浙江省温州七校2019-2020年高一上学期期中考试数学【含答案详解】.pdf

浙江省温州七校2019-2020 年高一上学期期中考试数学一、选择题：本大题共13 小题，每小题4 分，共 52 分,在每小题给出的四个选项中，第110 题只有一项符合题目要求.1.已知集合1,2,3,4,5U，=1,3,4A，=4,5B，则()=UAB（）A.3B.1,3C.3,4D.1,3,4【答案】B【解析】【分析】先求出UC B,再求()UAB得解.【详解】由题得=1,2,3UC B，所以()=1,3UAB.故选：B【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.命题“Rx，21x”的否定是（）A.Rx，21xB.Rx，21xC.Rx，21xD.Rx，21x【答案】A【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题解答即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，需改变量词且否定结论，所以，命题“Rx，21x”的否定是“Rx，21x”.故选：A【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3.“0a”是“20a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】当a0 时,a20 一定成立;a20 时,a0 或 a0”是“a20”的充分不必要条件.故选 A.【点睛】根据充分条件的定义和必要条件的定义判断，首先要分清条件p 与结论 q，若pq，则 p 是 q的充分条件.若 q 不能推出p,则 p 是 q 的不必要条件.4.我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card()A表示有限集合A中元素的个数.例如，,Ax y z，则card()=3A.若非空集合,M N满足card()Mcard()N，且MN，则下列说法错误的是（）A.MNMB.MNNC.MNND.MN【答案】D【解析】【分析】根据()()card Mcard N，且MN即可得出MN，从而看出选项D不正确【详解】根据()()card Mcard N，且MN得，MN；MNM，MNN，MNN 正确，显然 MN不正确，因为M，N不一定是空集故选：D【点睛】本题主要考查有限集的定义，集合元素个数的定义，列举法的定义5.设102x，则(12)xx的最大值为（）A.19B.29C.18D.14【答案】C【解析】【分析】先化简1(12)=2(12)2xxxx，再利用基本不等式求函数的最大值.【详解】由题得211 2121(12)=2(12)()2228xxxxxx.当且仅当212xx即14x时取到等号.所以(12)xx的最大值为18.故选：C【点睛】本题主要考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.下面各组函数中表示同一个函数的是（）A.()f xx，2()()g xxB.()|f xx，2()g xxC.21()1xf xx，()1g xxD.|()xfxx，1,0,()1,0.xg xx【答案】B【解析】【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即得解【详解】A()f x 的定义域为R，()g x的定义域为 0，)，两个函数的定义域不相同，不是相同函数B()|g xx，两个函数的定义域，对应法则相同是同一函数C()1f xx，(1)x，()g x的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数D()f x 的定义域为|0 x x，()g x的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数故选：B【点睛】本题主要考查同一函数的定义与判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.已知若()(1)8f af，则实数a的值为（）A.2B.2 C.2D.3【答案】C【解析】【分析】推导出2(1)2111f，从而f（a）817，当0a时，f（a）317a，当0a时，f（a）2217a，由此能求出实数a的值【详解】231,0,()21,0,xxf xfxx（a）(1)8f，2(1)2 111f，f（a）817，当0a时，f（a）317a，解得2a，当0a时，f（a）2217a，解得2a，或2a（舍)，综上，实数a的值为2故选：C【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8.若不等式2220mxmx对一切实数x都成立，则实数m的取值范围为（）A.