河北省承德市第一中学2020届高三上学期12月月考试题数学(理)【含解析】.pdf

河北省承德市第一中学2020 届高三上学期12 月月考试题数学（理）一.选择题：(本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上)1.集合11324xAx xBx，则AB（）A.0 2，B.1 3，C.1 4，D.2，【答案】D【解析】【分析】解不等式313x可得集合A，解1222x可得集合B，进而得到集合A,B 的并集【详解】由题得|24Axx，|1Bxx，则有|2ABx x，故选 D【点睛】本题考查求集合的并集，属于基础题2.设i是虚数单位，若复数1zii，则z的共轭复数为（）A.11i22B.11i2C.11i2D.11i22【答案】D【解析】复数1izi12i，根据共轭复数的概念得到，共轭复数为：1122i故答案为D 3.下列命题正确的是（）A.若a b，则11abB.若a b，则22abC.若a b，cd，则ac bdD.若a b，c d，则ac bd【答案】C【解析】【分析】对每一个选项进行判断，选出正确的答案.【详解】A.若a b，则11ab，取1,1ab不成立B.若a b，则22ab，取0,1ab不成立C.若a b，cd，则ac bd，正确D.若a b，c d，则ac bd，取1,1,1,2abcd不成立故答案选C【点睛】本题考查了不等式的性质，找出反例是解题的关键.4.已知在ABC中，P为线段AB上一点，且3BPPA，若CPxCAyCB，则2xy（）A.94B.74C.54D.34【答案】C【解析】【分析】首先CPCBBP，由已知条件可知34BPBA，再有BACACB，这样可用,CA CB表示出CP【详解】3BPPA，34BPBA，CPCBBP3331()4444CBBACBCACBCACBxCAyCB，31,44xy，524xy故选 C【点睛】本题考查平面向量基本定理，解题时用向量加减法表示出CP，然后用基底,CA CB表示即可5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.34B.942C.42D.1142【答案】B【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱，累加各个面的面积，可得答案【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱，其底面半径为1，高为 2，故其表面积：23392121 22214442S，故选B【点睛】本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题6.已知向量(1,2)a，(1,)bm，则“12m”是,a b为钝角的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果.【详解】因为(1,2)a，(1,)bm，所以12a bm，则221cos,51a bma ba bm，若12m，则221cos,051a bma ba bm，但当2m时，,a b反向，夹角为180；所以由12m不能推出,a b为钝角；反之，若,a b为钝角，则cos,0a b且2m，即12m且2m，能推出12m；因此，“12m”是,a b为钝角的必要不充分条件.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.7.设,m n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若m，nn，则mB.若,m，则mC.若,mnn，则mD.若mn n，则m【答案】A【解析】【分析】依据立体几何有关定理及结论，逐个判断即可【详解】A 正确：利用“垂直于同一个平面的两条直线平行”及“两条直线有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面”，若m且n，则/mn，又n，所以m，A正确；B错误：若,m，则m不一定垂直于平面；C错误：若,mnn，则m可能垂直于平面，也可能平行于平面，还可能平面内；D错误：若mn n，则m可能在平面内，也可能平行于平面，还可能垂直于平面；【点睛】本题主要考查立体几何中的定理和结论，意在考查学生几何定理掌握熟练程度8.已知 ABC的周长为20，且顶点B（0，4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A.2213620 xy（x 0）B.2212036xy（x 0）C.221620 xy（x 0）D.221206xy（x 0）【答案】B【解析】【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点【详解】解：ABC的周长为20，顶点B（0，4），C（0，4），BC8，AB+AC20812，128 点A到两个定点的距离之和等于定值，点A的轨迹是椭圆，a 6，c4 b220，椭圆的方程是22102036xyx故选B【点睛】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点9.