高中数学3.1不等关系与不等式导学案新人教A版必修5.pdf

高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 1/28 3.1 不等关系与不等式（1）学习目标1.了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；2.会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.学习过程一、课前准备复习 1：写出一个以前所学的不等关系_ 复习 2：用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x不低于 400 元_ 二、新课导学 学习探究探究 1：文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多小于至少大于等于不少于小于等于不多于探究 2：限速 40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过 40km/h，写成不等式就是 _ 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量p应不少于2.5%，蛋白质的含量q应不少于2.3%，写成不等式组就是_ 典型例题例 1 设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则其中不等关系有_ 例 2 某种杂志原以每本2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本.据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少2000 本.若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？例 3某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和 600mm两种按照生产的要求，600mm的数量不能超过 500mm钢管的 3 倍怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？动手试试练 1 用不等式表示下面的不等关系：（1）a与b的和是非负数 _ 高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 2/28（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高 4m”_(3)如图(见课本 74 页)，在一个面积为350 的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L大于宽W的 4 倍练 2 有一个两位数大于50 而小于 60，其个位数字比十位数大2试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)三、总结提升 学习小结1会用不等式（组）表示实际问题的不等关系；2会用不等式（组）研究含有不等关系的问题 知识拓展“等量关系”和“不等量关系”是“数学王国”的两根最为重要的“支柱”，相比较其它一些科学王国来说，“证明精神”可以说是“数学王国”的“血液和灵魂”学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟满分：10 分）计分：1.下列不等式中不成立的是（）.A12 B12C11 D122.用不等式表示，某厂最低月生活费a不低于 300元（）.A300a B300aC300a D300a3.已知0ab，0b，那么,a bab的大小关系是（）.Aabba BababCabba Dabab4.用不等式表示：a与b的积是非正数_ 5.用不等式表示：某学校规定学生离校时间t在16 点到 18 点之间 _ 课后作业1.某夏令营有48 人，出发前要从A、B两种型号的帐篷中选择一种A型号的帐篷比B型号的少5顶若只选A型号的，每顶帐篷住4 人，则帐篷不够；每顶帐篷住5 人，则有一顶帐篷没有住满若只选B型号的，每顶帐篷住3 人，则帐篷不够；每顶帐篷住4 人，则有帐篷多余设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来2.某正版光碟，若售价 20 元/本，可以发行10 张，售价每体高2 元，发行量就减少5000 张，如何定价可使销售总收入不低于224 万元?高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 3/28 3.1 不等关系与不等式（2）学习目标1.掌握不等式的基本性质；2.会用不等式的性质证明简单的不等式；3.会将一些基本性质结合起来应用.学习过程一、课前准备1设点A与平面之间的距离为d，B为平面上任意一点，则点A与平面的距离小于或等于A、B两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.2在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质.请同学们回忆初中不等式的的基本性质.（1）,_ab bcac（2）_abacbc（3）,0_ab cacbc（4）,0_ab cacbc二、新课导学 学习探究问题 1：如何比较两个实数的大小.问题2：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？并利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：(1),;(2)0,0;(3)0,1;.nnnnab cdacbdabcdacbdabnN nabab 典型例题例 1 比较大小：（1）2(32)626；（2）2(32)2(61)；（3）152165；（4）当0ab时，12log a _12log b.变式：比较(3)(5)aa与(2)(4)aa的大小.例 2 已知0,0,abc求证ccab.高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 4/28 变式：已知0ab，0cd，求证：abdc.例 3 已知 1260,1536,aababb求及的取值范围.变式：已知41,145abab，求9ab的取值范围.动手试试练 1.用不等号“”或“0，求证112xx.三、总结提升 学习小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论.