高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章推理与证明2.2.1习题课Word版含解析.pdf

习题课综合法和分析法明目标、知重点加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题1综合法综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题综合法是一种由因导果的证明方法综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)?P1?P2?Pn(结论)2分析法分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知 分析法的书写形式一般为“因为，为了证明，只需证明，即，因此，只需证明，因为成立，所以，结论成立”分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)?Pn2?Pn1?Pn(结论)分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆题型一选择恰当的方法证明不等式例 1 设a，b，c为任意三角形三边长，Iabc，Sabbcca，试证：3SI24S.证明I2(abc)2a2b2c22ab2bc2caa2b2c22S.欲证 3SI24S，即证abbccaa2b2c22ab2bc2ca.先证明abbccaa2b2c2，只需证 2a22b22c22ab2bc2ca，即(ab)2(ac)2(bc)20，显然成立；再证明a2b2c22ab2bc2ca，只需证a2abacb2abbcc2bcca0，即a(abc)b(bac)c(cba)0，只需证abc，且bca，且cba，由于a、b、c为三角形的三边长，上述三式显然成立，故有3SI20，1a1b21ab0，(ab)(1a1b)4.又ab1，1a1b4.方法三1a1babaabb1baab12 2baab4.当且仅当ab时，取“”号题型二选择恰当的方法证明等式例 2 已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证：1ab1bc3abc.证明要证原式，只需证abcababcbc3，即证cababc1，即只需证bcc2a2ababb2acbc1，而由题意知AC2B，B3，b2a2c2ac，bcc2a2ababb2acbcbcc2a2ababa2c2acacbcbcc2a2ababa2c2bc1，原等式成立，即1ab1bc3abc.反思与感悟综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证跟踪训练 2 设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：axcy2.证明由已知条件得b2ac，2xab,2ybc.要证axcy2，只要证aycx2xy，只要证 2ay2cx4xy.由得 2ay2cxa(bc)c(ab)ab2acbc，4xy(ab)(bc)abb2acbcab2acbc，所以 2ay2cx4xy.命题得证题型三立体几何中位置关系的证明例 3 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)证明：CDAE；(2)证明：PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD?底面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC，而AE?平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA，E是PC的中点，AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD.而PD?平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB，又ABAD，AB平面PAD，ABPD，又ABAEA，综上得PD平面ABE.反思与感悟综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化比如：两条平行线中一条垂直于平面，则另外一条也垂直于平面；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等跟踪训练 3 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB2，CEEF1.(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE.证明(1)如图，设AC与BD交于点G.因为EFAG，且EF1，AG12AC1，所以四边形AGEF为平行四边形所以AFEG.因为EG?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF平面BDE.(2)连接FG.因为EFCG，EFCG1，且CE1，所以四边形CEFG为菱形所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF.所以CFBD.又BDEGG，所以CF平面BDE.呈重点、现规律 1综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知2分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考 实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.一、基础过关1已知a0，b0，且ab2，则()Aa12Bab12Ca2b22 Da2b23答案C 解析ab22ab，ab1.a2b242ab，a2b22.2已知a、b、c、d正实数 ，且abcd，则()A.abacbdcdB.acbdabcdC.abcdacbdD以上均可能答案A 解析方法一特值检验，abcd，可取a1，b3，c1，d2，则acbd25，满足abacbdcd.B、C、D不正确方法二要证abacbd，a、b、c、d正实数，只需证a(bd)b(ac)，即证adbc.