斜率为 2的直线l过双曲线2222=1xyab(0,0)ab的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是()A.2eB.13eC.15eD.5e【答案】D【解析】【分析】利用数形结合，根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出,a b的关系，然后求出离心率的范围【详解】双曲线的一条渐近线的斜率为ba，结合图形分析可知，若ba小于或等于2，则直线与双曲线的一支相交或没有交点，不合题意；所以ba必大于 2，即2ba，22222214bcaeaa解得双曲线的离心率5e，故选 D【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求离心率范围问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的不等式，从而求出e的取值范围.10.试在抛物线2y4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A2,1的距离之和最小，则该点坐标为()A.1,14B.1,14C.2,2 2D.2,2 2【答案】A【解析】由题意得抛物线的焦点为(1,0)F，准线方程为:1lx过点 P作PMl于点M，由定义可得PMPF,所以PAPFPAPM，由图形可得，当,P A M三点共线时，|PAPM最小，此时PAl故点P的纵坐标为1，所以横坐标14x即点 P的坐标为1(,1)4选 A点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决11.若函数20 xfxaxa在1,上的最大值为33，则a的值为()A.33B.3C.31D.31【答案】D【解析】【分析】对于函数20 xfxaxa进行求导，分类讨论，求得函数的单调性和最值，即可求解【详解】由题意，函数20 xfxaxa，则222axfxxa，当1a时，即xa时，0,fxfx单调递减，当1xa时，0,fxfx单调递增，所以当xa时，fx取得最大值323aa，解得314a，不合题意；当1a时，fx在1,单调递减，所以最大值为13123f，不成立；当01a时，fx在1,单调递减，此时最大值为13113fa，解得31a，故选 D【点睛】本题主要考查了利用求解函数在区间上的最值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系，合理分类讨论求得函数的最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题12.如图，设椭圆的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限上的点，直线BO交椭圆于C点，若直线BF平分线段AC于M，则椭圆的离心率是（）A.12B.23C.13D.14【答案】C【解析】【分析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为ABC的中位线，可得OFAAFB，且12OFOMFAAB，即可得出e【详解】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为ABC的中位线，于是OFMAFB，且12OFOMFAAB，即12cac，可得13cea故选：C【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形中位线定理、相似三角形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：(本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分)13.已知()f x 是定义域R上的奇函数,周期为 4,且当0,1x时,2()log(1)f xx,则(31)f_.【答案】1【解析】【分析】根据题意，由函数的周期性可得f（31）f（-1），结合奇偶性可得f（-1）-f（1），进而结合函数的解析式计算可得答案【详解】根据题意，yf（x）的周期为4，则f（31）f（-1）又由f（x）是定义域为R的奇函数，则f（-1）-f（1），若当x0，1 时，2()log(1)f xx，则f（1）1 则(31)f1；故答案为：1【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的求值，属于基础题14.设函数sin,fxAxA为参数，且0,0,0A的部分图象如图所示，则的值为 _.【答案】3【解析】【分析】根 据 图 象 首 先 求 得fx最 小 正 周 期2T，从 而 解 得2；代 入712fA可 得 到23k，结合0即可求得结果.【详解】由图象可得fx最小正周期：473126T，即22又77sin126fAA73262k，kZ23k，kZ又03本题正确结果：3【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.15.若x，y满足约束条件02636xyxy，则2zxy的最大值为 _【答案】10【解析】【分析】作出不等式组02636xyxy表示的平面区域，利用线性规划知识求解【详解】作出不等式组02636xyxy表示的平面区域如下：作出直线:l20 xy，当直线l往下平移时，2zxy变大，当直线l经过点2,4A时，max22410z【点睛】本题主要考查了利用线性规划求目标函数的最值知识，考查作图及计算能力，属于基础题16.