知识拓展“作差法”、“作商法”比较两个实数的大小（1）作差法的一般步骤：作差变形判号定论（2）作商法的一般步骤：作商变形与1 比较大小定论学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟满分：10 分）计分：1.若2()31f xxx，2()21g xxx，则()f x与()g x 的大小关系为（）.A()()f xg x B()()f xg xC()()f xg x D随x值变化而变化2.已知0 xa，则一定成立的不等式是（）.A220 xa B22xaxaC20 xax D22xaax3.已 知22，则2的 范 围 是（）.A(,0)2 B,02C(,02 D,0)24.如果ab，有下列不等式：22ab，11ab，33ab，lglgab，其中成立的是 .5.设0a，10b，则2,a ab ab 三者的大小关系为 .课后作业高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 5/28 1.比较51125与1237的大小.2.某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500 万元；方案B为第一年投资5 万元，以后每年都比前一年增加10万元列出不等式表示“经n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”3.2 一元二次不等式及其解法（1）学习目标1.正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2.理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式.学习过程一、课前准备（预习教材P76 P78，找出疑惑之处）复习 1：解下列不等式：112x；112x；1102x.复习2：写出一个以前所学的一元二次不等式_，一元二次函数_，一元二次方程_二、新课导学 学习探究探究一：某同学要上网，有两家公司可供选择，公司 A每小时收费1.5 元(不足 1 小时按 1 小时收费);公司 B的收费原则为:在第 1 小时内(含恰好 1小时，下同)收费 1.7 元，第 2 小时内收费1.6 元，以后每小时减少0.1 元(若一次上网时间超过17 小时按17 小时计算).如何选择?归纳：这是一个关于x的一元二次不等式，最终归结为如何解一元二次不等式.新知：只含有 _个未知数，并且未知数的最高次数是 _的不等式，称为_.探究二：如何解一元二次不等式？能否与一元二次方程与其图象结合起来解决问题呢？000二次函数2yaxbxc（0a）的图象一元二次方程200axbxca的根20(0)axbxca的解集20(0)axbxca的解集高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 6/28 归纳：解不等式时应先将二次项系数化为正，再根据图象写出其解集.典型例题例 1 求不等式2230 xx的解集.变式：求下列不等式的解集.（1）2230 xx；（2）2230 xx.例 2 求不等式24410 xx的解集.小结：解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.动手试试练 1.求不等式24415xx的解集.练 2.求不等式21340 x的解集.三、总结提升 学习小结解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式（0a）.（2）判断的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.知识拓展（1）20axbxc对一切xR都成立的条件为00a（2）20axbxc对一切xR都成立的条件为00a学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟满分：10 分）计分：1.已 知 方 程20axbxc的 两 根 为12,x x，且12xx，若0a，则不等式20axbxc的解为（）.AR B12xxxC1xx 或2xx D无解2.关于x的不等式20 xxc的解集是全体实数的条件是（）.A14c B 14c C 14c D14c3.在下列不等式中，解集是的是（）.高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 7/28 A22320 xx B2440 xxC2440 xx D22320 xx4.不等式230 xx的解集是 .5.221218yxx的定义域为 .课后作业1.求下列不等式的解集（1）23100 xx；（2）2450 xx.2.若关于x的一元二次方程2(1)0 xmxm有两个不相等的实数根，求m的取值范围.3.2 一元二次不等式及其解法（2）学习目标1.巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；2.进一步熟练解一元二次不等式的解法.学习过程一、课前准备复习 1：一元二次不等式的解法步骤是1._ 2._ 3._ 4._ 复习 2：解不等式.（1）23710 xx；（2）2250 xx.二、新课导学 典型例题例 1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度x km/h 有如下的关系：21120180sxx.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到 0.01km/h）例 2 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：22220yxx若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 8/28 例 3 产品的总成本y（万元）与产量x之间的函数关系式是23000200.1yxx，(0,240).x若每台产品的售价为25 万元，求生产者不亏本时的最低产量.动手试试练1在 一 次 体 育 课 上，某 同 学 以 初 速 度012/vm s竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留多长时间？（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与 时 间x满 足 关 系2012hv tgt，其 中29.8/gm s）练 2某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15 元的价格销售，每天能卖出30 盏；若售价每提高 1 元，日销售量将减少2 盏.为了使这批台灯每天获得 400 元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？