小六数学第7讲：列方程解应用题一(教师版).pdf

中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献第七讲列方程解应用题（一）在小学数学中，列方程解应用题与用算术方法解应用题是有密切联系的。它们都是以四则运算和常见的数量关系为基础，通过分析题目里的数量关系，根据四则运算的意义列式解答的。但是，两种解答方法的解题思路却不同。由于数量关系的多样性和叙述方式的不同，用算术方法解答应用题，时常要用逆向思考，列式比较困难，解法的变化也比较多。用列方程的方法解答应用题，由于引进了字母表示未知数，可以使未知数直接参与运算，使题目中的数量关系更加清楚，把未知数当成已知数来用，使我们很容易理清数量关系，正确解决问题。特别是在解比较复杂的或有特殊解法的应用题时，用方程往往比较容易。1.基本概念：（1）像 4x+2=9 这样的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x 的指数为1 的方程叫做一元一次方程；（2）像 2x+y=8 这样的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1 的方程叫做二元一次方程；把两个二元一次方程用“”写在一起，就组成了一个二元一次方程组；（3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个方程才能求出唯一解.2.列方程解应用题的一般步骤是：审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系；合理设未知数x，设未知数的方法有两种：直接设未知数（问什么设什么），间接设未知数；依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程；解方程；将结果代入原题检验。中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献概括成五个字就是：“审、设、列、解、验”.列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。寻找等量关系的常用方法是：根据题中“不变量”找等量关系。1.理解一元一次方程、二元一次方程（组）及确定方程解的概念，会解一元一次方程、二元一次方程组；2.能根据题意列方程解答问题。例 1：解下列方程：（1）357xx（2）452xx（3）12(3)7xx（4）132(23)5(2)xx（5）5118()2352xx（6）1123xx（7）527xyxy（8）2311329xyxy分析：（1）移项得：375xx，注意把“同类”放在等号的同侧，移项过程中注意变号；化简得：22x，等式两边同时除以2 可得1x，把1x代入原式，满足等式。以下各题不再写检验步骤，请教师强调学生答案要检验。（2）2541.xxx，（3）1627 7730.xxxx，（4）134652 194719 7 41234.xxxxxxxx，-=，（5）51115410410 1104()410.35236333333xxxxxxxxxx，（6）3126 33263.xxxxx（）-，请教师强调学生在解答时要注意：移项变号、同类放在等式一边、（4）中去括号时每一项都要发生相应变化、（6）中每一项都同时扩大6 倍、（5）中可以先简化运算的一定要先化简。（7）法 1：代入消元法中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献5(1)27(2)xyxy由（1）得：53yx把（3）代入（2）得：2(5)7xx解得：2x把2x代入（3）得：3y所以可得：23xy（8）法 2：加减消元法23111329212153,1.13xyxyyyxxyLL（）（）（）3-（）2可得：5，将其代入（1）式可得：所以可得：建议教师将（7）、（8）贯穿起来，让学生深刻体会：（1）代入消元法，以及代入消元法在什么情况下好用；（2）加减消元法，其本质是找（制造）到一个未知数的系数相等，再利用等式加减得到结果.例 2：汽车以每小时72 公里的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4 秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远？（声音的速度以340 米/秒计算）分析：72 千米/小时=72000 米/3600 秒=2 米/秒，设听到回音时汽车离山谷x 米，根据题意可得：3404=2x+24，解得 x=676（米）.例 3：用绳子测井深，绳子两折时,余 60 厘米,绳子三折时,差 40 厘米，求绳长和井深？分析：法 1：设井深是x 厘米，则有：2x+602=3x-40 3，井深 x=240（厘米），绳长 600厘米；法 2：设绳长是y 厘米，则有：11604023yy解得绳长600y（厘米），井深 240厘米。例 4：箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3 倍多两个，每次从箱子里取出7个白球，15 个红球如果经过若干次以后，箱子里只剩下3 个白球，53 个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个?