2020届北京市石景山区2017级高三下学期一模考试数学试卷参考答案.pdf
高三数学答案第1页（共 8页）2020 年石景山区高三统一测试数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10 个小题，每小题4 分，共 40 分题号12345678910答案BCDAABDCCB二、填空题：本大题共5 个小题，每小题5 分，共 25 分116；1215；1321，-；答案不唯一143；15.小学中级三、解答题：本大题共6个小题，共85分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题14 分）（）证明：联结PO在正四棱锥PABCD中，PO底面ABCD因为BO平面ABCD，所以POBO 3 分在正方形ABCD中，BOAC，又因为POACO，所以BO面PAC 6 分（）解：由（）知，PO，AO，BO两两垂直，以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.7 分在正方形ABCD中，因为2 2AB，所以2AO又因为2 2PB，所以2PO高三数学答案第2页（共 8页）所以点P的坐标为(0,0,2)P，点C的坐标为(2,0,0)C，点B的坐标为(0,2,0)B 8 分则(2,0,2)PC，(2,2,0)CB 9 分由（）知，BO平面PAC所以平面PAC的一个法向量为1(0,2,0)nOB 10 分设平面PBC的一个法向量2(,)nx y z则220,0,nPCn CB即220,220.xzxy令1y，则1x，1z故平面PBC的一个法向量2(1,1,1)n 13 分1212123cos,3|nnnnnn所以二面角APCB的余弦值为33 14 分17.（本小题14 分）解：()由数据知，60 人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8+20=28 人 1 分所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有3926028840人 4分()选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有8 人。5 分设“恰好有一人选物理、化学、生物”为事件A6 分158)(2161818CCCAp8分2020届北京市石景山区2017级高三下学期一模考试数学试卷高三数学答案第3页（共 8页）（）由数据可知，选考方案确定的男生中有8 人选择物理、化学和生物；有4 人选择物理、化学和历史；有2 人选择物理、化学和地理；有2 人选择物理、化学和政治.9 分的可能取值为10，.107)0(216121214141818CCCCCCCP103)1(21622222428CCCCCP12 分所以的分布列为：01P10710310310311070E14 分18.（本小题14 分）解：（）ABC同时满足，3 分理由如下：若ABC同时满足，则在锐角ABC中，11sin32C，所以06C又因为3A,所以A+32C所以2B,这与ABC是锐角三角形矛盾，所以ABC不能同时满足,，6 分高三数学答案第4页（共 8页）所以ABC同时满足，.7 分因为ca所以CA若满足则6AC,则2B,这与ABC是锐角三角形矛盾故ABC不满足.9 分故ABC满足，（）因为2222cosabcbcA，10分所以222113152152bb解得8b或7b12 分当7b时，22271315cos027 13C所以C为钝角，与题意不符合，所以8b13 分所以ABC的面积1sin30 32SbcA 14 分19.（本小题15 分）解：（）由已知1c，22cea，2 分又222abc，解得2,1ab 4 分所以椭圆方程为2212xy.5分（）设直线l的方程为(1)(0)yk xk联立22(1)(120)ykkxxy消去y得2222(21)4220kxk xk，不妨设1122(,),(,)A x yB xy 7 分则2122421kxxk，因为M为线段AB的中点2020届北京市石景山区2017级高三下学期一模考试数学试卷高三数学答案第5页（共 8页）所以21222221Mxxkxk，2(1)21MMkyk xk 8 分所以12MOMMykxk 9 分所以1122OMlkkkk为定值.10 分（）若四边形OAPB为平行四边形,则OAOBOP 12 分所以2122421Pkxxxk12121222(1)(1)(2)21Pkyyyk xk xk xxk 13 分因为点P在椭圆上，所以2222242()2()22121kkkk 14 分解得212k即22k所以当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为22k.15 分20.（本小题14 分）.解：（）令2(=()()ln(0)h xf xg xxax x）1 分所以222()=2axah xxxx令222()=0 xah xx，解得2ax.3 分高三数学答案第6页（共 8页）当x变化时，(),()h xh x 的变化情况如下表：x(0,)2a2a(,)2a()hx0+()h x减极小值增 5 分所以在(0,)的最小值为()lnln222222aaaaaaha 6 分令()02ah解得02ae.所以当02ae时，()0h x恒成立，即()()f xg x恒成立.7 分（）可作出 2 条切线.8 分理由如下：当1a时，()lng xx.设过点1 1（，）的直线l与()lng xx相切于点00(,)P xy，9 分则0001()1yg xx即000ln111xxx整理得000ln210 xxx 10 分令()ln21m xxxx，则()m x在(0,)上的零点个数与切点P的个数一一对应.()ln1m xx，令()ln10m xx解得xe.11 分当x变化时，(),()m xm x 的变化情况如下表：x(0,)ee(,)e()m x0+()m x减极小值增所以()m x在(0,)e 上单调递减，在(,)e上单调递增.2020届北京市石景山区2017级高三下学期一模考试数学试卷高三数学答案第7页（共 8页）且2222211124()ln110meeeee()ln2110m eeeee2222()ln2110m eeee 13 分所以()m x在21(,)ee和2(,)e e上各有一个零点，即ln210 xxx有两个不同的解.所以过点1 1（，）可作出lnyx的 2 条切线.14 分21.（本小题14 分）解：()集合A不具有性质P，集合B具有性质P.14,11,8,5,2AA,3(31)(+)=52card A A不具有性质P;16,12,10,8,6,4BB,3(3 1)(+)=62card B B,具有性质P.3 分（）若三个数cba,成等差数列，则,cbaA不具有性质P，理由是bca2.因为2020321aaa且)3,2,1(*iNai所以20193a，要使321aaa取最大，则20193a；20182a，易知,20202018,2019不具有性质P，要使321aaa取最大，则20172a；20161a，要使321aaa取最大，检验可得20141a；6050)max321aaa（8 分（）集合A具有性质P.设等比数列的公比为为q，所以)0111aqaann（且q为有理数，假设当jlki时有lkjiaaaa成立，则有1ilikijqqq 10 分高三数学答案第8页（共 8页）因为q为有理数，设),(*Nnmnmq且（nm,互质），因此有1)()()ilikijnmnmnm（即ijljilkjikijnnmnmm（1），（1）式左边是m的倍数，右边是n的倍数，又nm,互质，显然lkjiaaaa不成立.12 分所以2)1()(21nnCCAAcardnn，所以集合A具有性质P.14 分【若有不同解法，请酌情给分】2020届北京市石景山区2017级高三下学期一模考试数学试卷