三、总结提升 学习小结进一步熟练掌握一元二次不等式的解法、一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系 知识拓展（1）连结三个“二次”的纽带是：坐标思想：函数值y是否大于零等价于为P(,)x y 是否在 x 轴的上方.（2）三个“二次”关系的实质是数形结合思想：20axbxc的解2yaxbxc 图象上的点(,0)x；20axbxc的解2yaxbxc 图象上的点(,)x y 在 x 轴的上方的x的取值范围.学习评价高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 9/28 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.函数2112yxx的定义域是（）.A|4x x或3x B|43xxC|4x x或3x D|43xx2.不等式2223931711()()33xxxx的解集是（）.A2，4 B(,24,)CR D(,24,)3.集合A=2|540 x xx，B=2|560 x xx，则 AB=（）.A|12xx或 34xB|12xx且 34xC1，2，3，4 D|41xx或 23x4.不等式(5)(2)0 xx的解集为 .5.已知两个圆的半径分别为1 和 5，圆心距满足210240dd，则两圆的位置关系为 .课后作业1.求下列不等式的解集：（1）23100 xx；（2）(9)0 xx.2.据气象部门预报，在距离某码头O南偏东45方向 600km处的热带风暴中心A在以 20km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受影响.从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴影响，影响时间为多长？3.2 一元二次不等式及其解法（3）学习目标1.掌握一元二次不等式的解法；2.能借助二次函数的图象及一元二次方程解决相应的不等式问题.学习过程一、课前准备复习 1：实数比较大小的方法_ 复习 2：不等式20axbxc(0)a的解集.二、新课导学 学习探究探究任务：含参数的一元二次不等式的解法问题：解关于x 的不等式：22(21)0 xmxmm分析：在上述不等式中含有参数，因此需要先判断参数对的解的影响.先将不等式化为方程22(21)0 xmxmm此方程是否有解，若有，分别为_，其大小关系为 _ 试试：能否根据图象写出其解集为_ 典型例题例 1 设关于x的不等式210axbx的解集为1|13xx，求a b.高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 10/28 小结：二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a的符号），又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，或通过代入法求解不等式.变式：已知二次不等式20axbxc的解集为1|3x x或12x，求关于x的不等式20cxbxa的解集.例 2 2|430Ax xx，2|280Bx xxa，且 AB，求 a 的取值范围.小结：（1）解一元二次不等式含有字母系数时，要讨论根的大小从而确定解集.（2）集合间的关系可以借助数轴来分析，从而确定端点处值的大小关系.例 3 若关于 m 的不等式2(21)10mxmxm的解集为空集，求m 的取值范围.变式 1：解集为非空.变式 2：解集为一切实数.小结：m 的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，m 的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系.因此求解中，必须对实数m 的取值分类讨论.动手试试练1.设2280 xxa对于一切(1,3)x都成立，求 a 的范围.练 2.若方程2280 xxa有两个实根12,xx，且13x，21x，求 a的范围.三、总结提升 学习小结对含有字母系数的一元二次不等式，在求解过程中应对字母的取值范围进行讨论，其讨论的原则性一般分为四类：（1）按二次项系数是否为零进行分类；高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 11/28（2）若二次项系数不为零，再按其符号分类；（3）按判别式的符号分类；（4）按两根的大小分类.知识拓展解高次不等式时，用根轴法：就是先把不等式化为一端为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从 x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，则大于零的不等式的解对应着曲线在x 轴上方的实数x 的取值集合；小于零的不等式的解对应着曲线在x 轴下方的实数x 的取值集合.学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.若方程20axbxc（0a）的两根为2，3，那么20axbxc的解集为（）.A|3x x或2x B|2x x或3xC|23xx D|32xx2.不等式220axbx的解集是11|23xx，则ab等于（）.A14 B 14 C10 D10 3.关 于 x 的 不 等 式2(1)10 xax的 解 集 为，则实数 a的取值范围是（）.A3(,15 B (1,1)C(1,1 D 3(,1)54.不等式2524xx的解集是 .5.若不等式220axbx的解集为1|14xx，则,a b的值分别是 .课后作业1.m是什么实数时，关于x的一元二次方程2(1)0mxm xm没有实数根.2.解关于 x 的不等式2(2)20 xa xa（aR）.3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域（1）学习目标1了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域；2经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力.学习过程一、课前准备复习1：一元二次不等式的定义_二元一次不等式定义_二元一次不等式组的定义_ 复习 2：解下列不等式：（1）210 x；（2）2232041590 xxxx.二、新课导学 学习探究探究 1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数 轴 上 的 区 间，例 如，3040 xx的 解 集为 .那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 12/28 探究2：你能研究：二元一次不等式6xy的解集所表示的图形吗？