高中数学1.1.2《弧度制和弧度制与角度制的换算》教案2新人教B版必修4.pdf

用心爱心专心-1-1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算一、教学目标：1知识目标：（1）1 弧度的角的定义；（2）弧度制的定义；（3）弧度与角度的换算；（4）角的集合与实数集 R之间建立的一一对应关系；（5）弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。2能力目标：（1）理解弧度的意义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式；（4）会利用弧度解决某些实际问题。3情感目标：（1）使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；（2）使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。二、教学重点、难点：重点：弧度的意义，弧度与角度的换算方法；难点：理解弧度制与角度制的区别。三、教学方法：通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。四、教学过程：教学环节教学内容师生互动设计意图复学引入1 复习上节课所学角的概念。2 初中所学的角度制。师：上节课我们把角的概念进行了扩充，角分为几类？（正角、负角、零角）师：在初中几何里，我们学习过角的度量，1 度的角是怎样定义的呢？答：周角的1/360 为 1 度的角。师：这种用角作单位来度量角的制度叫做角度制，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度弧度制。（板书课题）共同回顾角度制，从而为下面角度制与弧度 制 的 比 较 埋 下 伏笔。用心爱心专心-2-概念形成概念形成1 圆心角、弧长和半径之间的关系：在同心圆中，同一圆心角所对的弧与它所在圆的半径的比值是一个常数，即ABA Brr定值.2 定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad 可以略去不写。3 与角度制相比：(1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；（2）1 弧度是弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而 1 度是圆周的1360所对的圆心角的大小；（3）弧度制是十进制，而角度制是六十进制；（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。4 公式：lr，表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角是 rad。1 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，如图所示，但都 对 应 同 一 个 圆心 角。教师用多媒体演示，引导 学 生 思 考ABA Brr=定值，并与学生一起探究相等的原因：设n，AB弧长为l，半径为OAr，则22,360360rllnnr，可以看出，等式右端不含半径，表示弧长与半径的比值跟半径无关，只与的大小有关。结论：可以用圆的半径作单位去度量角。2 在 给 出 弧 度 的 定义 之后，请同学们讨论弧度制与角度制的区别和联系，教师加以概括总结。3 用公式lr求圆心角时，应强调其结果是圆心角的弧度数，并要求学生掌握此公式的变形形式：lr和(0)lr。1边演示边说明，使学生通过图像来获取对 新 概 念 的 直 观 印象。2 通过和学生一起探究，使学生明白新概念的由来，从而加深理解。3通过对比，让学生对知识进行类比、迁移和联想，加深对概念的理解；通过分组讨论，加强学生间的交流和合作，发挥他们学习的主动性。4 由于在物理上计算角速度时要经常用到此公式，因此要求学生掌握它及其两个变形。弧度制与角度制的换算1 用角度制和弧度制度量角，零角既是0角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的。2 周角的弧度数：1 由上面的公式可以计算给定弧长和半径的圆心角的弧度，请同学们考虑一下，人给一个角度时怎么换算成弧度呢？反过来又该怎么做呢？2 先引导学生计算周角的1 让学生意识到相互转换得必要性和重要性，激发学生积极思考问题。2从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一用心爱心专心-3-弧度制与角度制的换算180 rad 3 换算公式：rad=180,180nn rad.4特殊角的角度数与弧度数的对应表5角的集合与实数集R 之间建立起一种一一对应关系。6把角度值n换算为弧度值的一个“算法”：（1）给变量n和圆周率的近似值赋值；（2）如果角度值n是以“度、分、秒”形式给出，先把n化为以“度”为单位的10 进制表示；（3）计算180，得出的结果赋给变量a；（4）计算na，赋值给变量。弧度数，在此基础上再来考虑换算问题，并和学生一起推导出两个换算公式。补充负角所对应的弧度数。3 通过学生的实际计算和运用，让学生熟练掌握特殊角的角度和弧度的对应表。4 同学分组讨论一下角的集合与实数集的对应关系。答：一一对应。问：在这两种单位制下都是一一对应吗？由于每一个角都有唯一的一个实数（角度数或弧度数）与它对应，反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应，因此，无论用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立起一种一一对应关系。5根据上面的公式，带领学生写出由角度换算为弧度的算法，让学生自己写出由弧度换算角度的算法。个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展。3 观察分析和小组讨论相结合，进一步加深学生对新知识的理解和掌握。4 写算法一方面训练学 生 的 逻 辑 思 维 能力，另一方面也为后面 学 习 算 法 打 下 基础。典型例题例1（1）把112 30化成弧度（精确到0.001）；（2）把112 30化成弧度（精确到）。例2 把85化成度。例3 扇形 AOB中，AB所对的圆心角是60，半径是 50 米，求AB的长l例 1、例 2 学生板书，教师指导。例 3、例 4 教师讲解并板书，在解题步骤的规范性上为学生做好榜样。关于例 4，请学生思考：把扇形面积公式和三角形面积公式进行类比，你会产生什么联想？通过例 1 和例 2 让学生掌握弧度和角度换算的方法，例 3 是弧长公式的应用，例4是 推 导 扇 形 面 积 公式，从而对相关问题的解决提供工具。用心爱心专心-4-（精确到0.1 米）。例4 利用弧度制推导扇形面 积 公 式2,1Slr其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径。归纳小结11 弧度的角和弧度制的定义；2弧度与角度的换算；3弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。让学生谈谈本节课的收获，教师归纳。注重学生学习的自主性，发表本节课的体验和收获。布置作业层次一：教材练习A，2，4，5。层次二：教材练习B，4；习题 1-1A，2。层次一的题目要求所有学生完成，层次二的题目要求中等以上水平的学生完成。通过分层作业，使不同层次的学生进一步巩 固 本 节 课 所 学 知识。附录（表格和图）：度030456090120135150180225270315360弧度064322334565432742BBlrOrAA