考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题7解析几何第34练.pdf

第 34 练直线与圆锥曲线的综合问题题型分析 高考展望 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在选择题或填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高.体验高考1.(2015江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，且右焦点 F 到左准线l 的距离为 3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过 F 的直线与椭圆交于A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线l 和 AB 于点 P，C，若|PC|2|AB|，求直线AB 的方程.解(1)由题意，得ca22且 ca2c3，解得 a2，c1，则 b1，所以椭圆的标准方程为x22y21.(2)当 AB x 轴时，AB2，又 CP3，不合题意.当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 AB 的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k2 1)0，则 x1，22k2 2 1k212k2，C 的坐标为2k212k2，k12k2，且ABx2x12 y2y121k2x2x122 2 1k21 2k2.若 k0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意.从而 k 0，故直线PC 的方程为yk12k21kx2k212k2，则 P 点的坐标为2，5k22k 12k2，从而 PC2 3k211 k2|k|12k2.因为|PC|2|AB|，所以2 3k211k2|k|12k242 1k21 2k2，解得 k 1.此时直线 AB 的方程为yx1 或 y x1.2.(2016浙江)如图，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A 到 y 轴的距离等于|AF|1.(1)求 p 的值；(2)若直线 AF 交抛物线于另一点B，过 B 与 x 轴平行的直线和过F 与 AB 垂直的直线交于点N，AN 与 x 轴交于点 M，求 M 的横坐标的取值范围.解(1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点 F 的距离等于点A 到直线 x 1 的距离，由抛物线的定义得p21，即 p 2.(2)由(1)得，抛物线方程为y2 4x，F(1，0)，可设 A(t2，2t)，t0，t1.因为 AF 不垂直于y 轴，可设直线AF：xsy1(s 0)，由y24x，xsy1消去 x 得 y24sy40.故 y1y2 4，所以 B1t2，2t.又直线 AB 的斜率为2tt21，故直线 FN 的斜率为t212t，从而得直线FN：yt2 12t(x1)，直线 BN：y2t.所以 Nt23t21，2t.设 M(m，0)，由 A，M，N 三点共线得2tt2m2t2tt2t23t21，于是 m2t2t21，所以 m0 或 m2.经检验，m0 或 m2 满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(，0)(2，).3.(2016四川)已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P3，12在椭圆 E 上.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点A，B，线段 AB 的中点为M，直线 OM 与椭圆 E 交于 C，D，证明：|MA|MB|MC|MD|.(1)解由已知，得a2b，又椭圆x2a2y2b21(ab0)过点 P3，12，故34b214b21，解得 b21.所以椭圆E 的方程是x24y21.(2)证明设直线 l 的方程为y12xm(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由方程组x24y21，y12xm，得 x22mx2m220，方程 的判别式为 4m2 4(2m22)，由 0，即 2m20，解得2m0)，其离心率为22.(1)求椭圆 M 的方程；(2)若直线 l 过点 P(0，4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？解(1)因为椭圆M 的离心率为22，所以4b24222，得 b22.所以椭圆M 的方程为x24y221.(2)过点 P(0，4)的直线 l 垂直于 x 轴时，直线l 与椭圆 M 相交.过点 P(0，4)的直线 l 与 x 轴不垂直时，可设直线l 的方程为ykx4.由ykx4，x24y221消去 y，得(12k2)x216kx280.因为直线l 与椭圆 M 相交，所以 (16k)24(12k2)28 16(2k27)0，解得 k142.综上，当直线l 垂直于 x 轴或直线l 的斜率的取值范围为，142142，时，直线 l 与椭圆 M 相交.点评对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是直线过定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同.变式训练1(2015 安徽)设椭圆 E 的方程为x2a2y2b21(ab0)，点 O 为坐标原点，点A 的坐标为(a，0)，点 B 的坐标为(0，b)，点 M 在线段 AB 上，满足|BM|2|MA|，直线 OM 的斜率为510.(1)求椭圆 E 的离心率e；(2)设点 C 的坐标为(0，b)，N 为线段 AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求 E 的方程.解(1)由题设条件知，点M 的坐标为23a，13b，又 kOM510，从而b2a510，进而得 a5b，ca2b22b，故 eca2 55.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x5byb 1，点N 的坐标为52b，12b.设点 N 关于直线 AB 的对称点 S的坐标为x1，72，则线段 NS 的中点 T 的坐标为54bx12，14b74.又点 T 在直线 AB 上，且 kNS kAB 1，从而有54bx125b14b74b1，7212bx152b5，解得 b3.所以 a 3 5，故椭圆 E 的方程为x245y291.题型二直线与圆锥曲线的弦的问题例 2已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的两个焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)(c0)，过点E(a2c，0)的直线与椭圆相交于A，B 两点，且F1AF2B，|F1A|2|F2B|.(1)求椭圆的离心率；(2)求直线 AB 的斜率.解(1)由 F1AF2B，且|F1A|2|F2B|，得|EF2|EF1|F2B|F1A|12，从而a2cca2cc12，整理，得a23c2，故离心率e33.(2)由(1)得 b2a2c22c2，所以椭圆的方程可写为2x23y26c2，设直线 AB 的方程为yk(xa2c)，即 yk(x3c).由已知设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则它们的坐标满足方程组yk x3c，2x23y26c2消去 y并整理，得(23k2)x218k2cx27k2c26c20，依题意，48c2(13k2)0，得33kb0)的左，右焦点，过F1且斜率为1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求椭圆 E 的离心率；(2)设点 P(0，1)满足|PA|PB|，求椭圆E 的方程.