（怎样分析和定边界？）从特殊到一般：先研究具体的二元一次不等式6xy的解集所表示的图形.如图：在平面直角坐标系内，x-y=6 表示一条直线.平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线x-y=6上的点；第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；第三类：在直线x-y=6 右下方的区域内的点.设点1(,)P x y是直线x-y=6上的点，选取点2(,)A x y，使它的坐标满足不等式6xy，请同学们完成以下的表格，横坐标x-3-2-1 0 1 2 3 点P的纵坐标1y点A的纵坐标2y并思考：当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？_ 根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式6xy有什么关系？_ 直线 x-y=6 右下方点的坐标呢？在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6xy的解为坐标的点都在直线x-y=6 的_；反过来，直线x-y=6 左上方的点的坐标都满足不等式6xy.因此，在平面直角坐标系中，不等式6xy表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图:类似的：二元一次不等式x-y6 表示直线 x-y=6 右下方的区域；如图:直线叫做这两个区域的边界结论：1.二元一次不等式0AxByc在平面直角坐标系中表示直线0AxByc某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2.不等式中仅或不包括；但含“”“”包括；同侧同号，异侧异号.典型例题例 1 画出不等式44xy表示的平面区域.分析：先画 _（用线表示），再取 _判断区域，即可画出归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C时，常把原点作为此特殊点.变式：画出不等式240 xy表示的平面区域.例 2 用平面区域表示不等式组3122yxxy的解集归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的 公共部分.变式 1：画出不等式(21)(4)0 xyxy表示的平面区域.变式 2：由直线20 xy，210 xy和210 xy围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 .动手试试练 1.不等式260 xy表示的区域在直线260 xy的 _ 练 2.画出不等式组36020 xyxy表示的平面区域.三、总结提升高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 13/28 学习小结由于对在直线0AxByC同一侧的所有点(,x y)，把它的坐标（,x y)代入 AxByC，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)xy，从00AxByC 的正负即可判断0AxByC表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C 0时，常把 原点 作为此特殊点）知识拓展含绝对值不等式表示的平面区域的作法：（1）去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式（2）一般采用分象限讨论去绝对值符号（3）采用对称性可避免绝对值的讨论（4）在方程()0f x y或不等式()0f x y中，若将x y换成()()xy，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就关于()y x 轴对称学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.不等式260 xy表示的区域在直线260 xy的（）.A右上方 B 右下方 C左上方 D 左下方2.不等式 3260 xy表示的区域是（）.3.不 等 式 组36020 xyxy表 示 的 平 面 区 域 是（）.4.已知点(3,1)和(4,6)在直线320 xya的两侧，则a 的取值范围是 .5.画出11xy表示的平面区域为：课后作业1.用平面区域表示不等式组32326xyxxy的解集.2.求不等式组6003xyxyx表示平面区域的面积.3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域（2）学习目标1 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；2能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.学习过程一、课前准备复习 1：画出不等式2 x+y-60 表示的平面区域.复习 2：画出不等式组23122360 xyxyx所示平面区域.二、新课导学 典型例题高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 14/28 例 1 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板2 1 1 第二种钢板1 2 3 今需要三种规格的成品分别为12 块、15 块、27 块，用数学关系式和图形表示上述要求.例 2 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产 1 车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.动手试试练 1.不等式组(5)()003xyxyx所表示的平面区域是什么图形？练 2.某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：学段班级学生人数配备教师数硬件建设(万元)教师年薪(万元)初中45 2 26/班2/人高中40 3 54/班2/人分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 15/28 三、总结提升 学习小结根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数.反复的读题，读懂已知条件和问题，边读边摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意.然后根据题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化.