中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献分析：设取球的次数为x 次那么原有的白球数为（3+7x），红球数为（53+15x）再根据题中的第一个条件：53+15x=3（3+7x）+2，解得x=7，所以原有红球158 个，原有白球52个，红球比白球多106 个此题用逆向思维较难求解，但是用方程则思路非常清晰简单例 5：小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：“头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100.”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？分析：设动物园有x 只猩猩，依题意有：（x+x）+（x-x）+xx+xx=100，即 2x+0+x x+1=100，亦即：x（x+2）=99，又整数，只有唯一解=9例 6：从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20 千米，下坡时每小时行驶35 千米。车从甲地开往乙地需9 小时，从乙地到甲地需7.5 小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？分析：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，依题意得解得 x140，y=70，所以甲、乙两地间的公路有210 千米，从甲地到乙地须行驶140 千米的上坡路.例 7：幼儿园有三个班，甲班比乙班多4 人，乙班比丙班多4 人.老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分了3 个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分了5 个枣，结果甲班比乙班总共多分了3 个枣，乙班比丙班总共多分了5 个枣，三个班总共分了多少个枣？分析：法 1：设甲班有x 人，则乙班有（x4）人，丙班有（x 8）人；甲班每人分得y 个枣，则乙班每人分得（y+3）个，丁班每人分得（y+8）个那么有甲班共分得xy 个枣，乙班共分得(x-4)(y+3)枣，丙班共分得(x-8)(y+8)个枣8)8)(8(3)3)(4(yxxyyxxy，整理有7943yxyx，解得1219yx因此，甲班小孩19 人，每个小孩分枣12 个；乙班小孩15 人，每个小孩分枣15 个；丙班小孩11 人，每个小孩分枣20 个 1912+1515+1120673(个)，所以，三班共分673 个枣法 2：888455xyzxyzxyz人数每人枣数共分枣数甲班乙班丙班中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献先看甲、丙两班，有甲班 x 人比丙班x 人少分 8x 颗枣，而甲班共分得枣比丙班多8 个，所以甲班多出的8 人共分得 8x+8 颗枣，即每人分得x+1 颗枣那有94418xxxxxx丙班乙班甲班每人枣数人数再看乙、丙班，乙班 x 人比丙班x 人少分 5x 颗枣，而乙班共分得的枣比丙班多5 个枣，所以乙班多出的4 人共分得5x+x 颗枣，即每人分得(5x+5)4 颗枣有(5x+5)4x+4，解得 x11因此，甲班小孩19 人，每个小孩分枣12 个；乙班小孩15 人，每个小孩分枣15 个；丙班小孩11 人，每个小孩分枣20 个 1912+1515+1120 673(个)，所以三班共分 673 个枣A 1.有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8 千克油，小的能装5 千克油，44 千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个？分析：设有大油桶x 个，小油桶y 个。由题意8x+5y=44，知 8x 44，所以 x0、1、2、3、4、5。相应的将x 的所有可能值代入方程，可得x3 时，y=4.此题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5 整除的数的特点，便可轻松求解.2.小华和小强各用6 角 4 分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5 分一支和7 分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多小华比小强多买来铅笔支分析：设买 5 分一支的铅笔支，7 分一支的铅笔n 支。则：5+7=64，64 7n是 5 的倍数用n=0，1，2，3，4，5，6，7，8 代入检验，只有n=2，7 满足这一要求，得出相应的=10，3即小华买铅笔lO+212 支，小强买铅笔7+3=10 支，小华比小强多买2支3.小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9 分，套中小猴得5 分，套中小狗得2 分。小明共套了10 次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10 次共得 61 分。问：小明至多套中小鸡几次？分析：设套中小鸡x 次，套中小猴y 次，则套中小狗（10-x-y）次。根据得 61 分可列方程：9x+5y+2（10-x-y）=61，化简后得7x=413y。