y0.【答案】A 2中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x4y120 上的等轴双曲线方程是()Ax2y28 Bx2y24 Cy2x28 Dy2x24【解析】令 y0，得 x 4，等轴双曲线的一个焦点坐标为(4,0)，c4，a2b212c212168，故选 A.【答案】A 3设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2 3，则双曲线的渐近线方程为()Ay 2xBy 2xCy22xDy12x【解析】由已知，得b1，c3，ac2b22.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以渐近线方程为ybax22x.【答案】C 4(2014 全国卷)已知双曲线x2a2y231(a0)的离心率为 2，则 a()A2 B.62C.52D1【解析】由题意得 ea23a2，a232a，a234a2，a21，a1.【答案】D 5与曲线x224y2491 共焦点，且与曲线x236y2641 共渐近线的双曲线的方程为()A.y216x291 B.x216y291 C.y29x2161 D.x29y2161【解析】根据椭圆方程可知焦点为(0，5)，(0,5)设所求双曲线方程为x236y264(0)，即y264x2361.由 64(36)25，得 14.故所求双曲线的方程为y216x291.【答案】A 二、填空题6已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为_【解析】由三角形相似或平行线分线段成比例定理得26ac，ca3，即 e3.【答案】3 7 直线3xy30 被双曲线 x2y21 截得的弦 AB的长是 _【解析】联立消去 y，得 x23x20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 3，x1x22，|AB|132 32422.【答案】2 8若直线 x2 与双曲线 x2y2b21(b0)的两条渐近线分别交于点A，B，且 AOB 的面积为 8，则焦距为 _.【导学号：26160051】【解析】由双曲线为x2y2b21 得渐近线为y bx，则交点 A(2,2b)，B(2，2b)SAOB1224b8，b2.又 a21，c2a2b25.焦距 2c2 5.【答案】2 5 三、解答题9已知双曲线C 的方程为y2a2x2b21(a0，b0)，离心率 e52，顶点到渐近线的距离为2 55，求双曲线C 的方程【解】依题意，双曲线的焦点在y 轴上，顶点坐标为(0，a)，渐近线方程为yabx，即 ax by0，所以aba2b2abc2 55.又 eca52，所以 b1，即 c2a21，52a2a21，解得 a24，故双曲线方程为y24x21.10双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在点P，使|PF1|2|PF2|，试确定双曲线离心率的取值范围【解】由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|2|PF2|，如图所示又|PF1|PF2|2a，|PF2|2a，即在双曲线右支上恒存在点P，使得|PF2|2a，即|AF2|2a.|OF2|OA|ca2a，c3a.又 ca，ac3a，1ca3，即 1e3.能力提升 1双曲线x24y2k1 的离心率 e(1,2)，则 k 的取值范围是()A(10,0)B(12,0)C(3,0)D(60，12)【解析】双曲线方程化为x24y2k1，则a24，b2 k，c24k，eca4k2，又 e(1,2)，14k22，解得 12k0，b0)，由题意知 c3，a2b29，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式作差得y1y2x1x2b2x1x2a2y1y112b215a24b25a2，又 AB 的斜率是1501231，所以 4b25a2，代入 a2b29 得 a24，b25，所以双曲线标准方程是x24y251.【答案】B 3已知双曲线x2y231 的左顶点为A1，右焦点为F2，P 为双曲线右支上一点，则PA1 PF2的最小值为 _【解析】由题意得 A1(1,0)，F2(2,0)，设 P(x，y)(x1)，则PA1(1x，y)，PF2(2x，y)，PA1 PF2(x1)(x2)y2x2x2y2，由双曲线方程得y23x23，代入上式得 PA1 PF24x2x5 4 x1828116，又 x1，所以当x1 时，PA1 PF2取得最小值，且最小值为 2.【答案】2 4(2016 荆州高二检测)双曲线 C 的中点在原点，右焦点为 F233，0，渐近线方程为y 3x.(1)求双曲线 C 的方程；【导学号：26160052】(2)设直线 L：ykx1 与双曲线交于A，B 两点，问：当 k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？【解】(1)设双曲线的方程为x2a2y2b21，由焦点坐标得c233，渐近线方程为ybax 3x，结合c2a2b2得a213，b21，所以双曲线C 的方程为x213y21，即 3x2y21.(2)由ykx1，3x2y21，得(3k2)x22kx20，由 0，且 3k20，得6k6，且 k 3.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为以 AB 为直径的圆过原点，所以 OAOB，所以 x1x2y1y20.又 x1x22kk23，x1x22k23，所以 y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)11，所以2k2310，解得 k 1.