(2,0)B.(2,0C.(,0)D.(,0【答案】B【解析】【分析】分类讨论m与 0 的关系，0m时恒成立，0m时，只需二次函数图象开口向下且与x轴无交点，进而求解.【详解】0m时，20恒成立；0m，2(2)80mm，解得20m综上，20m，故选：B【点睛】考查分类讨论的思想，数形结合，不等式恒成立与二次函数图象的关系.9.某容器如图所示，现从容器顶部将水匀速注入其中，注满为止.记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为()hf t，则()hf t的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据容器的特点分析水面高度的变化情况得解.【详解】由图知，容器两头小，中间大，在水流速度一定的情况下，水面高度h在达到容器体积12前应该是逐渐变慢；达到容器体积12后，逐渐加快.故选：D【点睛】考查识图能力，水面高度h在达到容器体积12前应该是逐渐变慢；达到容器体积12后，逐渐加快，是解决本题的关键点10.已知函数()f x 是定义在R上的单调函数，(0,1)A，(2,1)B是其图象上的两点,则不等式(1)1f x的解集为（）A.(1,1)B.(,1)(1,)C.(1,3)D.(,1)(3,)【答案】D【解析】【分析】根据题意可得出(0)1f，f（2）1，从而得出()f x 在R上是减函数，从而根据不等式|(1)|1f x得，(1)f xf（2）或(1)(0)f xf，从而得出12x或10 x，解出x的范围即可【详解】据题意知，(0)1f，f（2）1，()f x是R上的单调函数，()f x在R上单调递减，由|(1)|1f x得，(1)f xf（2），或(1)(0)f xf，12x或10 x，解得3x或1x，原不等式的解集为(，1)(3，)故选：D【点睛】考查单调函数的定义，减函数的定义，以及绝对值不等式的解法，函数图象上点的坐标和函数解析式的关系11.下列结论正确的有（）A.函数0()(1)1f xxx的定义域为(1,1)(1,)B.函数()yf x，1,1x的图象与y轴有且只有一个交点C.“1k”是“函数()(1)+f xkx kkR为增函数”的充要条件D.若奇函数()yf x在0 x处有定义，则(0)0f【答案】BCD【解析】【分析】A函数0()(1)1f xxx的x满足：101 0 xx，解得x范围即可判断出正误；B根据函数的定义即可判断出正误；C利用一次函数的单调性即可判断出正误；D 奇函数()yfx在0 x处有定义，可得(0)(0)ff，解得(0)0f详解】A函数0()(1)1f xxx的x满足：101 0 xx，解得1x，且1x，因此函数()f x的定义域为 1，1)(1，)，因此不正确；B函数()yf x，1x，1的图象与y轴有且只有一个交点，根据函数的定义可知正确；C1k“函数()(1)()f xkxk kR 为增函数”，因此“1k”是“函数()(1)()f xkxk kR为增函数”的充要条件，所以该命题正确；D奇函数()yf x在0 x处有定义，则(0)(0)ff，因此(0)0f，所以该命题正确故选：BCD【点睛】本题考查了函数的定义、奇偶性和单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,Ra b c，则下列命题正确的是（）A.若0ab且ab，则11abB.若01a，则3aaC.若0ab，则11bbaaD.若cba且0ac，则22cbab【答案】BC【解析】【分析】A取2a，1b，即可判断出正误；B若01a，作差32(1)aaa a，即可比较出大小关系；C若0ab，作出(1)(1)0a bb aab，即可比较出大小关系；D若cba且0ac，则0a，0c，而b可能为 0，即可比较出大小关系【详解】A取2a，1b，则11ab不成立B若01a，则32(1)0aaa a，3aa，因此正确C若0ab，则(1)(1)0a bb aab，(1)(1)0a bb a，11bbaa，正确；D若cba且0ac，则0a，0c，而b可能为 0，因此22cbab不正确故选：BC【点睛】本题考查了不等式的基本性质、作差法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题13.我们把定义域为0,)且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“函数”：（1）对任意的0,)x，总有()0f x；（2）若0 x，0y，则有()()()f xyf xfy成立，下列判断正确的是（）A.若()f x 为“函数”，则(0)0fB.若()f x 为“函数”，则()f x 在0,)上为增函数C.函数0,()1,xQg xxQ在0,)上是“函数”D.