(最新资料)北京市中国人民大学附属中学2019届高三下学期第三次调研考试试题数学(文)【含解析】.pdf

北京市中国人民大学附属中学2019届高三下学期第三次调研考试试题数学（文）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知i为虚数单位，则232019iiii等于（）A.iB.1C.iD.1【答案】D【解析】【分析】利用)ninN（的周期求解.【详解】由于234110iiiiii，且)ninN（的周期为 4，2019=4 504+3，所以原式=2311iiiii.故选 D【点睛】本题主要考查复数的计算和)ninN（的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知集合(,)|2,Ax yxyx yN，则A中元素的个数为（）A.1 B.5 C.6 D.无数个【答案】C【解析】【分析】直接列举求出A和 A中元素的个数得解.【详解】由题得(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)A，所以 A中元素的个数为6.故选 C【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.易经是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有 2 根阳线和1 根阴线的概率为（）A.18B.14C.38D.12【答案】C【解析】【分析】先算任取一卦的所有等可能结果，再算事件恰有2 根阳线和1 根阴线的基本事件，从而利用古典概型的概率求解计算.【详解】先算任取一卦的所有等可能结果共8 卦，其中恰有2根阳线和1 根阴线的基本事件有3 卦，概率为38.故选：C.【点睛】本题以数学文化为问题背景，考查古典概型，考查阅读理解能力.4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为 1，则输出S的值为（）A.64 B.73 C.512 D.585【答案】B【解析】试题分析：运行程序，1S，否，2x，145S，否，4x，549S，否，8x，96473S，是，输出73S.考点：程序框图.【此处有视频，请去附件查看】5.某同学为了模拟测定圆周率，设计如下方案；点,D x y满足不等式组001xyxy，向圆221xy内均匀撒M粒黄豆，已知落在不等式组所表示的区域内的黄豆数是N，则圆周率为（）A.NMB.2NMC.2MND.2MN【答案】D【解析】分析】作出平面区域，根据黄豆落在区域内的概率列方程得出的值【详解】作出点D所在的平面区域如图所示：黄豆落在AOB 内的概率AOBOSNPSM圆，即12NM，故2MN故选：D【点睛】本题考查利用随机模拟求，考查几何概型的概率计算，属于中档题6.已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且ABCD，若平面SAD平面SBCl.现有以下四个结论：/AD平面SBC；/lAD；若E是底面圆周上的动点，则SAE的最大面积等于SAB的面积；l与平面SCD所成的角为45.其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用直线与平面的性质判断直线与平面平行，直线与直线的平行，三角形的面积的最值的求法，直线与平面所成角，判断选项的正误即可【详解】对，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且ABCD，若平面SAD平面SBCl，所以ABCD是正方形 所以/ADBC，BC平面SBC，所以/AD平面SBC；故正确；对，因为l，AD平面 SAD，l、BC平面SBC，/AD平面SBC，所以/lAD；故正确；对，若E是底面圆周上的动点，当90ASB时，则SAE的最大面积等于SAB的面积；当90ASB时，SAE的最大面积等于两条母线的夹角为90的截面三角形的面积，故不正确；对，因为/lAD，l与平面SCD所成的角就是AD与平面所成角，就是45ADB；故正确；综上所述正确的个数为3 个，故选：C.【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的综合应用、命题的真假的判断，考查转化与化归思想，考查空间想象能力.7.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，12PF F是以1PF为底边的等腰三角形，若110PF，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e，则21ee的取值范围是（）A.2(,)3B.4(,)3C.2(0,)3D.2 4(,)3 3【答案】A【解析】试题分析：设椭圆与双曲线的半焦距为1122cPFrPFr，利用三角形中边之间的关系得出c 的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c 的范围即可求出21ee的取值范围;设椭圆与双曲线的半焦距为1122cPFrPFr，由题意知12102rrc，且12212rrrr，210 2210ccc，552c,211212222222102525ccccccceearrccarrc双椭；，2212222225552531ccceecccc，故选 A考点：椭圆与双曲线离心率问题8.