显然 y 越小，x 越大。将 y=1 代入得 7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得 x=5，所以小明至多套中小鸡5 次.4.甲、乙、丙、丁四人共做零件270 个。如果甲多做10 个，乙少做 10 个，丙的个数乘以2，丁做的个数除以2，那么四人做的零件数恰好相等，问丙实际做了多少个？中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献分析:设四人做的零件数恰好都为x，根据题意可得：（x-10）+（x+10）+（x2）+（x2）=270，解得 x=60，丙实际做了602=30（个）.5.有甲乙丙三个人，当甲的年龄是乙的2 倍时；丙是22 岁，当乙的年龄是丙的2 倍，甲是31 岁；当甲60 岁时，丙是多少岁?分析：设丙 22 岁时，乙的年龄是x 岁，当时甲的年龄就是2x 岁那么甲是3l 岁时，乙是(31-x)岁，丙是 22+（31-2x）=53-2x 岁，且有：31-x=2（53-2x），解得 x=25，所以乙 25岁时，甲50 岁，丙 22 岁那么甲60 岁时，丙32 岁利用方程解年龄问题设定乙的年龄之后，我们可以把各个时期甲、乙、丙的年龄都用含有 x 的式子表达出来，继而很方便地建立等量关系B 6.有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8 个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6 个给丙堆，乙、丙两堆石子个数就也相等了；此时又从丙堆中取2 个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的两倍，问：原来甲堆有多少个石子?分析：设甲堆原来有x 个石子，那么甲堆取出8 个给乙后，甲乙两堆都是(x-8)个石子；然后乙取 6 个给丙，乙丙的石子数都变成了x-8-6=x-14；再从丙堆取2 个给甲堆，那么甲堆变为 x-8+2=x-6，丙堆变为x-14-2=x-16，此时有关系：x-6=2（x-16），解得 x=26题目中的变化过程比较多，在设立未知数后，一步步跟上分析，把每一步的变化结果都用x的式子表示出来，最后建立等量关系.7.如右图，沿着边长为90 米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走 65 米，乙从B出发，每分钟走72 米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。设追上甲时乙走了x分。依题意，甲在乙前方390=270（米），故有 72x 65x+270.解得：x=2707，在这段时间内 乙 走 了：2701722777()77米，由 于 正 方 形 边 长 为90 米，共 四 条 边，故 由111277730907747 290 77777（+）+，可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA 边上.8.小明从自己家到奶奶家时，前一半路程步行，后一半路程乘车；他从奶奶家回家时，前1/3 时间乘车，后2/3 时间步行结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多2 小时已知小明步行每小时行5 千米，乘车每小时行15 千米，那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米?分析：设小明家到奶奶家的路程为x 千米，而小明从奶奶家返回家里所需要的时间是y小时，那么根据题意有：中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献11xx22y251512x=y 15y533x=150y=18.解得，用方程解题关键在于未知数设定的合理性，解答中的一个路程未知数，一个时间未知数，恰好能够把题目中的所有关系都利用到9.有甲、乙、丙、丁 4 个人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29，23，21 和 17，这 4 人中最大年龄与最小年龄的差是多少？分析：设甲、乙、丙、丁4 个人的年龄分别为a、b、c、d，那么有：29323321317345(1)31a 12b 9c 3d 2121 3 18abcdbcdaacdbabdcabcdL把四个式子加起来得到：再将上面方程组里面的每个式子后与（）式相减分别得到：=，=，=，=，所以年龄最大与最小的差值为-=（岁）10.小萌在邮局寄了3 种信，平信每封8 分，航空信每封1 角，挂号信每封2 角，她共用了1 元 2 角 2 分。那么小萌寄的这3 种信的总和最少是多少封？分析：平信每封8 分，航空信分封1 角=10 分，挂号信每封2 角=20 分。共用了1 元 2 角 2分=122 分。设小萌发了平信X封，航空信Y封，挂号信Z 封。得方程：8X+10Y+20Z=122，要使这 3 种信的总和最少，则挂号信应最多；再则航空信也尽可能多。因总钱数的个位是2，则平信最少是4 封。84=32 分。其余信的总钱数为122-32=90 分。90/20=4 10。则挂号信 4 封，航空信10/10=1 封。4+4+1=9 封。C 11.