函数2()g xxx在0,)上是“函数”【答案】ABD【解析】【分析】利用“函数”的定义对每一个命题逐一分析，必须同时满足“函数”的两个条件，才是“函数”，否则就是假命题.【详解】A.因为对任意的0,)x，总有()0f x，所以(0)0f，又因为0 x，0y，则有()()()f xyf xfy成立，所以(0)(0)(0),fff所以(0)0f，综合得(0)0f，所以若()f x 为“函数”，则(0)0f，是真命题；B.设120,xx所以121222122212()()()()()()()()f xf xfxxxf xf xxf xf xf xx，因为1212120,()0()().xxf xxf xf x，所以若()f x 为“函数”，则()f x 在0,)上为增函数，是真命题；C.显然函数()g x满足条件（1），如果,x yQ则()0,()()000,g xyg xg y所以()()()g xyg xg y；如果,x yQ设2,3xy则()1,()()1 12,g xyg xg y所以()()()g xyg xg y，所以函数0,()1,xQg xxQ在0,)上是“函数”是假命题；D.显然min()(0)00g xg，所以满足条件（1），222()()()()20g xyg xg yxyxyxxyyxy，所以满足条件（2）.所以函数2()g xxx在0,)上是“函数”是真命题.故选：ABD【点睛】本题主要考查函数的单调性的证明和函数的性质，考查新定义的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共有4 个小题，每小题4 分，共 16 分.14.若函数32()(1)f xxbxx是定义在2,1aa上的奇函数，则ab_.【答案】0【解析】【分析】先根据奇函数的定义域求出a的值，再利用奇函数的定义求出b的值即得解.【详解】因为函数是奇函数，所以其定义域关于原点对称，所以2+1=01aaa，.由题得3232()(1)(1)fxxbxxxbxx所以22(1)0bx对于定义域内的每一个值都成立，所以10,1bb.所以ab0.故答案为：0【点睛】本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.设p：2x，q：xa，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_.【答案】2a【解析】【分析】根据必要不充分条件得到2a，即得解.【详解】因为p是q的必要不充分条件，所以,a是,2的真子集，即2a.故答案为：2a【点睛】本题主要考查必要不充分条件的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.已知函数()f x与()g x的定义域相同，值域也相同，但不是同一个函数，则满足上述条件的一组()f x与()g x的解析式可以为_.【答案】()=,(),f xx g xx xR【解析】【分析】结合一次函数的性质可知，()=,()f xx g xx，两个函数的定义域和值域都是R,但是对应关系不同.【详解】结合一次函数的性质可知，()=,()f xx g xx，两个函数的定义域和值域都是R,但是对应关系不同，所以两个函数不是同一个函数.故答案为：()=,(),f xx g xx xR.【点睛】本题主要考查基本初等函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17.定义其中max,a b表示,a b中较大的数.对xR，设2ax，22bxx，函数()(,)g xf a b，则（1）(1)=g_；（2）若2()()g xg x，则实数x的取值范围是_.【答案】(1).3 (2).|10 xx或01 x【解析】【分析】（1）先求出,a b，再求(1)g得解；（2）先求出2(),()g x g x的解析式，再分类讨论解不等式得解.【详解】（1）2(1)1,123ab，所以(1)=(1,3)=1313gf.（2）222222000()(,2)2011xxxxg xf xxxxxxxx，4244242110()(,2)21001xxxxg xf xxxxxxx，或或，或，所以当1x时，2432,20 xxxxx，因为1x，所以该不等式无实数解；当10 x时，242322,320 xxxxxx，所以2(2)(1)0 xx，因为10 x，所以该不等式解为10 x；当0 x时，00，不等式无实数解；当01x时，242222,(1)(2)0 xxxxxx，所以该不等式解为01x；当1x时，24xx，11x，因为1x，所以该不等式无实数解.综上所述，不等式的解集为|10 xx或01x.【点睛】本题主要考查新定义的理解和应用，考查分段函数求值和解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共有6 个小题，共82 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18.