知识拓展求不等式的整数解 即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫.常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是先确定区域内点的横坐标的范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定y的所有整数值，即先固定x，再用 x制约y.学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.不在 326xy表示的平面区域内的点是（）.A（0，0）B（1，1）C（0，2）（2，0）2.不等式组5003xyx表示的平面区域是一个（）.A三角形直角梯形梯形矩形3.不等式组13yxxyy表示的区域为，点1(0,2)P，点2(0,0)P，则（）.A12,PD PD B12,PD PDC12,PD PDD12,PD PD4.由直线20,210 xyxy和210 xy的平围成的三角形区域（不包括边界）用不等式可表示为 .5.不等式组438000 xyxy表示的平面区域内的整点坐标是 .课后作业1.一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序.桌子A需要 10min 打磨，6min 着色，6min 上漆；桌子B需要 5min 打磨，12min 着色，9min 上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min，着色每天至多480min，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.2.某服装制造商现有10m2的棉布料，10 m2的羊毛料，6 m2的丝绸料.做一条裤子需要棉布料1 m2，2 m2的羊毛料，1 m2的丝绸料，一条裙子需要棉布料1 m2，1m2的羊毛料，1 m2的丝绸料.一条裤子的纯收益是 20 元，一条裙子的纯收益是40 元.为了使收益达到最大，需要同时生产这两种服装，请你列出生产这两种服装件数所需要满足的关系式，并画出图形.3.3.2 简单的线性规划问题(1)学习目标1 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；2 能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.学习过程一、课前准备阅读课本至的探究找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义二、新课导学 学习探究在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 16/28 某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4 个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4 个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16 个A配件和 12 个B配件，按每天 8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：（2）画出不等式组所表示的平面区域：注意：在平面区域内的必须是整数点（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2 万元，生产一件乙产品获利3 万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：（5）获得结果：新知：线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(,)x y 叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 典型例题例 1 在探究中若生产一件甲产品获利3 万元，生产一件乙产品获利2 万元，问如何安排生产才能获得最大利润？动手试试练 1.求2zxy 的最大值，其中x、y满足约束条件11yxxyy高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 17/28 三、总结提升 学习小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解 知识拓展寻找整点最优解的方法：1.平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.2.调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.3.由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一检验即可见分晓.学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.目标函数32zxy，将其看成直线方程时，z的意义是（）.A该直线的横截距B该直线的纵截距C该直线的纵截距的一半的相反数D该直线的纵截距的两倍的相反数2.已知 x、y满足约束条件5003xyxyx，则24zxy的最小值为（）.A 6 B6 C10 D10 3.在如图所示的可行域内，目标函数zxay取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是（）.A.3 B.3 C.1 D.1 4.有 5 辆 6 吨汽车和4 辆 5 吨汽车，要运送最多的 货 物，完 成 这 项 运 输 任 务 的 线 性 目 标 函 数为 .5.已知点（3，1）和（4，6）在直线 320 xya的两侧，则a 的取值范围是 .课后作业1.在ABC中，A（3，1），B（1，1），C（1，3），写出ABC区域所表示的二元一次不等式组.2.求35zxy 的最大值和最小值，其中 x、y满足约束条件5315153xyyxxy.3.3.2 简单的线性规划问题(2)学习目标1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；2.