高二数学人教A版选修4-5学业分层测评9Word版含答案.pdf

学业分层测评（九）(建议用时：45分钟)学业达标 一、选择题1若 a2b21，x2y22，则 axby 的最大值为()A1 B2 C.2 D.4【解析】(axby)2(a2b2)(x2y2)2，axby 2.【答案】C 2已知 a0，b0，且 ab2，则()Aab12Bab12Ca2b22 D.a2b23【解析】(1212)(a2b2)(ab)24，a2b22.【答案】C 3已知 a，bR，且 ab1，则 P(axby)2与 Qax2by2的关系是()【导学号：32750050】APQBPQ【解析】设 m(ax，by)，n(a，b)，则|axby|m n|m|n|ax2by2a2b2ax2by2abax2by2，(axby)2ax2by2，即 PQ.【答案】A 4若 a，bR，且 a2b210，则 ab 的取值范围是()A2 5，2 5 B2 10，2 10 C 10，10 D.(5，5)【解析】(a2b2)12(1)2(ab)2.a2b210，(ab)220.2 5ab2 5.【答案】A 5若 ab1 且 a，b 同号，则 a1a2b1b2的最小值为()A1 B2 C.252D.72【解析】a1a2 b1b2a221a2b221b2(a2b2)11a2b24.ab1，abab2214，a2b212(a2b2)(11)12(ab)212，11a2b214217，a1a2 b1b21724252.【答案】C 二、填空题6设实数 x，y 满足 3x22y26，则 P2xy的最大值为 _【解析】由柯西不等式得(2xy)2(3x)2(2y)2 232122)(3x2 2y2)4312611611，于是 2xy11.【答案】11 7 设 xy 0，则 x24y2y21x2的 最 小 值 为_【解析】原式x22y21x2y2 x1x2y y29(当且仅当 xy 2时取等号)【答案】9 8设 x，yR，且 x2y8，则9x2y的最小值为_【解析】(x2y)9x2y(x)2(2y)23x22y2 x3x2y2y2 25，当 且 仅 当x2y2y3x，即 x245，y85时，“”成立又x2y8，9x2y258.【答案】258三、解答题9已知 为锐角，a，b 均为正实数求证：(ab)2a2cos 2b2sin2.【证明】设 macos，bsin，n(cos ，sin )，则|ab|acos cos bsin sin|m n|m|n|acos 2bsin 21a2cos2b2sin2，(ab)2a2cos2b2sin2.10已知实数 a，b，c 满足 a2bc1，a2b2c21，求证：23c1.【证明】因为 a2bc1，a2b2c21，所以 a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式得(1222)(a2b2)(a2b)2，当且仅当 b2a 时，等号成立，即5(1c2)(1c)2，整理得 3c2c20，解得23c1.能力提升 1函数 yx52 6x的最大值是()A.3B.5 C3D5【解析】根据柯西不等式，知y1x526x 1222x526x25当且仅当 x265时取等号.【答案】B 2已知4x25y21，则 2x5y 的最大值是()A.2B1 C3D9【解析】2x 5y2x 1 5y 12x25y21212 122.2x 5y 的最大值为2.【答案】A 3 函 数 f(x)2x22x21的 最 大 值 为_【导学号：32750051】【解析】设函数有意义时x 满足12x22，由柯西不等式得 f(x)22x22x2122(12)2x2x21292，f(x)3 22，当且仅当 2x2x2122，即 x232时取等号【答案】3 224在半径为R 的圆内，求内接长方形的最大周长【解】如图所示，设内接长方形ABCD 的长为x，宽 为4R2x2，于是ABCD 的周 长 l 2(x4R2x2)2(1 x14R2x2)由柯西不等式l2x2(4R2x2)212(1212)122 2 2R4 2R，当且仅当x14R2x21，即 x 2R 时，等号成立此时，宽4R22R22R，即 ABCD 为正方形，故内接长方形为正方形时周长最大，其周长为4 2R.