沪科版九年级数学下册同步练习24.6正多边形与圆【含答案】.pdf

沪科版九年级数学下册同步练习24.6 正多边形与圆一选择题（共14 小题）1正六边形的外接圆的半径为2，则它的内切圆的半径为（）A B C 2 D1 2如图，在O中，OA=AB，OC AB，则下列结论错误的是（）（第 2 题图）A OAB是等边三角形B弦 AC的长等于圆内接正十二边形的边长COC平分弦 AB D BAC=30 3正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）A B2 C3 D24如图，边长为a 的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点O所经过的路径长为（）（第 4 题图）A6a B5a C2a D5已知正六边形的周长是12a，则该正六边形的半径是（）A6a B4a C 2a D6正六边形的边心距与边长之比为（）A：3 B：2 C 1：2 D：2 7如图，已知边长为2 的正三角形ABC的顶点 A的坐标为（0，6），BC的中点 D在 y 轴上，且在点 A的下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）（第 7 题图）A3 B4 C4 D628如图，MN是 O的直径，A=20，PMQ=50，以 PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（）（第 8 题图）A正七边形 B正八边形C正六边形D正十边形9半径相等的圆的内接正三角形和正方形，正三角形与正方形的边长之比为（）A1：B：C3：2 D1：2 10一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系正确的是（）（第 10 题图）Aa4a2a1 Ba4a3a2 Ca1a2a3 Da2a3a411中心角为60的正多边形的边数是（）A3 B6 C8 D12 12如图，在O中，OA=AB，OC AB，则下列结论错误的是（）（第 12 题图）A弦 AB的长等于圆内接正六边形的边长B弦 AC的长等于圆内接正十二边形的边长CD BAC=30 13 一个边长为2 的正多边形的内角和是其外角和的2 倍，则这个正多边形的半径是（）A2 B C 1 D14如图，把正 ABC的外接圆对折，使点 A与劣弧的中点M重合，若 BC=5，则折痕在 ABC内的部分DE的长为（）（第 14 题图）A B C D二填空题（共10 小题）15正五边形的中心角的度数是16已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为17若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为18如图，正方形ABCD 内接于半径为的 O，E为 DC的中点，连接BE，则点 O到 BE的距离等于（第 18 题图）19正六边形的半径与边长的比为20 OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若 OAB的一个内角为70，则该正多边形的边数为21设 A0，A1，An 1依次是面积为整数的正n 边形的 n 个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形的面积之和是231，那么n 的最大值是，此时正n 边形的面积是22如图，已知在O 中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在O及半径 OM、OP上，并且 POM=45，则 AB的长为（第 22 题图）23 一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过 mm（保留根号）24边长为6 的正六边形外接圆的半径是三解答题（共1 小题）25已知圆的半径为R，试求圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比参考答案一1【解析】如答图.连接 OA，OB，OG.六边形 ABCDEF 是边长为2 的正六边形，OAB是等边三角形，OAB=60，OG=OA?sin60=2=，半径为2 的正六边形的内切圆的半径为故选 A（第 1 题答图）【点评】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明 OAB是等边三角形是解决问题的关键2【解析】OA=AB=OB，OAB是等边三角形，故选项A正确，AOB=60.OC AB，AOC=BOC=30，AC=BC，弧 AC=弧 BC，=12，BAC=BOC=15，选项 B、C正确，选项D错误.故选 D【点评】本题考查了正多边形的性质、垂径定理、圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，要熟练应用3【解析】如答图.正六边形的边心距为，OB=，AB=OA.OA2=AB2+OB2，OA2=（OA）2+（）2，解得 OA=2 故选 B（第 3 题答图）【点评】本题主要考查了正六边形和圆，注意：外接圆的半径等于正六边形的边长4【解析】如答图.正六边形的内角为120，BAF=120，FAF=60，=a，六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点O 所经过的路径长为 a6=2a故选 C（第 4 题答图）【点评】此题考查了正六边形与弧长公式等知识解答此题的关键是抓住圆心O的运动路线相当于 6 个弧 FF的长注意数形结合思想的应用5【解析】正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径.又正六边形的周长为12a，正六边形边长为2a，正六边形的半径等于2a故选 C【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题的关键是利用了等边三角形的性质及三角形的面积公式6【解析】如答图，设六边形的边长是a，则半径也是a；经过正六边形的中心O 作边 AB的垂线 OC，则 AC=AB=a，OC=a，正六边形的边心距与边长之比为a：a=：2故选 B（第 6 题答图）【点评】此题考查了正多边形和圆的关系此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用7【解析】如答图.当点 E旋转至 y 轴上时 DE最小.ABC是等边三角形，D为 BC的中点，ADBC.AB=BC=2，AD=AB?sin B=.正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为 2，OE=OE=2.点 A的坐标为（0，6），OA=6，DE=OA AD OE=4.故选 B（第 7 题答图）【点评】本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形8【解析】连接 QO，PO，如答图.QO=PO，OPQ=OQP.PMQ=50，POQ=100，OPQ+OQP=180 100=80，OPQ=OQP=40，A+APO=POM=20+40=60.PO=OM，POM 是等边三角形，PM=OP=OM，以 PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是正六边形故选C（第 8 题答图）【点评】此题主要考查了正六边形的性质以及圆周角定理和外角的性质等知识，根据已知得出 POM 是等边三角形是解题关键9【解析】设其半径是R，则其正三角形的边长是R，正方形的边长是R，则它们的比是：故选 B【点评】能够构造一个由正多边形的半径、边心距和半边组成的直角三角形该正多边形的半径即是圆的半径，其半边所对的角是它的中心角的一半，即10【解析】设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1=3.