五年级二班数学考试的平均分数是85 分，其中32的人得 80 分以上（含80 分），他们的平均分数是90 分。求低于80 分的人的平均分。分 析：设 该 班 级 有a名 同 学，低 于80分 的 人 的 平 均 分 为x，则 得 方 程:中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献21859033aaax,解得 x=75.12.有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，甲班的学生坐车从学校出发的同时，乙班的学生开始步行，车到中途某处，让甲班的学生下车步行，车立刻返回接乙班的学生上车并直接开往少年宫，两班学生正好同时到达。已知学生步行速度为每小时4千米，载学生时车速为每小时40 千米，空车时速度为每小时50 千米。求甲班学生应步行全程的几分之几?（学生上下车时间不计）分析：因为每班步行和坐车的行程总和一样长，又同时出发，同时到达，所以甲、乙两班的步行距离和坐车距离都相等。也就是说图上乙步行的距离b 千米和甲步行的距离 a 千米相等。而根据题意我们又可以找到下列等量关系：乙班步行b 千米(也就是 a 千米)所用的时间等于汽车送完甲队又原路返回遇到乙队共用的时间。然后根据等量关系列方程解答即可。设全程为x 千米，甲、乙两班分别步行a、b 千米，根据题意得：24050417xaxaaax解得：所以甲班步行了全程的17.13.如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10和 12，已知梯形的上底是下底长的32。那么余下的阴影部分的面积是多少？分析：设上底为a2，那么下底为a3，则上下两个三角形的高分别为aah1022101，aah832122，梯形的高是aaahh1881021，其面积为45218)32(aaa，中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献阴影部分面积为23121045。14.甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18 的倍数，乙搬的砖数是23 的倍数，两人共搬了300块砖。问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？分析：设甲搬的是18x 块，乙搬的是23y 块，那么 18x+23y=300，观察发现18x 和 300 都是6 的倍数，所以y 也是 6 的倍数，y=6 时 18x=162 x=9，y=12 时 18x=24 x=4/3 矛盾，所以甲搬了 162 块，乙搬了138 块，甲比乙多24 块。15.某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4 分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6 分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？分析：此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车4 分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6 分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人6分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了。设汽车站每隔x 分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得：122212124()4,5x 4.6()5VVV XVVVVV X可得，进而可得=1.甲、乙、丙三位同学每人得到相同数目的果汁糖甲花了若干天将糖吃完，乙每天吃3块，比甲晚1 天吃完；丙每天吃4 块，比甲早2 天吃完，问：他们每人得到多少果汁糖？分析：由于题目中乙、丙吃完糖所用的时间均与甲所用的时间有关，故不妨设甲用x天将糖吃完又根据三位同学有相同数目的糖建立方程，则3(1)4(2)xx，解得11x由3(111)36 或 4(112)36，可知他们每人得到36 块果汁糖。2.今年兄弟俩人的岁数加起来是55 岁，曾经有一年，哥哥的岁数是今年弟弟的岁数，那时哥哥的岁数恰好是弟弟的两倍，问哥哥和弟弟今年年龄分别是多大？分析：设今年哥哥x岁，则今年弟弟是55x（）岁过去某年哥哥岁数是55x（）岁，那是在55xx（）。即255x年前，当时弟弟岁数是55255xx（）（）即1103x 列方程为552 1103552206516533xxxxxx（）中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献553322（岁）答：哥哥今年33 岁，弟弟今年22岁3.有两支香，第一支长34厘米；第二支长18 厘米，同时点燃后，都是平均每分钟燃掉2 厘米，多少分钟后第一支香的长度是第二支香的长度的3倍?分析：设 x分钟后第一支香是第二支香长度的3倍。由题意得：(342)3(182)xx，5x5 分钟后第一支香的长度是第二支香的长度的3倍。4.小龙、小虎、小方和小圆四个孩子共有45 个球，但不知道每个人各有几个球，如果变动一下，小龙的球减少2 个，小虎的球增加2 个，小方的球增加一倍，小圆的球减少一半，那么四个人球的个数就一样多了求原来每个人各有几个球？