（最新）圆锥曲线中的热点问题(总结的非常好).pdf

第 3 讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中1 直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若0，则直线与椭圆相交；若0，则直线与椭圆相切；若0时，直线与双曲线相交；当0 时，直线与双曲线相切；当b0)的离心率为63，右焦点(22，0)，斜率为1 的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积解(1)由已知得c22，ca63.解得a 23，又b2a2c24.所以椭圆G的方程为x212y241.(2)设直线l的方程为yxm.由yxm，x212y241.得 4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x10.由根与系数的关系得，x1x282bkk2，x1x2b2k2，因为x轴是PBQ的角平分线，所以y1x11y2x21，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0 将，代入得2kb2(kb)(8 2bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0)考点三圆锥曲线中的最值范围问题例 3(2013浙江)如图，点P(0，1)是椭圆C1：x2a2y2b21(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2y24 的直径l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程解(1)由题意得b1，a2.所以椭圆C1的方程为x24y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆C2：x2y24，故点O到直线l1的距离d1k21，所以|AB|24d224k23k21.又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由xkyk0，x24y2 4.消去y，整理得(4 k2)x28kx0，故x08k4k2.所以|PD|8k2 14k2.设ABD的面积为S，则S12|AB|PD|84k234k2，所以S324k23134k233224k23134k23161313，当且仅当k102时取等号所以所求直线l1的方程为y102x1.求最值及参数范围的方法有两种：根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上且C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：x1643y3061(1)求C1，C2的标准方程；(2)过点A(m,0)作倾斜角为6的直线l交椭圆C1于C，D两点，且椭圆C1的左焦点F在以线段CD为直径的圆的外部，求m的取值范围解(1)先判断出(6，0)在椭圆上，进而断定点(1，3)和(4，6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C1的方程为x26y221，抛物线C2的方程为y29x.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y33(xm)，由y33xmx26y221，消去y整理得 2x22mxm260，由0 得4m28(m26)0，即 23m0，又F(2,0)，即FCFD(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)y1y240.整理得m(m3)0，即m0.由可得m的取值范围是(23，3)(0,23)1 求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形2 定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果3 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.设直线l：yk(x1)与椭圆x23y2a2(a0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点(1)证明：a23k213k2；(2)若AC 2CB，求OAB的面积取得最大值时的椭圆方程(1)证明依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故yk(x1)可化为x1ky1.将x1ky1 代入x23y2a2，消去x，得 31k2y22yk1a20，由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得4k2 41k23(1 a2)0，整理得1k23a23，即a23k213k2.(2)解设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，得y1y22k1 3k2，因为AC2CB，得y1 2y2，代入上式，得y22k13k2.于是，OAB的面积S12|OC|y1y2|32|y2|3|k|13k23|k|23|k|32.其中，上式取等号的条件是3k21，即k33.由y22k1 3k2，可得y233.将k33，y233及k33，y233这两组值分别代入，均可解出a25.所以，OAB的面积取得最大值的椭圆方程是x23y25.