只需证abcd.而abcd成立，abacbd.同理可证acbdcd.3下面四个不等式：a2b2c2abbcac；a(1 a)14；baab2；(a2b2)(c2d2)(acbd)2.其中恒成立的有()A1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个答案C 解析a2b2c2a2b22a2c22b2c22abacbc；a(1a)(a1a2)214；(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2a2c22abcdb2d2(acbd)2；当ba0 时，baab2不成立4若实数a，b满足 0a2ab，2abab2212，又0ab，且ab1，abc解析a132，b165，c176.abc.6如图所示，SA平面ABC，ABBC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.求证：AFSC.证明：要证AFSC，只需证SC平面AEF，只需证AESC(因为_)，只需证 _，只需证AEBC(因为 _)，只需证BC平面SAB，只需证BCSA(因为 _)由SA平面ABC可知，上式成立答案EFSC AE平面SBC AESB ABBC解析要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC平面SAB，可得AEBC，进而AE平面SBC，SC平面AEF，问题得证7如果a，b都是正数，且ab，求证：abbaab.证明方法一用综合法abbaaba ab babbaababababab2abab0，abbaab.方法二用分析法要证abbaab，只要证a2bb2a2abab2ab，即要证a3b3a2bab2，只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)，即需证a2abb2ab，只需证(ab)20，因为ab，所以(ab)20 恒成立，所以abbaab成立二、能力提升8命题甲：(14)x、2x、2x4成等比数列；命题乙：lg x、lg(x2)、lg(2x1)成等差数列，则甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C 解析由(14)x、2x、2x4成等比数列可得：(2x)2(14)x2x4，解得x4；由 lg x、lg(x2)、lg(2x1)成等差数列得：2lg(x2)lg xlg(2x1)，可解得x4(x 1 舍去)，所以甲是乙的充要条件.9若ab1，Plg alg b，Q12(lg a lg b)，Rlg(ab2)，则()ARPQBPQRCQPRDPRb1?lg a0，lg b0，Q12(lg a lg b)lg alg bP，Rlgab12(lg alg b)Q?RQP.10已知、为实数，给出下列三个论断：0；|5；|22，|22.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是_答案?解析0，|22，|22.|22228828 3225.|5.11已知a0，求证：a21a22a1a2.证明要证a21a22a1a2，只要证a21a22a1a2.a0，故只要证a21a222a1a22，即a21a24 a21a24a221a222a1a2，从而只要证2a21a22a1a，只要证 4a21a22a221a2，即a21a22，而该不等式显然成立，故原不等式成立12 已知a、b、cR，且abc1，求证：(1a1)(1b1)(1c1)8.证明方法一(分析法)要证(1a1)(1b1)(1c1)8成立，只需证1aa1bb1cc8成立因为abc1，所以只需证abcaaabcbbabccc8成立，即证bcaacbabc8成立而bcaacbabc2bca2acb2abc8 成立(1a1)(1b1)(1c1)8成立方法二(综合法)(1a1)(1b1)(1c1)(abca1)(abcb1)(abcc1)bcaacbabcbc ac ababc2bc2ac2ababc8，当且仅当abc时取等号，所以原不等式成立13设数列 an 的前n项和为Sn，已知a11，2Snnan113n2n23，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列 an 的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a11a21an74.(1)解2S1a213123，又S1a11，所以a24.(2)解当n2时，2Snnan113n3n223n，2Sn1(n1)an13(n1)3(n1)223(n1)，两式相减得2annan1(n1)an13(3n23n1)(2n1)23，整理得(n1)annan1n(n1)，即an1n1ann1，又a22a111，故数列ann是首项为a111，公差为 1 的等差数列，所以ann1(n1)1n，所以ann2.所以数列 an 的通项公式为ann2，nN*.(3)证明1a11a21a31an1141321421n21141231341n n1114121313141n11n54121n741n74，所以对一切正整数n，有1a11a21an0 时，欲证原不等式成立，只需证(acbd)2(a2b2)(c2d2)即证a2c22abcdb2d2a2c2a2d2b2c2b2d2.即证 2abcdb2c2a2d2即证 0(bcad)2.因为a，b，c，dR，所以上式恒成立故原不等式成立，综合知，命题得证方法二(用综合法)(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2(a2c22acbdb2d2)(b2c22bcada2d2)(acbd)2(bcad)2(acbd)2.a2b2c2d2|acbd|acbd.方法三(用比较法)(a2b2)(c2d2)(acbd)2(bcad)20，(a2b2)(c2d2)(acbd)2，a2b2c2d2|acbd|acbd.方法四(用放缩法)为了避免讨论，由acbd|acbd|，可以试证(acbd)2(a2b2)(c2d2)由方法一知上式成立，从而方法四可行方法五(构造向量法)设m(a，b)，n(c，d)，mnacbd，|m|a2b2，|n|c2d2.mn|m|n|a2b2c2d2.故acbda2b2c2d2.