高中数学第1章不等关系与基本不等式章末分层突破学案北师大版选修4-5.pdf

精品教案可编辑【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学第 1 章 不等关系与基本不等式章末分层突破学案北师大版选修 4-5 自我校对 求差比较法与求商比较法算术几何平均值分析法与综合法反证法、几何法与放缩法精品教案可编辑不等式性质的应用主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质进行数值(或代数式)大小的比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查，考查形式多以选择题出现给出下列条件：1ab；0ab1；0a1b.其中能推出logb1bloga1blogab成立的条件的序号是_(填所有可能的条件的序号)【精彩点拨】先化简被推出的不等式，然后根据对数函数的性质，逐个判断【规范解答】logb1b 1，若 1ab，则1b1a1b，loga1bloga1a 1，故条件不可以；若 0ab1，则b11b1a，logabloga1bloga1a 1logb1b，故条件可以；若 0a1b，则 01b1，loga1b0，logab0.精品教案可编辑因此条件不可以【答案】再练一题 1若a，b是任意实数，且ab，则()Aa2b2B.ab1Clg(ab)0 D12a12b【解析】ab并不能保证a，b均为正数，从而不能保证A，B 成立又ab?ab0，但不能保证ab1，从而不能保证C 成立显然只有D 成立事实上，指数函数y12x是减函数，所以ab?12a12b成立【答案】D恒成立问题中求字母范围的问题在给定区间上不等式恒成立，一般地有类似下面常用的结论：(1)f(x)a恒成立?f(x)maxa；(2)f(x)a恒成立?f(x)mina.对任意实数a(a 0)和b，不等式|ab|ab|a|(|x1|x2|)恒成立，试求实数x的取值范围【精彩点拨】构造函数F(a，b)abab|a|，从而转化为|x1|x2|F(a，b)min.【规范解答】依题意，|x1|x 2|ab|ab|a|恒成立故|x 1|x 2|ab|ab|a|min.因为|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|，当且仅当(ab)(ab)0 时取“”，精品教案可编辑所以|ab|ab|a|min 2，因此原不等式等价于|x1|x 2|2.解上述不等式得12x52，即所求x的取值范围为x12x52.再练一题 2对一切x R，若|xa|x 2|7 恒成立，求实数a的取值范围【解】对xR，|xa|x 2|(x2)(xa)|2a|，因此原不等式恒成立，必有|2a|7.2a7或 2a7，解得a5或a9.故实数a的取值范围是a|a5或a9.平均值不等式与最值应用平均值不等式求最大(小)值，关键在于“一正、二定、三相等”也就是：(1)一正：各项必须为正；(2)二定：要求积的最大值，则其和必须是定值；要求和的最小值，则其积必须是定值；(3)三相等：必须验证等号是否可以成立某县投资兴建了甲、乙两个企业，2011 年该县从甲企业获得利润100 万元，从乙企业获得利润400 万元，以后每年上缴的利润甲企业以翻一番的速度递增，而乙企业则减为上年的一半，据估算，该县年收入达到5 000 万元可解决温饱问题，年收入达到50 000万元达到富裕水平，试估算：(1)若 2011 年为第 1 年，则该县从上述两企业获得利润最少的是第几年？这年还需另外筹集多少万元才能解决温饱问题？精品教案可编辑(2)到 2020 年底，该县能否达到富裕水平？为什么？【精 彩 点 拨】阅读理解题意建立函数关系式利用平均不等式求解 回归到原问题中【规范解答】(1)设第n年该县从这两个企业获得的利润为y万元，则y 100 2n1 400 12n-11002n142n1 100 2 2n 142n 1400(n 1)，当且仅当2n142n1，即n 2 时，ymin400(万元)，由 5 000 400 4 600(万元)，所以第 2 年该县从这两个企业获得利润最少，还得另外筹集4 600 万元才能解决温饱问题(2)到 2020 年，即第10 年，该县从这两个企业获利润：y 100 2101 400 129 100 2951 200 50 000.故能达到富裕水平再练一题 3某渔业公司今年初用98 万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12 万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4 万元，该船每年捕捞的总收入为 50 万元(1)该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值？)(2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：当年平均盈利达到最大值时，以26 万元的价格卖出当盈利总额达到最大值时，以8 万元的价格卖出问：哪一种方案较为合算？请说明理由精品教案可编辑【解】(1)设捕捞n年后开始盈利，盈利为y元，则y50n 12nnn124 98 2n240n98.由y 0，得n220n49 0，10 51n10 51(n为正整数)，3n 17，n3.即捕捞 3 年后，开始盈利(2)平均盈利为yn 2n98n402 2n98n40 12.