(推荐时间：70 分钟)一、选择题1 已知方程x2k 1y23k1(kR)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是 ()Ak3 B1k1 Dk03k0k13k，解得 1k3)y291(x4)答案C解析如图|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6 的双曲线的右支，方程为x29y2161(x3)3 设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2)B0,2C(2，)D2，)答案C解析依题意得：F(0,2)，准线方程为y 2，又以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM|y02|，|FM|4，即|y02|4，又y00，y02.4 若点O和点F分别为椭圆x24y23 1 的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为()A2 B 3 C 6 D 8答案C解析设P(x0，y0)，则x204y2031，即y20 33x204，又因为F(1,0)，所以OPFPx0(x01)y2014x20 x0314(x0 2)22，又x0 2,2，即OPFP2,6，所以(OPFP)max6.5 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是()A(0，)B(13，)C(15，)D(19，)答案B解析设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1r1，PF2r2.由题意知r110，r2 2c，且r1r2,2r2r1，2c10，52c5?125c213.二、填空题6 直线ykx1 与椭圆x25y2m1 恒有公共点，则m的取值范围是 _答案m1 且m5解析方程x25y2m1 表示椭圆，m0 且m5.直线ykx1 恒过(0,1)点，要使直线与椭圆总有公共点，应有：02512m1，m1，m的取值范围是m1 且m5.7 设F1、F2为椭圆x24y21 的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，PF1PF2的值等于 _答案2解析易知当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大此时，F1(3，0)，F2(3，0)，不妨设P(0,1)，PF1(3，1)，PF2(3，1)，PF1PF2 2.8 已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy40，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为 _答案5221解析过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为A，交y轴于B，由抛物线方程为y24x得焦点F的坐标为(1,0)，准线为x 1，则由抛物线的定义可得d1d2|PA|AB|d2|PF|1d2，|PF|d2大于或等于焦点F点P到直线l，即|PF|d2的最小值为|1 04|2522，所以d1d2的最小值为5221.9(2013安徽)已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_答案1，)解析以AB为直径的圆的方程为x2(ya)2a，由yx2x2ya2a得y2(1 2a)ya2a0.即(ya)y(a 1)0，由已知a0a10，解得a1.三、解答题10已知直线x2y20 经过椭圆C：x2a2y2b2 1(ab0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x103分别交于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)求线段MN的长度的最小值解(1)如图，由题意得椭圆C的左顶点为A(2,0)，上顶点为D(0,1)，即a2，b 1.故椭圆C的方程为x24y2 1.(2)直线AS的斜率显然存在且不为0，设直线AS的方程为yk(x2)(k0)，解得M(103，16k3)，且将直线方程代入椭圆C的方程，得(1 4k2)x216k2x 16k240.设S(x1，y1)，由根与系数的关系得(2)x116k2414k2.由此得x128k214k2，y14k14k2，即S(28k214k2，4k14k2)又B(2,0)，则直线BS的方程为y14k(x2)，联立直线BS与l的方程解得N(103，13k)|MN|16k313k16k313k216k313k83.当且仅当16k313k，即k14时等号成立，故当k14时，线段MN的长度的最小值为83.11在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动点，已知点A(2，0)，B(2，0)，直线PA与PB的斜率之积为12.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证：直线MQ过x轴上一定点(1)解由题知：yx2yx212.化简得x22y21(y0)(2)证明方法一设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，y2)，l：xmy1，代入x22y21(y0)整理得(m22)y22my10.y1y22mm22，y1y2 1m22，MQ的方程为yy1y1y2x1x2(xx1)，令y0，得xx1y1x2x1y1y2my11my1y2y1y1y22my1y2y1y2 12.直线MQ过定点(2,0)方法二设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，y2)，l：yk(x 1)，代入x22y21(y0)整理得(1 2k2)x24k2x2k220，x1x24k212k2，x1x22k2212k2，MQ的方程为yy1y1y2x1x2(xx1)，令y0，得xx1y1x2x1y1y2x1kx11x2x1kx1x222x1x2x1x2x1x2 22.直线MQ过定点(2,0)12(2013课标全国)已知圆M：(x 1)2y21，圆N：(x 1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解(1)设圆P的半径为r，则|PM|1r，|PN|3r，|PM|PN|4|MN|，P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，左顶点除外，且 2a4,2c 2，a2，c1，b2a2c2 3.P的轨迹曲线C的方程为x24y231(x 2)(2)由(1)知：2r(|PM|PN|)2|MN|24，圆P的最大半径为r2.此时P的坐标为(2,0)圆P的方程为(x 2)2y24.当l的方程为x0 时，|AB|23，设l的方程为ykxb(k R)，|kb|1k21|2kb|1k22解之得：k24b2或k24b2.l的方程为y24x2，y24x2.联立方程x24y231y24x2化简：7x28x80 x1x287，x1x287，|AB|1k2x1x224x1x2187.