已知集合|42Axx，2|450Bx xx，|11Cx mxm.（1）求AB；（2）若BC，求实数m的取值范围.【答案】（1）|5x x或4x；（2）40m【解析】【分析】（1）先求出集合B,再求AB；（2）根据BC得到m的不等式组，解不等式即得解.【详解】（1）由题得2|450Bx xx|5x x或1x，又因为|42Axx所以AB|5x x或4x；（2）因为BC，所以151 1mm，所以40m.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知函数222(+1)1xxfxx.（1）求函数()f x 的解析式；（2）根据函数单调性的定义证明()f x 在(0,1)上单调递减.【答案】（1）1()f xxx；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）可得出2(1)1(1)1xf xx，从而得出211()xf xxxx；（2）根据单调性的定义，设任意的1x，2(0,1)x，并且12xx，然后作差，通分，提取公因式，从而得出12121212()(1)()()xxx xf xf xx x，然后说明12()()fxf x即可【详解】（1）2222(1)1(1)11xxxf xxx，211()xfxxxx；（2）证明：1x，2(0,1)x，且12xx，则：121 2121212121212()(1)111()()()()(1)xxx xf xf xxxxxxxx xx x，1x，2(0,1)x，1201x x，1210 x x，又由12xx，得120 xx，于是121212()(1)0 xxx xx x，即12()0(f xf x，12()()f xf x，函数1()f xxx在(0,1)上单调递减【点睛】考查换元法求函数解析式的方法，已知()f g x求()f x 的方法，以及减函数的定义，根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法20.某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：2019年9月份第x（130 x，xN）天的单件销售价格（单位：元20,115()50,1530 xxf xxx,第x天的销售量（单位：件）()(g xmx m为常数），且第20天该商品的销售收入为600元（销售收入=销售价格销售量）.（1）求m的值；（2）该月第几天的销售收入最高？最高为多少？【答案】（1）40m；（2）当第 10 天时，该商品销售收入最高为900 元【解析】【分析】（1）利用分段函数，直接求解(20)(20)600fg推出m的值（2）利用分段函数分别求解函数的最大值推出结果即可【详解】（1）销售价格20,115,()50,1530,xxf xxx第x天的销售量（单位：件）()(g xmx m为常数），当20 x时，由(20)(20)(5020)(20)600fgm，解得40m（2）当115x时，(20)(40)yxx2220800(10)900 xxx，故当10 x时，900maxy，当1530 x时，22(50)(40)902000(45)25yxxxxx，故当15x时，875maxy，因为875900，故当第10 天时，该商品销售收入最高为900 元【点睛】本题考查利用函数的方法解决实际问题，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题21.为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴.现计划建造一个室内面积为1500 平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留 2 米宽的通道.设温室的一边长度为x米，如图所示.（1）将两个养殖池的总面积y表示x为的函数，并写出定义域；（2）当温室的边长x取何值时，总面积y最大？最大值是多少？【答案】（1）1500(3)(5)yxx，定义域为|3300 xx；（2）当温室的边长x为 30 米时，总面积y取最大值为1215 平方米【解析】【分析】（1）依题意得温室的另一边长为1500 x米求出养殖池的总面积1500(3)(5)yxx，然后求解函数的定义域即可（2）15004500(3)(5)1515(5)yxxxx，利用基本不等式求解函数的最值即可【详解】（1）依题意得温室的另一边长为1500 x米因此养殖池的总面积1500(3)(5)yxx，因为30 x，150050 x，所以3300 x所以定义域为|3300 xx（2）15004500(3)(5)1515(5)yxxxx4500151525xx15153001215，当且仅当45005xx，即30 x时上式等号成立，当温室的边长x为 30 米时，总面积y取最大值为1215 平方米【点睛】本题考查实际问题的解决方法，函数思想的应用，基本不等式求解函数的最值，考查分析问题解决问题的能力22.