高中物理竞赛基础：简谐振动.pdf

第五讲机械振动和机械波51 简谐振动511、简谐振动的动力学特点如果一个物体受到的回复力回F与它偏离平衡位置的位移x大小成正比，方向相反。即满足：xKF回的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律，物体的加速度mKmFa回，因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方何相反。现有一劲度系数为k 的轻质弹簧，上端固定在P 点，下端固定一个质量为m的物体，物体平衡时的位置记作O点。现把物体拉离O点后松手，使其上下振动，如图5-1-1 所示。当物体运动到离O点距离为 x 处时，有mgxxkmgFF)(0回式中0 x为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有mgkx0，因此kxF回说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x 成正比。因回复力指向平衡位置 O，而位移 x 总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧伸长的长度。512、简谐振动的方程x P图 5-1-1xAO0图 5-1-2由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置 O为圆心，以振幅 A为半径作圆，这圆就称为参考圆，如图5-1-2，设有一质点在参考圆上以角速度作匀速圆周运动，它在开始时与O 的连线跟x轴夹角为0,那么在时刻 t，参考圆上的质点与O 的连线跟x的夹角就成为0t，它在x轴上的投影点的坐标)cos(0tAx（2）这就是简谐振动方程，式中0是 t=0 时的相位，称为初相：0t是 t 时刻的相位。参考圆上的质点的线速度为A，其方向与参考圆相切，这个线速度在x轴上的投影是0cos(tAv）（3）这也就是简谐振动的速度参考圆上的质点的加速度为2A，其方向指向圆心，它在x轴上的投影是02cos(tAa）（4）这也就是简谐振动的加速度由公式（2）、（4）可得xa2由牛顿第二定律简谐振动的加速度为xmkmFa因此有mk2（5）简谐振动的周期 T 也就是参考圆上质点的运动周期，所以kmwT22513、简谐振动的判据物体的受力或运动，满足下列三条件之一者，其运动即为简谐运动：物体运动中所受回复力应满足kxF；物体的运动加速度满足xa2；物体的运动方程可以表示为)cos(0tAx。事实上，上述的三条并不是互相独立的。其中条件是基本的，由它可以导出另外两个条件和。5.2 弹簧振子和单摆简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆，下面分别加以讨论。521、弹簧振子弹簧在弹性范围内胡克定律成立，弹簧的弹力为一个线性回复力，因此弹簧振子的运动是简谐振动，振动周期kmT2。（1）恒力对弹簧振子的作用比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子，如果 m和 k 都相同（如图 5-2-1），则它们的振动周期 T 是相同的，也就是说，一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长0l，振子的质量为 m=1.0kg，电梯静止时弹簧伸长l=0.10m，从 t=0 时，开始电梯以g/2 的加速度加速下降kmmk图 5-2-1st,然后又以 g/2 加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长l随时间 t 变化的图线。由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动，而电梯是一个有加速度的非惯性系，因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力f。在匀速运动中，惯性力是一个恒力，不会改变振子的振动周期，振动周期mkT/2/2因为lmgk/，所以)(2.02sglT因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为)(52.0/次Ttn当电梯向下加速运动时，振子受到向上的惯性力mg/2，在此力和重力 mg 的共同作用下，振子的平衡位置在2/211lkmgl的地方，同样，当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在2/3/232lkmgl的地方。在电梯向下加速运动期间，振子正好完成 5 次全振动，因此两个阶段内振子的振幅都是2/l。弹簧的伸长随时间变化的规律如图5-2-2 所示，读者可以思考一下，如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从5T 时刻而是从 4.5T 时刻开始的，那么tl 图线将是怎样的？（2）弹簧的组合设有几个劲度系数分别为1k、2knk的轻弹簧串联起来，组成一个新弹簧组，当这个新弹簧组在F 力作用下伸长时，各弹簧的伸长为1x，OTll2l2t图 5-2-2那么总伸长niixx1各弹簧受的拉力也是F，所以有iikFx/故niikFx11根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数xFk/即得niikk11/1如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组，那么各弹簧的伸长是相同的。