当且仅当2n98n，即n7 时，年平均利润最大经过 7 年捕捞后平均利润最大，共盈利为12 7 26 110 万元y 2n240n98 2(n10)2102，当n10 时，y的最大值为102；即经过 10 年捕捞盈利额最大，盈利102 8110 万元故两种方案获利相等，但方案的时间长，所以方案合算.证明不等式的基本方法比较法、综合法和分析法，善于分析题目特征，灵活运用不等式的性质，根据目标进行变形，但放缩一定要适度已知a0，a22abc20 且bca2，试证明：bc.【精彩点拨】利用综合法，由平均值不等式建立不等关系，比较大小【规范解答】a22abc20，a2c2 2ab.又a2c22ac，且a0，精品教案可编辑2ab2ac，bc，若bc，由a22abc20，得a2 2abb20，ab，从而abc，这与bca2矛盾从而bc.再练一题 4设a，b，c均为大于1 的正数，且ab10.求证：logaclogbc 4lg c.【证明】由于a1，b1，故要证明logac logbc4lg c，只要证明lg clg alg clg b 4lg c，又c 1，故 lg c0，所以只要证1lg a1lg b 4，即lg alg blg alg b 4，因ab10，故 lg alg b1，只要证明1lg alg b 4(*)，由a1，b1，故 lg a0，lg b0，所以 0lg alg blg alg b2212214.即(*)式成立原不等式logac logbc 4lg c得证.数学思想与方法精品教案可编辑不等式是中学数学中的重要内容，虽然知识点较少，但综合性强，是每年高考必考的热点之一几乎涉及整个高中数学的各个章节，以“实际为背景”、“函数为背景”的考题居多，既有客观题，又有主观题不仅测试有关不等式的基础知识、基本技能、基本方法，而且还测试运算能力、逻辑推测能力以及分析问题、解决问题的能力根据本章特点，应强化训练函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想方法已知关于x的不等式x2m1x5m2.(1)解这个不等式；(2)当此不等式的解集为x|x5时，求实数m的值【精彩点拨】(1)利用分类讨论的思想方程(2)采用方程的思想方法【规范解答】(1)原不等式可化为(m1)xm22m5，若m1 且m 0，则不等式的解为xm22m5m1；若m1，则不等式的解为xm22m 5m1；若m1，则不等式的解为xR.(2)如果原不等式的解为x5，则m1，m22m5m15，m7，即原不等式解集为x|x5时，m的值为 7.再练一题 5若对任意xR，不等式|x|ax恒成立，则实数a的取值范围是()Aa 1 B|a|1C|a|1 Da1【解析】设f(x)|x|，g(x)ax，作函数图象(如图所示)精品教案可编辑由图象知，|a|1，选 B.【答案】B1(安徽高考)设a，b R，|ab|2，则关于实数x的不等式|xa|xb|2 的解集是_【解析】因为a，b R，则|ab|2，其几何意义是数轴上表示数a，b的两点间距离大于 2，|xa|xb|的几何意义为数轴上任意一点到a，b两点的距离之和，当x处于a，b之间时|xa|xb|取最小值，距离恰为a，b两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R.【答案】(，)2(天津高考)设ab2，b0，则12|a|a|b的最小值为 _【解析】当a0 时，12|a|a|b12aabab4aab14b4aab54；当a0 时，12|a|a|b12aabab4aab14b4aab14 134.综上所述，12|a|a|b的最小值是34.【答案】343(全国卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)画出yf(x)的图象；精品教案可编辑(2)求不等式|f(x)|1 的解集图 1-1【解】(1)由题意得f(x)x4，x1，3x2，1x32，x4，x32，故yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)1 时，可得x1 或x3；当f(x)1 时，可得x13或x5.故f(x)1 的解集为 x|1x3；f(x)1 的解集为x x13或x5.精品教案可编辑所以|f(x)|1 的解集为x x13或1x3或x 5.4(全国卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2 时，求不等式f(x)6 的解集；(2)设函数g(x)|2x 1|.当xR 时，f(x)g(x)3，求a的取值范围【解】(1)当a 2 时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26 得1x 3.因此f(x)6 的解集为 x|1x 3(2)当xR 时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，当x12时等号成立，所以当x R 时，f(x)g(x)3等价于|1a|a 3.当a1时，等价于1aa 3，无解当a1 时，等价于a1a 3，解得a 2.