体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.C（4，2）A（1，1）B（5，1）O xy高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 18/28 学习过程一、课前准备复习 1：已知变量,x y满足约束条件4335251xyxyx，设2zxy，取点（3，2）可求得8z，取点（5，2）可求得max12z，取点（1，1）可求得min3z取点（0，0）可求得0z，取点（3，2）叫做 _ 点（0，0）叫做 _，点（5，2）和点（1，1）_ 复习 2：阅读课本8至91二、新课导学 学习探究线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：典型例题例 1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A含有 0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28 元；而1kg 食物B含有 0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21 元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少 kg？例 2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板2 1 1 第二种钢板1 2 3 今需要三种规格的成品分别为12 块、15 块、27 块，各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C、三种规格成品，且使所用钢板张数最少？变式：第一种钢板为21 m，第二种为22 m，各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格的成品且所用钢板面积最小？例 3 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐 18t；生产 1 车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t，硝酸盐 66t，在此基础上生产这两种混合肥料.若生 1 车皮甲种肥料能产生的利润为10000 元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 5000 元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？动手试试练 1.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000 元、2000 元.甲、乙产品都需要高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 19/28 在A、B两种设备上加工，在每台A、B设备上加工1 件甲设备所需工时分别为1h、2h，加工 1 件乙和设备所需工时分别为2h、1h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h 和 500h.如何安排生产可使收入最大？练 2.某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按 40 个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共120 台，且冰箱至少生20台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:家电名称空调器彩电冰箱工时121314产值/千元4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱共多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）三、总结提升 学习小结简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.知识拓展含绝对值不等式所表示的平面区域的作法：（1）去绝对值，转化为不等式组；（2）采用分零点讨论或分象限讨论去绝对值；（3）利用对称性可避免讨论.学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟满分：10 分）计分：1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50 元，请瓦工需付工资每人40 元，现有工人工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y人，请工人的约束条件是（）.A 50402000 xy B 50402000 xyC 50402000 xy D 40502000 xy2.已知,x y满足约束条件0403280,0 xyxyxy，则25zxy的最大值为（）.A19 B 18 C17 D16 3.变量,x y满足约束条件232421229360,0 xyxyxyxy则使得32zxy的值的最小的(,)x y 是（）.A（4，5）B（3，6）C （9，2）D（6，4）4.(2007陕 西)已 知 实 数,x y满 足 约 束 条 件240220330 xyxyxy则目标函数2zxy 的最大值为_ 5.(2007湖 北)设 变 量,x y满 足 约 束 条 件30023xyxyx则 目 标 函 数 2xy 的 最 小 值 为_ 课后作业电视台应某企业之约播放两套连续剧.其中，连续剧甲每次播放时间为80min，其中广告时间为1min，收视观众为60 万；连续剧乙每次播放时间为 40min，其中广告时间为1min，收视观众为20万.已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6min 广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320min 的节目时间.如果你是电视台的制片人，电视台每周播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率?3.3.2 简单的线性规划问题(3)高中数学3.1 不等关系与不等式导学案新人教 A 版必修 5 20/28 学习目标1 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；2 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.学习过程一、课前准备复习 1：已知 1260,1536,aababb求及的取值范围复 习2：已 知41,145abab，求9ab的取值范围.二、新课导学 学习探究课本第 91 页的“阅读与思考”错在哪里？若实数 x，y满足1311xyxy，求 4x+2y的取值范围错解：由、同向相加可求得：024x即048x由得11yx将上式与同向相加得024y十得04212xy以上解法正确吗?为什么?上述解法中，确定的04 x 8 及 02y 4是对的，但用