要使各弹簧都伸长x，需要的外力niiniikxxkF11根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数niikxFk1导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后，在解题中要灵活地应用，如图 5-2-3 所示的一个振动装置，两根弹簧到底是并联还是串联？这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征：串联的本质特征是每根弹簧受力相同；并联的本质特征是每根弹簧形变相同。由此可见图5-2-3 中两根弹簧是串联。当 m 向下偏离平衡位置x时，弹簧组伸长了2 x，增加的弹力为212122kkkkxxkFm图 5-2-3m 受到的合外力（弹簧和动滑轮质量都忽略）xkkkkkkkkxF21212121422所以 m 的振动周期21214)(2kkkkmT=2121)(kkkkm再看如图 5-2-4 所示的装置，当弹簧1 由平衡状态伸长1l时，弹簧 2 由平衡位置伸长了2l，那么，由杆的平衡条件一定有（忽略杆的质量）blkalk22111212lbakkl由于弹簧 2 的伸长，使弹簧 1 悬点下降122212lbakkbalx因此物体 m 总的由平衡位置下降了22221111lbakkxlx此时 m 所受的合外力1222122111xbkakbkklkF所以系统的振动周期2212221)(2bkkbkakmT（3）没有固定悬点的弹簧振子质量分别为Am和Bm的两木块 A 和 B，用m1k2k12b a 图 5-2-4一根劲度系数为k 的轻弹簧联接起来，放在光滑的水平桌面上（图5-2-5）。现在让两木块将弹簧压缩后由静止释放，求系统振动的周期。想象两端各用一个大小为F、方向相反的力将弹簧压缩，假设某时刻A、B各偏离了原来的平衡位置Ax和Bx，因为系统受的合力始终是零，所以应该有BBAAxmxmA、B 两物体受的力的大小kxxFFBABA)(由、两式可解得ABBAAxmmmkFBBBABxmmmkF由此可见 A、B 两物体都做简谐运动，周期都是)(2BABAmmkmmT此问题也可用另一种观点来解释：因为两物体质心处的弹簧是不动的，所以可以将弹簧看成两段。如果弹簧总长为0l，左边一段原长为0lmmmBAB，劲度系数为kmmmBBA；右边一段原长为0lmmmBAA，劲度系数为kmmmBBA，这样处理所得结果与上述结果是相同的，有兴趣的同学可以讨论，如果将弹簧压缩之后，不是同时释放两个物体，而是先释放一个，再释放另一个，这样两个物体将做什么运动？系统的质心做什么运动？522、单摆AB图 5-2-5ABFOxmg图 5-2-6一个质量为 m 的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的O 点，小球摆动至与竖直方向夹角，其受力情况如图5-2-6 所示。其中回复力，即合力的切向分力为si nmgF回当5o时，OAB 可视为直角三角形，切向分力指向平衡位置A，且lxs i n，所以xlmgF回kxF回（式中lmgk）说明单摆在摆角小于5o时可近似地看作是一个简谐振动，振动的周期为glkmT22在一些异型单摆中，l和 g 的含意以及值会发生变化。（1）等效重力加速度g单摆的等效重力加速度g等于摆球相对静止在平衡位置时，指向圆心的弹力与摆球质量的比值。如在加速上升和加速下降的升降机中有一单摆，当摆球相对静止在平衡位置时，绳子中张力为)(agm，因此该单摆的等效重力加速度为g=ag。周期为aglT2再如图 5-2-7 所示，在倾角为的光滑斜面上有一单摆，当摆球相对静止在平衡位置O图 5-2-7OAmafmga图 5-2-8时，绳中张力为sinmg，因此单摆的等效重力加速度为g=sing，周期为sin2glT又如一节车厢中悬挂一个摆长为l的单摆，车厢以加速度a在水平地面上运动（如图 5-2-8）。由于小球 m 相对车厢受到一个惯性力maf，所以它可以“平衡”在 OA 位置，gatga，此单摆可以在车厢中以OA 为中心做简谐振动。当小球相对静止在平衡位置A 处时，绳中张力为22gam，等效重力加速度22gag，单摆的周期222galT（2）等效摆长l单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点的距离，而是指摆球的圆弧轨迹的半径。如图5-2-9 中的双线摆，其等效摆长不是l，而是sinl，周期glTsi n2再如图 5-2-10 所示，摆球 m 固定在边长为 L、质量可忽略的等边三角形支架ABC 的顶角 C 上，三角支架可围绕固定的AB 边自由转动，AB 边与竖直方向成a角。当 m 作小角度摆动时，实际上是围绕 AB 的中点 D 运动，故等效摆长lm图 5-2-9ABCDml图 5-2-10MNaMmaMmg图 5-2-11LLl2330cos0正因为 m 绕 D 点摆动，当它静止在平衡位置时，指向D 点的弹力为amgsin，等效重力加速度为ag sin，因此此异型摆的周期agLglTsin2322（3）悬点不固定的单摆如图 5-2-11，一质量为 M 的车厢放在水平光滑地面上，车厢中悬有一个摆长为l，摆球的质量为 m 的单摆。显然，当摆球来回摆动时，车厢也将作往复运动，悬点不固定。由摆球相对于车厢的运动是我们熟悉的单摆，故取车厢为非惯性系，摆球受到重力 mg，摆线拉力 N 和惯性力Mma的作用，如图分析摆球N=sincosMmamg（忽略摆球向心力）回复力cossinMmamgF分析车厢：MMaNsin因为很小，所以可认为sin，1cos，0sin2则由、式可得gMmaM把它代入)1(MmmgF摆球偏离平衡位置的位移lx所以xMImMmgF)(因此摆球作简谐振动，周期gmMmlT)(2由周期表达式可知：当M?m 时，glT2，因为此时 M 基本不动，一般情况下，glT2