考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题3函数与导数第16练.pdf

第 16 练定积分问题题型分析 高考展望 定积分在理科高考中，也是重点考查内容.主要考查定积分的计算和利用定积分求不规则图形的面积，题目难度不大，多为中低档题目，常以选择题、填空题的形式考查，掌握定积分的计算公式，会求各种类型的曲边图形的面积是本节重点.体验高考1.(2015湖南)02(x1)dx_.答案0解析02(x1)dx12x2x20122220.2.(2015陕西)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_.答案1.2解析由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，如图所示.设抛物线方程为yax2，将点(5，2)代入抛物线方程得a225，故抛物线方程为y225x2，抛物线的横截面面积为S12052225x2dx2 2x275x350403(m2)，而原梯形下底为102tan 4526(m)，故原梯形面积为S212(106)216(m2)，S2S116403 1.2.3.(2015天津)曲线 yx2与直线 y x 所围成的封闭图形的面积为_.答案16解析曲线 yx2与直线 yx 所围成的封闭图形如图，由y x2，y x，得 A(1，1)，面积 S01xdx01x2dx12x21013x310121316.4.(2015福建)如图，点 A 的坐标为(1，0)，点 C 的坐标为(2，4)，函数 f(x)x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_.答案512解析由题意知，阴影部分的面积S12(4x2)dx(4x13x3)2153，所求概率PSS矩形ABCD5314512.高考必会题型题型一定积分的计算例 1(1)22(sin xcos x)dx 的值为()A.0 B.4C.2 D.4(2)若 f(x)x3sin x，1x1，2，1x2.则12f(x)dx 等于()A.0 B.1 C.2 D.3答案(1)C(2)C解析(1)原式(cos xsin x)221(1)2，故选 C.(2)12f(x)dx11(x3sin x)dx122dx(14x4cos x)11(2x)21 022.点评(1)计算定积分，要先将被积函数化简，然后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2)对有关函数图象和圆的定积分问题可以利用定积分的几何意义求解.变式训练1(1)已知复数za(a2)i(aR，i 为虚数单位)为实数，则0a()4x2x dx的值为()A.2 B.22C.42 D.44(2)03|x24|dx 等于()A.213B.223C.233D.253答案(1)A(2)C解析(1)因为z a(a 2)i(aR)为实数，所以a2，0a(4x2x)dx024x2dx12x220，由定积分的几何意义知，024x2dx 的值为以原点为圆心，以2 为半径的圆的面积的四分之一，即是，所以024 x2dx12x220的值为 2，故选 A.(2)画出函数图象如图所示，可知03|x24|dx02(4x2)dx23(x24)dx883(912838)233.题型二利用定积分求曲边梯形的面积例 2(1)由曲线 yx2与 yx的边界所围成区域的面积为()A.13B.23C.1 D.16(2)y12ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.92e2B.4e2C.2e2D.e2(3)由曲线 ysin x，ycos x 与直线 x0，x2所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是()A.1 B.4C.2 23D.222答案(1)A(2)D(3)D解析(1)由题意可知，曲线yx2与 yx的边界所围成区域的面积S01(xx2)dx(23x3213x3)10231313.(2)因为 y1212ex，所以 y|x412e2，所以在点(4，e2)处的切线方程是ye212e2(x4)，当 x0 时，y e2，当 y0 时，x2，所以切线与坐标轴所围成三角形的面积是S12|e2|2e2，故选 D.(3)方法一由 sin xcos x(x(0，2)，得 x4.故所求阴影部分的面积S04(cos xsin x)dx42(sin xcos x)dx(sin xcos x)40(cos xsin x)24sin 4cos 4sin 0cos 0(cos 2 sin 2)(cos 4sin 4)222.故选 D.方法二由 sin x cos x(x(0，2)，得 x4.根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积S204(cos xsin x)dx2(sin xcos x)402(sin 4cos 4sin 0cos 0)222.点评求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形.