所以a的取值范围是2，)章末综合测评(一)(时间 120 分钟，满分150 分)一、选择题(本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知ac2bc2，则下列不等式一定成立的是()Aa2b2Blg alg bC.1b1aD13b13a【解析】由ac2bc2，得ab(c 0)显然当a，b异号或其中一个为0 时，A，B，C 不正确精品教案可编辑【答案】D2“|x1|2 成立”是“x(x3)0 成立”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】|x1|2?1x3，x(x3)0?0 x 3.(0,3)(1,3)【答案】B3下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()Aab1 Bab1Ca2b2Da3b3【解析】由ab1，得ab1b，即ab，而由ab不能得出ab1，因此，使ab成立的充分不必要条件是ab1，选 A.【答案】A4在下列函数中，当x取正数时，最小值为2 的是()Ayx4xBylg x1lg xCyx211x2 1Dysin x1sin x(0 x)【解析】yx4x244，A 错；当 0 x1 时，lg x 0，B 错；当x211x2 1时，x0，精品教案可编辑yx211x2 1 2，此时等号取不到，C 错；ysin x1sin x 2，此时 sin x1，D 正确【答案】D5不等式|5xx2|6 的解集为()Ax|x2 或x3Bx|1x2 或 3x6Cx|1x6Dx|2x3【解析】|5xx2|6?65xx26?x25x6 0，x25x6 0，1x2 或 3x6.【答案】B6若不等式2x2axb0 的解集为x12x13，则ab的值是()A.13B23C.16D112【解析】由题意，得a216，b216，所以ab13 1323.【答案】B7若a 0，b 0，且ab2，则()Aab12Bab12Ca2b22Da2b23精品教案可编辑【解析】由a 0，b 0，且ab2，4(ab)2a2b22ab 2(a2b2)，a2b2 2.【答案】C8设a，b，c为正数，则三个数a1b，b1c，c1a满足()A都不大于2 B都不小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2【解析】若a1b2，b1c2，c1a2 同时成立，相加得a1ab1bc1cbc，nN，且1ab1bcnac恒成立，则n的最大值是()A2 B3C4 D6【解析】acabacbcabbcababbcbc2bcababbc 4，当且仅当bcababbc时，取等号，1ab1bc4ac，而1ab1bcnac恒成立，得n 4.【答案】C12 若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2 在x1 处有极值，则ab的最大精品教案可编辑值等于()A2 B3C6 D9【解析】f(x)12x22ax2b，由f(x)在x1 处有极值，得f(1)12 2a2b 0，ab6.又a0，b0，abab226229，当且仅当ab3 时取到等号，故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13 不等式|x1|x 3|6 的解集是 _【解析】当x3 时，2x 26?x4；当x1 时，2x 26?x 2；当 3x1 化为|x1|2|x 1|10.当x1 时，不等式化为x40，无解；当 1x0，解得23x0，解得 1x2.所以f(x)1 的解集为x23x2.(2)由题设可得f(x)x12a，xa.精品教案可编辑所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a13，0，B(2a 1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为23(a1)2.由题设得23(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)22(本小题满分12 分)某小区要建一座八边形的休闲小区，如图 1 所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 平方米的十字形地域计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4 200 元，并在四周的四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪造价为每平方米210 元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米 80 元图 1(1)设总造价为S元，AD长为x米，试求S关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，S取得最小值？并求出这个最小值【解】(1)设DQy米，又ADx米，故x24xy200，即y200 x24x.依题意，得S4 200 x2 210 4xy 80 2y2，4 200 x2210(200 x2)160200 x24x2 38 000 4 000 x2400 000 x2.精品教案可编辑依题意x0，且y200 x24x0，所以 0 x102.故所求函数为S38 000 4 000 x2400 000 x2，x(0,10 2)(2)因为x0，所以S 38 00024 000 x2400 000 x2118 000，当且仅当4 000 x2400 000 x2，即x10时取等号所以当x10 (0,102)时，Smin 118 000元故AD10米时，S有最小值 118 000元