高考数学二轮限时训练集合、常用逻辑用语、推理与证明4理.pdf

用心爱心专心-1-第一部分：集合、常用逻辑用语、推理证明（4）(限时：时间45 分钟，满分100 分)一、选择题1设 alg2 lg5，bex(x 0)，则 a 与 b 大小关系为()Aab Bab Cab Dab【解析】a lg2 lg5 lg10 1，而 bexe01，故 ab.【答案】A 2设 x，y，z(0，)，ax1y，b y1z，cz1x，则 a，b，c 三数()A至少有一个不大于2 B都小于2 C至少有一个不小于2 D都大于2【解析】a bcx1yy1zz1x6，因此 a，b，c 至少有一个不小于2.【答案】C 3用分析法证明：欲使A B，只需 C D，这里是的()A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即?，所以是的必要条件【答案】B 4设 a0，b0，且 ab4，则有()A.1ab12 B.ab2C.1a1b1 D.1ab14【解析】1a1bababab(ab2)24ab441.【答案】C 5(2011 年邯郸模拟)设 a，b 是两个实数，给出下列条件：(1)a b1；(2)a b2；(3)a b2；(4)a2b22；(5)ab 1.其中能推出：“a，b 中至少有一个大于1”的条件是()A(2)(3)B(1)(2)(3)C(3)D(3)(4)(5)【解析】若 a12，b23，则 ab1，但 a1，b1，故(1)推不出；若 ab1，则 ab2，故(2)推不出；若 a 2，b 3，则 a2b22，故(4)推不出；若 a 2，b 3，则 ab1，故(5)推不出；对于(3)，即 ab2，则 a，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a1 且 b1，则 ab2 与 ab2 矛盾，因此假设不成立，a，b 中至少有一个大于1.【答案】C 用心爱心专心-2-二、填空题6 设 f(x)(x a)(x b)(x c)(a，b，c 是不相等的常数)，则af(a)bf (b)cf(c)_.【解析】f(x)(x a)(x b)(x c)(x a)(x b)(x c)，f(a)(a b)(a c)，同理可得f(b)(ba)(b c)，f(c)(c a)(c b)af(a)bf(b)cf (c)a(a b)(a c)b(b a)(b c)c(c a)(c b)a(b c)b(a c)c(a b)(a b)(a c)(b c)abacbabcacbc(a b)(a c)(b c)0.【答案】0 7(2012 年德州模拟)凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D 上是凸函数，则对于区间 D内的任意x1，x2，xn，有f(x1)f(x2)f(xn)nf(x1x2xnn)，已知函数ysinx 在区间(0，)上是凸函数，则在 ABC 中，sinA sinB sinC 的最大值为 _【解析】f(x)sinx 在区间(0，)上是凸函数，且 A、B、C(0，)，f(A)f(B)f(C)3f(ABC3)f(3)，即 sinA sinB sinC3sin3332，所以 sinA sinB sinC 的最大值为332.【答案】3328设 x，y，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若xz，且 yz，则 xy”为真命题的是_(填所有正确条件的代号)x为直线，y，z 为平面；x，y，z 为平面；x，y 为直线，z 为平面；x，y 为平面，z 为直线；x，y，z 为直线【解析】中 x平面 z，平面 y平面 z，x平面y 或 x?平面 y.又x?平面 y,故 xy成立中若 x，y，z 均为平面，则x 可与 y 相交，故不成立xz，yz，x，y 为不同直线，故xy成立zx，zy，z 为直线，x，y 为平面可得xy，成立x，y，z 均为直线可异面垂直，故不成立【答案】三、解答题9设 a，b，c 均为奇数，求证：ax2bx c0 无整数根【证明】假设方程有整数根xx0，ax02bx0c0，c(ax02 bx0)若 x0是偶数，则ax02，bx0是偶数，ax02bx0是偶数，从而c 是偶数，与题设矛盾用心爱心专心-3-若 x0是奇数，则ax02，bx0是奇数，ax02 bx0是偶数，从而 c 是偶数，与题设矛盾综上所述，方程ax2bxc0 没有整数根10(2011 年黄冈模拟)(1)设 x 是正实数，求证：(x 1)(x2 1)(x31)8x3；(2)若 x R，不等式(x 1)(x21)(x31)8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值【解析】(1)x是正实数，由均值不等式知x12x，1x22x，x312x3，故(x 1)(x21)(x31)2x2x2x38x3(当且仅当x1 时等号成立)(2)若 x R，不等式(x 1)(x21)(x31)8x3仍然成立由(1)知，当 x0 时，不等式成立；当 x0 时，8x30，而(x 1)(x21)(x31)(x 1)2(x2 1)(x2x1)(x 1)2(x2 1)(x12)234 0，此时不等式仍然成立