在数列na中，1111,(*)2019(1)nnaaanNn n，则2019a的值为 _【答案】1【解析】【分析】由11,(*)(1)nnaanNn n，可得1111(1)1nnaan nnn，利用“累加法”可得结果.【详解】因为11,(*)(1)nnaanNn n所以1111(1)1nnaan nnn，2111,2aa3211,23aa.,201920181120182019aa,各式相加，可得20191112019aa，201911120192019a，所以，20191a，故答案为1.【点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.三、解答题：(本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若222tan3bcaAbc.（1)求角A；（2）若3a，则ABC周长的取值范围.【答案】（1）3A（2）33 3,9【解析】【分析】（1）利用切化成弦和余弦定理对等式进行化简，得角A的正弦值；（2）利用成正弦定理把边化成角，从而实现ABC的周长用角B的三角函数进行表示，即周长36sin6B，再根据锐角三角形中角,62B，求得函数值域.【详解】（1）由222sin32cos2bcaAbcbcAbc，得到3sin2A，又0,2A，所以3A.（2）3A，3BC，设周长为x，由正弦定理知2sinsinsinBCACABRABC，由合分比定理知sinsinsinsinBCABBCACAABC，即333sinsin22xBC，32 3sinsin2BABx，即32 3 sinsin3xBB32 3 sinsincoscossin33BBB1332 3 sinsincos22BBB3332 3sincos22BB3136sincos22BB36sin6B.又因为ABC为锐角三角形，所以,62B.3sin,162B，周长33 3,9x.【点睛】对运动变化问题，首先要明确变化的量是什么？或者选定什么量为变量？然后，利用函数与方程思想，把所求的目标表示成关于变量的函数，再研究函数性质进行问题求解.18.已知数列na满足11a，121nnaa.（1）证明数列1na是等比数列，并求数列na的通项公式；（2）令3(1)nnbna，求数列nb的前n项和nT【答案】（1）见解析（2）1(33)26nnTn【解析】【分析】（1）将式子合理变形，即可化成1121nnaa，从而证明1na是以首项为2，公比为2 的等比数列，并利用等比数列通项公式求出na的通项公式.（2）由数列nb的通项公式是由等比数列与等差数列通项公式乘积得到，即可判断其可运用错位相减法求解前 n 项和nT.【详解】（）证明：由题意可得：112(1)nnaa，则1121nnaa，又112a故1na是以首项为2，公比为2的等比数列，所以11222nnna，故21nna（2）由（1）知32nnbn12313262923(1)232nnnTnn234123262923(1)232nnnTnn12313(222232nnnTn）-1(33)26nnTn【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，以及错位相减法的运用，属于中档题.对于等比数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得*1,0)(2,nnaqqnnNa即可，其中q为常数；（2）等比中项法：证得211nnnaaa即可.19.如图，已知点H在正方体1111ABCDA B C D的对角线11B D上，HDA=060（1）求DH与1CC所成角的大小；（2）求DH与平面1A BD所成角的正弦值【答案】（1）45；（2）66【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设H（m，m，1）（m0），求出1CC、DH，利用向量的夹角公式可求DH与CC所成角的大小；（2）求出平面A1BD的法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论【详解】（1）以D为原点，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz设H（m，m，1）（m0），则DA（1，0，0），1CC（0，0，1），连接BD，B1D1则DH（m，m，1）（m0），由已知DA，DH60，可得2m221m，解得m22，DH（22，22，1），cosDH，122CC，DH，1CC45，即DH与CC所成角的大小为45；（2）设平面A BD的法向量为(,),nx y z则(,)(1,0,1)0(,)(1,1,0)0n DAx y zn DBx y z，00 xzxy，令1,x得(1,1,1)n是平面A BD的一个法向量221(1)1(1)622cos623DHn，设 DH与平面A BD所成的角为所以6sincos6DHn，【点睛】本题考查向量知识的运用，考查空间角，正确运用向量的夹角公式是关键.20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，过顶点(0,1)A的直线L与椭圆C相交于两点,A B.（1）求椭圆C的方程；（2）若点M在椭圆上且满足1322OMOAOB，求直线L的斜率k的值.【答案】(1);（2）.【解析】【详解】(1)因为 e=,b=1,所以 a=2,故椭圆方程为.4分(2)设 l 的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).