(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限.(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和.(4)计算定积分.变式训练2如图所示，由函数 f(x)sin x 与函数 g(x)cos x 在区间0，32上的图象所围成的封闭图形的面积为()A.32 1 B.422 C.2 D.22答案B解析f(x)sin x 和 g(x)cos x 在 0，32上的交点坐标为4，22，54，22，两函数图象所围成的封闭图形的面积为S04(cos xsin x)dx454(sin xcos x)dx5432(cos xsin x)dx(sin xcos x)40(sin xcos x)544(sin xcos x)3254422.故选 B.高考题型精练1.已知自由落体运动的速率vgt，则落体运动从t0 到 tt0所走的路程为()A.gt203B.gt20C.gt202D.gt206答案C解析由题意，可知所走路程为0t0vdt0t0gtdt12gt2t0012gt20.2.定积分01(ex2x)dx 的值为()A.1 B.e1 C.e D.e1答案C解析01(ex2x)dx01exdx012xdxex10 x210e，故选 C.3.若02(sin xacos x)dx2，则实数a 等于()A.1 B.1 C.3 D.3答案A解析02(sin xacos x)dx cos xasin x20 a12，a 1.4.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S1003(12x)dx，S2017，则 S30为()A.15 B.20 C.25 D.30答案A解析由已知得S1003(12x)dx 12，根据等差数列性质可得S1012，S20S10 5，S30S20S3017 亦成等差数列，故有12S301710?S3015.5.由曲线 yx，直线 yx2 及 y 轴所围成的图形的面积为()A.4 B.6 C.103D.163答案D解析因为yxyx2?x4，根据定积分的几何意义可得，04(xx2)dx(23x3212x2 2x)40163，故选 D.6.设 f(x)x2，x0，1，1x，x1，e(其中 e 为自然对数的底数)，则0ef(x)dx 的值为()A.43B.54C.65D.76答案A解析根据定积分的运算法则，由题意，可知0ef(x)dx01x2dx1e1xdx13x310 ln xe113143.7.如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f(x)sin x，x(0，)及直线xa，a(0，)与 x 轴围成.向矩形 OABC 内随机投掷一点，若此点落在阴影部分的概率为14，则 a 的值是()A.712B.23C.34D.56答案B解析由题意可得，是与面积有关的几何概型，构成试验的全部区域是矩形OACB，面积为a6a6.记“向矩形 OACB 内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件 A，则构成事件A 的区域即为阴影部分，面积为0asin xdx cos xa01 cos a，由几何概型的计算公式可得P(A)141cos a6，cos a12，又 a(0，)，a23，故选 B.8.已知02(3x2k)dx16，则 k 等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案D解析02(3x2k)dx(x3 kx)208 2k16，所以 k4.故选 D.9.定积分01(21x2)dx_.答案42解析01(21x2)dx012dx011x2dx2x10011x2dx2011x2dx，令 y1x2，得 x2 y2 1(y0)，点(x，y)的轨迹表示半圆.011x2dx表示以原点为圆心，以 1 为半径的圆的面积的14，故011x2dx14 124，01(21x2)dx42.10.已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则 a 的值为 _.答案1解析由曲线在原点处与x 轴相切，可得f(0)0b，此时 f(x)x3ax2x2(ax)，据定积分知，阴影部分面积为a0(x3ax2)dx112，解得 a 1.11.已知 a0，(ax x)6的展开式的常数项为15，则aa(x2x4x2)dx_.答案2233解析根据二项展开式的通项公式可知，Tk1Ck6(1)ka6k1(6)2kkxCk6(1)ka6k332kx，令 k 2，C26(1)2a415?a 1(a0)，aa(x2x4x2)dx11x2dx11xdx114 x2dx.作出114x2dx 表示的图象如图，根据定积分的几何意义及定义，从而可知11x2dx11xdx114x2dx23012 1 321642233.12.计算曲线yx22x 3与直线 yx3 所围图形的面积.解由yx 3，yx22x3，解得 x0 及 x3.从而所求图形的面积S03(x3)(x22x3)dx03(x23x)dx13x332x23092.