分析：设变动后四个孩子都有球x个，则变动前这四个孩子拥有的球数分别为2x、2x、2x、2x；则可列方程得222245xxxx，化简为 4.545x，解得10 x；因此，原来这四个孩子分别有球12、8、5、20 个5.松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20 个，雨天每天可采12 个，它一连几天采了112 个松子，平均每天采14 个，问，这几天当中有几天有雨？分析：先求出松鼠妈妈采松子的天数：112148（天）设有x天下雨，则有8x（）天晴天雨天共采12x 个，晴天共采20 8x（）个列方程1220 811212160201128486xxxxxx（）答：这几天中有6 天有雨6.八年前，甲的年龄是乙的年龄的2.5 倍；而现在甲的年龄是乙的年龄的1.5倍，那么甲今年多少岁？分析：设今年甲的年龄为1.5x岁，则乙的年龄为x 岁，由八年前的年龄关系列方程如下：1.582.58xx，解得12x，所以甲今年18 岁7.大强参加6 次测验，第三、四次的平均分比前两次的平均分多2 分，比后两次的平均分少2 分如果后三次的平均分比前三次的平均分多3 分，那么第四次比第三次多得多少分？分析：设第三次分数是a分，第四次的分数为ax（）分，则前两次的分数之和24ax（）分，最后两次的分数之和24ax（）分，有24249axaxaxa（）（）（），解得1x，中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献即第四次比第三次多得1 分 a 作为一个辅助的未知数，能够帮助我们理解题目从而顺利地列出方程，而在解的过程中a消去，也不用求a的值，这就是我们说的“设而不求法”，在下一讲中会着重体现8.一个半圆形区域的周长等于它的面积，这个半圆的半径是(精确到 0.01，3.14)分析：设半圆的半径为r，则21 22rrr，即22r，所以，半圆的半径423.27r1一个数的4 倍加上 3 乘以 0.7 的积，和是216，则这个数是多少？分析：方程法，设这个数为x，4x+3 0.7 216，x1.1 2某校有学生465 人，其中女生的23比男生的45少 20 人，那么男生比女生少多少人?分析：设女生为x 人，那么男生为（465-x）人，根据题意有：24(465)2035xx，解得 x=240，所以女生有240 人，男生有225 人，男生比女生少15 人3某班原分成两个小组活动，第一组26 人，第二组22 人，根据学校活动器材的数量，要将一组人数调整为二组人数的一半，应从一组调多少人到二组去？分析：设应从第一组调x 人到第二组去，根据题意可得：26-x=（26+22）3，解得 x=10.4现有一笔钱，都是硬币。其中2 分硬币比5 分硬币多24 个。按钱数算，5 分的钱数比2中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献分的钱数多3 角，还有53 个 1 分硬币，这笔钱一共有多少分？分析：设 5 分硬币有x个，则 2 分硬币有（24+x）个，依据5 分的钱数=2 分的钱数+3 角，可 得 方 程30)24(25xx，解 得26x，则2 分 英 镑 有24+26=50 个，共 有526+250+153=283（分）。5甲、乙、丙共有100 本课外书甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是 5，而且余数也都是1乙有书 _本分析：设乙有课外书X本，依题意甲有课外书(5X+1)本，丙有课外书5(5x+1)+1=25x+6(本)，于是有(5x+1)+X+(25x+6)=100，即 3lx=93 解得，X=3，于是乙有课外书3 本6如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6直线AB,将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65那么三角形ADG面积是多少?分析：不妨设 ADE的面积=a，因为 DE：EG=7：（15+6）=1：3，所以AGE的面积=3a ；不妨设 CEB的面积=4b，因为 CE：EF=（5+7）：15=4：5，所以BEF的面积=5b；根据题意可得：a+4b=38，3a+5b=65，解得：a=10，b=7；那么三角形ADG 面积=ADE+AGE=4a=40。7设 A和 B都是自然数，并且满足：11A+3B=3317，那么，A+B=。分析：把等式的左边通分，比较左右两边的分子，得3A+11B=17。故 B=1，A=2，A+B=38.某校师生为贫困地区捐款1995 元这个学校共有35 名教师，14 个教学班各班学生人数相同且多于30 人不超过45 人如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？分析：设每班有a(30 a45)名学生，每人平均捐款x 元(x是整数)，依题意有：x(14a+35)=1995 于 是14a+35|1995 又3l a45，所 以469 14a+35665，而1995=3571 9，在 469 与 665 之间它的约数仅有665，故 14a+35=665，x=3，平均每人捐款 3 元中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献