已知二次函数2()f xaxbxc的图象过点(0,3)，且不等式20axbxc的解集为|13xx.（1）求()f x 的解析式；（2）若()()(24)g xf xtx在区间 1,2上有最小值2，求实数t的值；（3）设2()4h xmxxm，若当 1,2x时，函数()yh x的图象恒在()yf x图象的上方，求实数m的取值范围.【答案】(1)2()43f xxx；(2)1t或1t；(3)3m.【解析】【分析】（1）通过(0)3f，求出3c，利用1 和 3 是方程20axbxc的两根，结合韦达定理，求解函数的解析式（2）2()()(24)23g xf xtxxtx，1x，2 对称轴为xt，分当1t时、当12t时、当2t时情况讨论函数的单调性求解函数的最值即可（3）当 1x，2 时，()()0h xf x恒成立推出2231xmx，1x，2 构造函数通过换元法以及函数的单调性求解函数的最值，转化求解实数m的取值范围【详解】（1）由(0)3f，得3c，又 1 和 3 是方程20axbxc的两根，所以3ca，4ba解得1a，4b，因此2()43f xxx（2）2()()(24)23g xf xtxxtx，1x，2 对称轴为xt，分情况讨论：当1t时，()g x在 1，2 上为增函数，()(1)242ming xgt，解得1t，符合题意；当12t时，()g x在 1，t 上为减函数，()g x在 t，2 上为增函数，2()()32ming xg tt，解得1t，其中1t舍去；当2t时，()g x在 1，2 上为减函数，()ming xg（2）742t，解得54t，不符合题意综上可得，1t或1t（3）由题意，当 1x，2 时，()()0h xfx恒成立即2231xmx，1x，2 设2231xyx，1x，2，则maxmy令2xt，于是上述函数转化为32111tytt，因为 1x，2，所以0t，4，又211yt在 0，4 上单调递减，所以当0t时，3maxy，于是实数m的取值范围是3m【点睛】本题考查函数与方程的应用，构造法的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，分类讨论思想的应用，是难题23.经过函数性质的学习，我们知道：“函数()yf x的图象关于y轴成轴对称图形”的充要条件是“()yfx为偶函数”.（1）若()f x 为偶函数，且当0 x时，()21f xx，求()fx 的解析式，并求不等式()(21)f xfx的解集；（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数()yf x的图象关于直线xa成轴对称图形”的充要条件是“(+)yf x a为偶函数”.若函数()g x的图象关于直线1x对称，且当1x时，21()g xxx.（i）求()g x的解析式；（ii）求不等式()(31)g xgx的解集.【答案】(1)21,0,()21,0 xxf xxx不等式的解集是1|3x x或1 x(2)()i221,1,()144,12xxxg xxxxx,（ii）不等式的解集为13|24xx【解析】【分析】（1）根据函数对称性得出()f x 在(0,)上的解析式，再列出不等式得出不等式的解集；（2）()i 根据(1)g x是偶函数得出()g x在(,1)上的解析式，（ii）根据单调性和对称性列不等式得出解集【详解】（1）设0 x，则0 x，则()2()121fxxx，又()f x 为偶函数，所以()()21f xfxx所以21,0,()21,0 xxf xxx.因为()f x 为偶函数，且()f x 在 0，)上是减函数，所以()(21)f xfx等价于|21|xx，即22(21)xx，解得13x或1x所以不等式的解集是1|3x x或1x（2）()i 因为()g x的图象关于直线1x对称，所以(1)yg x为偶函数，所以(1)(1)gxgx，即()(2)g xgx对任意xR恒成立又当1x时，21x，所以2211()(2)(2)4422g xgxxxxxx所以221,1,()144,12xxxg xxxxx()ii任取1x，21x，)，且12xx，则22121212121212111()()()()()0g xg xxxxxxxxxx x，因为12xx，所以120 xx，又120 xx，1210 x x，所以1212121()()0 xxxxx x，即12()()g xg x所以函数()yg x在1，)上是增函数，又因为函数()g x的图象关于直线1x对称，所以()(31)g xgx等价于|1|32|xx，即22(1)(32)xx，解得1324x所以不等式的解集为13|24xx【点睛】本题考查了偶函数的性质，利用函数单调性解不等式，属于中档题