解(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又 2|AB|AF2|BF2|，得|AB|43a，l 的方程为yxc，其中 ca2b2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点的坐标满足方程组yxc，x2a2y2b21消去 y，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则 x1x22a2ca2b2，x1x2a2c2b2a2b2.因为直线 AB 的斜率为1，所以|AB|2|x2x1|2 x1x224x1x2，即43a4ab2a2b2，故 a22b2，所以 E 的离心率ecaa2b2a22.(2)设 AB 的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0 x1x22a2ca2 b22c3，y0 x0cc3.由|PA|PB|，得 kPN 1，即y01x0 1，得 c3，从而 a32，b3.故椭圆 E 的方程为x218y291.高考题型精练1.(2015北京)已知椭圆C：x23y23，过点 D(1，0)且不过点 E(2，1)的直线与椭圆C 交于A，B 两点，直线AE 与直线 x3 交于点 M.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若 AB 垂直于 x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由.解(1)椭圆 C 的标准方程为x23y2 1，所以 a3，b1，c2.所以椭圆 C 的离心率eca63.(2)因为 AB 过点 D(1，0)且垂直于 x 轴，所以可设 A(1，y1)，B(1，y1)，直线 AE 的方程为 y1(1y1)(x2)，令 x3，得 M(3，2y1)，所以直线 BM 的斜率 kBM2y1y1311.(3)直线 BM 与直线 DE 平行，证明如下：当直线 AB 的斜率不存在时，由(2)可知 kBM1.又因为直线DE 的斜率 kDE10211，所以 BMDE，当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为yk(x1)(k1)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 AE 的方程为y1y11x12(x 2).令 x3，得点 M 3，y1x13x12，由x23y2 3，y k x1，得(13k2)x26k2x3k230，所以 x1x26k213k2，x1x23k2313k2，直线 BM 的斜率 kBMy1x13x12y23x2，因为 kBM 1k x11 x13k x21 x12 3x2x123x2x12k1 x1x22 x1x233x2x12k13k2313k212k213k233x2x120，所以 kBM 1kDE.所以 BMDE，综上可知，直线BM 与直线 DE 平行.2.(2016课标全国甲)已知 A 是椭圆 E：x24y23 1 的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA.(1)当|AM|AN|时，求 AMN 的面积；(2)当 2|AM|AN|时，证明：3k0，由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4.又 A(2，0)，因此直线AM 的方程为 yx2.将 xy2 代入x24y231 得 7y212y0，解得 y 0 或 y127，所以 y1127.因此 AMN 的面积 SAMN21212712714449.(2)证明将直线 AM 的方程 yk(x2)(k0)代入x24y23 1 得(34k2)x2 16k2x16k2120，由 x1(2)16k21234k2得 x12 34k234k2，故|AM|x12|1k2121k234k2.由题设，直线AN 的方程为y1k(x2)，故同理可得|AN|12k1k23k24.由 2|AM|AN|，得23 4k2k3k24，即 4k36k23k80，设 f(t)4t36t23t8，则 k 是 f(t)的零点，f(t)12t212t33(2t1)20，所以 f(t)在(0，)单调递增，又 f(3)153260，因此 f(t)在(0，)有唯一的零点，且零点 k 在(3，2)内，所以3k0)到直线 l：xy20 的距离为322.设 P为直线 l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA，PB，其中 A，B 为切点.(1)求抛物线C 的方程；(2)当点 P(x0，y0)为直线 l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点 P 在直线 l 上移动时，求|AF|BF|的最小值.解(1)依题意知|c2|2322，c0，解得 c 1.所以抛物线C 的方程为x24y.(2)由 y14x2得 y 12x，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线 PA，PB 的斜率分别为12x1，12x2，所以切线 PA 的方程为yy1x12(xx1)，即 yx12xx212y1，即 x1x2y 2y10.同理可得切线PB 的方程为x2x 2y2y20，又点 P(x0，y0)在切线 PA 和 PB 上，所以 x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0 x 2y02y0 的两组解，所以直线AB 的方程为x0 x2y2y00.(3)由抛物线定义知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y2 1)y1y2(y1y2)1，联立方程x0 x2y2y00，x24y，消去 x 整理得 y2(2y0 x20)yy200，所以 y1y2x202y0，y1y2 y20，所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1y20 x202y01y20(y02)22y012y202y0 52 y012292，所以当 y012时，|AF|BF|取得最小值，且最小值为92.4.已知椭圆C1：y2a2x2b2 1(ab0)的右顶点为A(1，0)，过 C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆 C1的方程；(2)设点 P 在抛物线C2：yx2h(hR)上，C2在点 P 处的切线与C1交于点M，N.当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值.解(1)由题意，得b1，2b2a1，从而a2，b1.因此，椭圆C1的方程为y24x21.(2)如图，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2 h)，则抛物线 C2在点 P 处的切线斜率为y|xt2t.直线 MN 的方程为y2txt2h.将上式代入椭圆C1的方程中，得 4x2(2txt2h)2 40，即 4(1t2)x2 4t(t2h)x(t2h)240.因为直线MN 与椭圆 C1有两个不同的交点，所以 式中的 116t42(h2)t2h240.设线段 MN 的中点的横坐标是x3，则 x3x1x22t t2 h2 1 t2.设线段 PA 的中点的横坐标是x4，则 x4t12.由题意，得x3x4，即 t2(1h)t10.由 式中的 2(1h)240，得 h1，或 h 3.当 h 3时，h20，4h20，则不等式 不成立，所以h1.当 h1 时，代入方程 得 t 1，将 h1，t 1 代入不等式 ，检验成立.所以，h 的最小值为1.