设正方形的边长是x，由勾股定理，得对角线是x，则正方形的周率是a2=22.828.设正六边形的边长是 b，过点 F作 FQAB交 BE于点 Q，得到平行四边形ABQF 和等边三角形EFQ，直径是 b+b=2b，正六边形的周率是a3=3，圆的周率是a4=，a4a3a2故选 B（第 10 题答图）【点评】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键11【解析】360 60=6，中心角为60的正多边形的边数是6故选 B【点评】本题考查了正多边形和圆，熟记正多边形的边数和圆心角的关系是解题的关键12【解析】A、因为 OA=OB，OA=AB，所以 OA=OB=AB，所以 ABO 为等边三角形，AOB=60，以 AB为一边可构成正六边形，故A 正确；B、因为 OC AB，根据垂径定理可知，=；再根据 A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故B正确；C、根据垂径定理，=，故 C正确；D、根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，BAC=BOC=BOA=60=15，故 D错误故选D【点评】此题主要考查正多边形和圆的计算问题，属于常规题，要注意圆周角定理的应用13【解析】设多边形的边数为n因为正多边形的内角和为（n2）?180，正多边形的外角和为 360，根据题意，得（n 2）?180=360 2，n2=22，n=6故正多边形为六边形边长为2 的正六边形可以分成六个边长为2 的正三角形，所以正多边形的半径等于2.故选 A【点评】本题考查学生对正多边形的概念的掌握和计算的能力，要注意利用特殊角的正多边形，以简化计算14【解析】如答图.连接 AM，与 DE、BC分别交于点F、点 S，则点 F 是圆心，又是三角形的内心.S是 BC的中点，F 是 DE的中点，则有 DE BC，AF：AS=DE：BC=2：3，DE=故选 C（第 14 题答图）【点评】本题利用了圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形的高的的性质，进行求解二 1572【解析】正五边形的中心角为=72【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识题目比较简单，注意熟记定义16 2【解 析】如 答 图.正 六 边 形 的 边 心 距 为，OB=，OAB=60 ，AB=1，AC=2AB=2（第 16 题答图）【点评】此题主要考查正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键17【解析】如答图.连接 OA、OB、OC、OD、OE、OF.正六边形ABCDEF，AOB=BOC=COD=DOE=EOF=AOF，AOB=360=60，OA=OB，AOB是等边三角形，OA=OB=AB=2.OM AB，AM=BM=1.在 OAM 中，由勾股定理，得OM=（第 17 题答图）【点评】本题主要考查对正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出OA、AM的长是解此题的关键18【解析】如答图，连接EO，BO，作 OF BE.由正方形ABCD 内接于半径为的 O，可得 CD=AD=BC=2.E 是 CD中点，DE=CE=1.在 BCE中由勾股定理，得BE=，则 BEOF=OE CEFO=11，解得 OF=.（第 18 题答图）【点评】此题主要考查了垂径定理，勾股定理，正方形的性质等知识点，关键是求出EC，BE的长191：1【解析】正六边形的中心角为360 6=60，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，正六边形的半径=边长，正六边形的半径与边长的比为1：1.【点评】本题考查了正多边形和圆，解答此题的关键是正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形209【解析】当 OAB=70 时，AOB=40，则多边形的边数是36040=9；当 AOB=70 时，36070 结果不是整数，故不符合条件【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题21 23，1【解析】用找规律找出P与 n 的关系式，不难发现，P与 n 有下表所列的关系.3 4 5 6 1 （0+1）=（33）32+1 3 （2+1）=（43）42+1 6 （5+1）=（53）52+1 10 （6+3+1）=（6 3）62+1 因此，P=（n3）?n2+1，即 P=n2n+1P=n2n+1 可以化为P=（n）2+，由于 n 3，故 P值越大，n 取值越大在凸多边形面积之和为231 时，由于正n 边形的面积为整数，故其面积取最小值1 时，P值最大代入各值，得2311=n2n+1，整理，得n23n 460=0 解得 n=23 或 n=20（不合题意，舍去）故 n=23 为最大值，此时正 23 边形的面积为1【点评】本题考查了正多边形和圆以及面积及等积变换解题的关键是得出P与 n 的关系式，确定面积取最小值1 时，P的值最大22【解析】如答图.POM=45，DCO=90，DOC=CDO=45，CDO 为等腰 直 角 三 角 形，那 么CO=CD 连 接OA，可 得 到 直 角 三 角 形OAB，AB=BC=CD=CO，BO=BC+CO=BC+CD=2AB，那么 AB2+OB2=52，AB2+（2AB）2=52，AB的长为（第 22 题答图）【点评】解决本题的关键是构造直角三角形，注意先得到OB=2AB 23 12【解析】如答图.已知此圆的半径为12，则 OB=12mm 在直角 OBD 中，BD=OB?sin60=6mm 则可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正三角形的边长最大（第 23 题答图）【点评】此题所求结果有些新颖，要注意题目问题的真正含义24 6【解析】正六边形的中心角为360 6=60，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，边长为6 的正六边形外接圆半径是6【点评】正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形三 25解：如答图.连接 O1 A，作 O1 E AD于点 E.O1 A=R，O1 AE=45，AE=O1 A?cos45=R，AD=2AE=R.如答图.连接 O2 A，O2 B，则 O2 BAC.O2 A=R，O2 AF=30，AO2 B=60，AO2 B 是等边三角形，AF=O2A?cos30=R，AB=R，AC=2AF=R；圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比R：R：R=：1（第 25 题答图）【点评】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形，熟知正三角形、正方形和正六边形的性质是解答此题的关键