联立22114ykxxy，解得 (1+4k2)x2+8kx=0，因为直线l 与椭圆 C相交于两点，所以=(8k)20,所以 x1+x2=，x1x2=0，1322OMOAOB点 M在椭圆上，则m2+4n2=4,2212121(3)(3)44xxyy,化简得x1x2+4y1y2=x1x2+4(kx1+1)(kx2+1)=(1+4k2)x1x2+4k(x1+x2)+4=0,4k()+4=0,解得 k=12.故直线 l 的斜率 k=12.21.已知函数f（x）=12x2-（a+1）x+alnx+1（）若x=3 是f（x）的极值点，求f（x）的极大值；（）求a的范围，使得f（x）1 恒成立【答案】（）极大值为512f；（）12a【解析】【分析】（）由于x=3 是 f（x）的极值点，则f（3）=0 求出 a，进而求出f（x）0 得到函数的增区间，求出 f（x）0 得到函数的减区间，即可得到函数的极大值；（）由于f（x）1 恒成立，即x0 时，21(1)ln02xaxax恒成立，设21()(1)ln2g xxaxax，求得其导函数，分类讨论参数a，得到函数g（x）的最小值大于等于0，即可得到a的范围【详解】解：（）1afxxaxx=3 是f（x）的极值点，33103afa，解得a=3 当a=3 时，21343xxxxfxxx，当x变化时，x（0，1）1（1，3）3（3，+）f（x）+0-0+f（x）递增极大值递减极小值递增f（x）的极大值为512f；（）要使得f（x）1 恒成立，即x0 时，21102xaxalnx恒成立，设2112g xxaxalnx，则11xxaagxxaxx，（）当a0 时，由g（x）0 得单减区间为（0，1），由g（x）0得单增区间为（1，+），故1()102ming xga，得2fxfxk；（ii）当 0a1 时，由g（x）0 得单减区间为（a，1），由g（x）0 得单增区间为（0，a），（1，+），此时1102ga，不合题意；（iii）当a=1 时，f（x）在（0，+）上单增，1102ga此时，不合题意；（iv）当a1 时，由g（x）0 得单减区间为（1，a），由g（x）0 得单增区间为（0，1），（a，+），此时1102ga，不合题意综上所述：2fxfxk时，f（x）1 恒成立【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件考查考生的运算、推导、判断能力22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C的参数方程为3 cossinxy（为参数），在以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为32 2,4，直线l的极坐标方程为sin2 204（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若 N是曲线 C上的动点，P为线段 MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值【答案】（1）40 xy,2213xy；（2）7 22.【解析】【分析】（1）直接利用极坐标方程、参数方程和普通方程互化的公式求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）设 N（3cos，sin），0，2）先求出点P到直线 l 的距离31cossin6222d再求最大值.【详解】（1）因为直线l 的极坐标方程为sin2 204，即 sin cos 40由 xcos，ysin，可得直线l 的直角坐标方程为x y40将曲线 C的参数方程3xcosysin消去参数a，得曲线 C的普通方程为2213xy（2）设 N（3cos，sin），0，2）点 M的极坐标（2 2，34），化为直角坐标为（2，2）则31cos1,sin122P所以点 P到直线 l 的距离31cossin6sin622372222d，所以当56时，点 M到直线 l的距离的最大值为7 22【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.（1）已知,a b，都是正数，且ab，求证：552323aba bb a.（2）已知已知,a b cR，且1abc，求证：22213abc.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用比较法证明，欲证552323aba bb a，只要证552323()0aba bb a即可，然后利用因式分解判断每个式子的正负即可；（2）由题意得：1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）3（a2+b2+c2），即可证得结论.【详解】（1）552332532523aba ba baa bba b3223222233222()()aabbabababababaabb.,a b都是正数,22,0ab aabb,又2,()0abab,222552332()()0,ababaabbaba ba b；（2）a+b+c=1，1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）3（a2+b2+c2），a2+b2+c213【点睛】本题考查了不等式的证明，熟悉公式和运用是解题的关键，属于中档题.