高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章导数及其应用1.3.3函数的最大(小)值与导数.pdf

1.3.3 函数的最大(小)值与导数明目标、知重点1理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系2会求某闭区间上函数的最值1函数f(x)在闭区间a，b 上的最值函数f(x)在闭区间a，b 上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得2 求函数yf(x)在a，b 上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值3在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值4极值与最值的意义：(1)最值是在区间a，b 上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间a，b 上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值情境导学 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题探究点一求函数的最值思考 1 如图，观察区间a，b 上函数yf(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？答f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数yf(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数yf(x)的极大值思考 2 观察思考 1 的函数yf(x)，你能找出函数f(x)在区间a，b 上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？答函数yf(x)在区间a，b 上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值小结一般地，如果在区间a，b 上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得思考 3 函数的极值和最值有什么区别和联系？答函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值小结求一个函数在闭区间上的最值步骤：1求导，确定函数在闭区间上的极值点2求出函数的各个极值和端点处的函数值3比较大小，确定结论例 1 求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x2,3；(2)f(x)12xsin x，x0,2 解(1)f(x)2x312x，f(x)6x2126(x2)(x2)，令f(x)0，解得x2或x2.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为(，2)，(2，)，单调递减区间为(2，2)因为f(2)8，f(3)18，f(2)82，f(2)82；所以当x2时，f(x)取得最小值 82；当x3 时，f(x)取得最大值 18.(2)f(x)12cos x，令f(x)0，又x0,2 ，解得x23 或x43.计算得f(0)0，f(2)，f(23)332，f(43)2332.当x0 时，f(x)有最小值f(0)0；当x2 时，f(x)有最大值f(2).反思与感悟(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得求出导数为零的点比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值(2)若函数在闭区间a，b 上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得跟踪训练 1 求下列函数的最值：(1)f(x)13x34x4，x0,3；(2)f(x)ex(3x2)，x2,5 解(1)f(x)13x34x4，f(x)x24.令f(x)0，得x12，x22.f(2)43，f(0)4，f(3)1，函数f(x)在 0,3 上的最大值为 4，最小值为43.(2)f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在区间 2,5 上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间 2,5 上单调递减，x2 时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5 时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.探究点二含参数的函数的最值问题例 2 已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程(2)求f(x)在区间 0,2 上的最大值解(1)f(x)3x22ax.因为f(1)32a3，所以a0.又当a0 时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 3xy20.(2)令f(x)0，解得x10，x22a3.当2a30，即a0时，f(x)在 0,2 上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a.当2a32，即a3 时，f(x)在 0,2 上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.当 02a32，即 0a3 时，f(x)在 0，2a3上单调递减，在2a3，2 上单调递增，从而f(x)max84a，0a2，0，2a2.反思与感悟由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化 所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解跟踪训练2 在本例中，区间0,2 改为 1,0 结果如何？解令f(x)0，解得x10，x223a，当23a0，即a0时，f(x)在1,0 上单调递增，从而f(x)maxf(0)0；当23a1，即a32时，f(x)在1,0 上单调递减，从而f(x)maxf(1)1a；当 123a0，即32a0 时，f(x)在 1，23a上单调递增；在23a，0 上单调递减，则f(x)maxf23a427a3.综上所述：f(x)max1a，a32，427a3，32a0 恒成立，只要f(x)的最小值大于 0 即可如f(x)0 恒成立，只要f(x)的最大值小于 0 即可以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数例 3 设函数f(x)2x39x212x8c，(1)若对任意的x0,3，都有f(x)c2成立，求c的取值范围(2)若对任意的x(0,3)，都有f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0.当x1 时，f(x)取极大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，x0,3 时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c9.c的取值范围为(，1)(9，)(2)由(1)知f(x)f(3)98c，98cc2即c1 或c9，c的取值范围为(，1 9，)反思与感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”跟踪训练3 设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230 得t1，t1(不合题意，舍去)当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)单调递增1m 单调递减对t(0,2)，当t1 时，g(t)max1m，h(t)2tm对t(0,2)恒成立，也就是g(t)0，对t(0,2)恒成立，只需g(t)max1m1.故实数m的取值范围是(1，)1函数yf(x)在a，b 上()A极大值一定比极小值大B极大值一定是最大值C最大值一定是极大值D最大值一定大于极小值答案D 解析由函数的最值与极值的概念可知，yf(x)在a，b 上的最大值一定大于极小值2函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值答案D 解析f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，则函数在区间2，上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin，故选 C.4函数f(x)x33x29xk在区间 4,4 上的最大值为 10，则其最小值为 _答案71 解析f(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0 得x3 或x1.又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.呈重点、现规律 1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值2求含参数的函数最值，可分类讨论求解3“恒成立”问题可转化为函数最值问题一、基础过关1函数f(x)x24x7，在x3,5 上的最大值和最小值分别是()Af(2)，f(3)Bf(3)，f(5)Cf(2)，f(5)Df(5)，f(3)答案B 解析f(x)2x4，当x3,5 时，f(x)e时，y0；当x0.y极大值f(e)1e，在定义域内只有一个极值，所以ymax1e.4函数y4xx21在定义域内()A有最大值 2，无最小值B无最大值，有最小值 2 C有最大值 2，最小值 2 D无最值答案C 解析令y4x21 4x2xx2124x24x2120，得x1.x(，1)1(1,1)1(1，)y00y 单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表可知x1 时，y取极小值也是最小值 2；x1 时，y取极大值也是最大值2.5 已知函数yx22x3 在区间a,2 上的最大值为154，则a等于()A32B.12C12D.12或32答案C 解析当a1 时，最大值为4，不符合题意，当1a0)y2t1t2t21t2t22t22t.当 0t22时，y22时，y0，可知y在此区间内单调递增故当t22时，|MN|有最小值9已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_答案(，2ln 2 2 解析函数f(x)ex2xa有零点，即方程 ex2xa0 有实根，即函数g(x)2xex，ya有交点，而g(x)2ex，易知函数g(x)2xex在(，ln 2)上单调递增，在(ln 2，)上单调递减，因而g(x)2xex的值域为(，2ln 2 2，所以要使函数g(x)2xex，ya有交点，只需a2ln 2 2 即可10已知函数f(x)2x36x2a在2,2 上有最小值37，求a的值及f(x)在2,2 上的最大值解f(x)6x212x6x(x2)，令f(x)0，得x0 或x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x 2(2,0)0(0,2)2 f(x)00 f(x)40a 单调递增极大值a 单调递减8a当x2 时，f(x)min40a37，得a3.当x0 时，f(x)的最大值为 3.11已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)(1)若函数f(x)在x1 和x3 处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x2,6 时，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范围解(1)f(x)3x22axb，函数f(x)在x1 和x3 处取得极值，1,3 是方程 3x22axb0 的两根1323a13b3，a3b9.(2)由(1)知f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9.当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)单调极大值单极小单调递递增c5 调递减值c27增而f(2)c2，f(6)c54，当x2,6 时，f(x)的最大值为c54，要使f(x)2|c|恒成立，只要c542|c|即可，当c0时，c5454；当c0 时，c542c，c18.参数c的取值范围是(，18)(54，)12已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间 2,2 上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值解(1)f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x1 或x3，函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，f(2)f(2)于是有 22a20，a2.f(x)x33x29x2.在(1,3)上f(x)0，f(x)在1,2 上单调递增又由于f(x)在2，1 上单调递减，f(2)和f(1)分别是f(x)在区间 2,2 上的最大值和最小值，f(1)13927，即f(x)最小值为 7.三、探究与拓展13已知函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2 时，f(x)kg(x)，求k的取值范围解(1)因为曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2)，所以bd2；因为f(x)2xa，故f(0)a4；g(x)ex(cxdc)，故g(0)2c4，故c2.从而a4，b2，c2，d2.(2)令F(x)kg(x)f(x)kex(2x2)x24x2，则F(x)(kex1)(2x4)，由题设可得F(0)0，故k1，令F(x)0 得x1ln k，x22，若 1ke2，则2x10，从而当x2，x1)时，F(x)0，即F(x)在2，)上最小值为F(x1)2x12x214x12x1(x12)0，此时f(x)kg(x)恒成立；若ke2，F(x)(ex21)(2x4)0 在2，)上恒成立，故F(x)在2，)上单调递增，因为F(x)minF(2)0，所以f(x)kg(x)恒成立；若ke2，则F(x)minF(2)2ke222e2(ke2)0，从而当x2，)时，f(x)kg(x)不可能恒成立综上所述k的取值范围为 1，e2