在数学史上，中国古代数学名著周髀算经、九章算术、孔子经、张邱建算经等，对等差级数（数列）231aadadadand和等比级数（数列）231naaqaqaqaq，都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵111213212223313233aaaaaaaaa中，每行的 3个数依次成等差数列，每列的 3 个数依次成等比数列，若224a，则这 9 个数和的最小值为（）A.64 B.94C.36 D.16【答案】C【解析】【分析】简 单 的 合 情 推 理、等 比 数 列、等 差 数 列 及 重 要 不 等 式 得：这9个 数 的 和 为443(44)342(4)36qqqq，得解【详解】由数阵111213212223313233aaaaaaaaa中，每行的3 个数依次成等差数列，每列的3 个数依次成等比数列，设12a，22a，32a的公比为q，因为224a，所以124aq，324aq，所以这 9 个数的和为443(44)342(4)36qqqq，即这 9 个数和的最小值为36，故选：C【点睛】本题考查等差数列和等比数列中项的性质、基本不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三个数成等比数列的设法.第二部分（非选择题共110 分）二、填空题：共6 小题，每小题5 分，共 30 分.9.若双曲线22221xyab的一条渐近线经过点(3,4)，则此双曲线的离心率为_【答案】【解析】双曲线22221xyab的渐近线方程为byxa，由渐近线过点3,4，可得34ba，即43ba，222216593cabaaa，可得53cea，故答案为53.10.若函数3212fxaxaxx为奇函数，则曲线yfx在点1,1f处的切线方程为_【答案】20 xy【解析】【分析】由函数fx是奇函数可得0a，得到函数解析式，则可得1f，再求fx在x1处的导函数即可得到切线斜率，根据点斜式写出切线方程即可.【详解】3212fxaxaxx为奇函数,则0a，32fxxx，232fxx，2 13 121f，又11f，曲线yfx在点1,1f处的切线方程为11yx,即20 xy.【点睛】本题考查导数几何意义的应用，由奇函数求得参数，得到函数解析式是本题解题关键.11.已知a，b，c分别是锐角ABC的角A，B，C所对的边，且2c，3C，若sinsin2sin 2CBAA，则a_；【答案】2 33【解析】【分析】利用三角函数恒等变换将条件进行化简得sin2sinBA，由正弦定理，得2ba，根据余弦定理解得a的值【详解】sinsin()2sin 2CBAA，由已知得sin()sin()4sincosABBAAA，又cos0A，sin2sinBA，由正弦定理，得2ba由2c，3C，根据余弦定理得：22222442ababaaa，解得：2 33a故答案为：2 33【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用、正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想12.数列na的前n项和为nS，且21nnS，则数列276nnnbaa的最小值为 _.【答案】6【解析】【分析】由已知求得12nna，再由配方法求数列276nnnbaa的最小值【详解】由21nnS，得111aS，当2n时，11121212nnnnnnaSS，11a适合上式，12nna则2272576()24nnnnbaaa当4na时2725()(4)624nminb故答案为6【点睛】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题13.已知抛物线220ypx p上有三个不同的点A，B，C，抛物线的焦点为F，且满足0FAFBFC，若边BC所在直线的方程为4200 xy，则p_；【答案】8【解析】【分析】将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合直线l与抛物线相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，结合根与系数的关系利用0FAFBFC，即可求得p值，从而解决问题【详解】由242002xyypx可得22200ypyp由0，有0p，或160p设1(B x，1)y，2(C x，2)y，则122pyy，1212(5)(5)10448yypxx设3(A x，3)y，抛物线的焦点为F，且满足0FAFBFC，112233(,)(,)(,)0222pppxyxyxy，12332pxxx，1230yyy，311108xp，32py，点A在抛物线上，211()2(10)28ppp，8p.故答案为：8【点睛】本题考查向量与解析几何问题的交会、抛物线的焦半径公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的坐标运算.14.若侧面积为4的圆柱有一外接球O，当球 O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_.【答案】6【解析】【分析】设圆柱的底面圆的半径为r，高为h，则球的半径222hRr（），由圆柱的侧面积，求得12hr，得出221Rrr，得到R得最小值，进而求得圆柱的表面积.【详解】由题意，设圆柱的底面圆的半径为r，高为h，则球的半径222hRr（）.因为球体积343VR，故V最小当且仅当R最小.圆柱的侧面积为24rh，所以2rh，所以12hr，所以2212Rrr，当且仅当221rr时，即1r时取“=”号，此时R取最小值，所以12rh，,圆柱的表面积为221 26.【点睛】本题主要考查了球的体积公式，以及圆柱的侧面公式的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，得出求得半径和圆柱的底面半径的关系式，求得圆柱的底面半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.如图所示，正三角形ABC的边长为 2，,D E F分别在三边,AB BC和CA上，D为AB的中点，90,090EDFBDE（）当3tan2DEF时，求的大小；（）求DEF的面积S的最小值及使得S取最小值时的值【答案】（）60（）当45时，S取最小值63 32【解析】试题分析：本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问，在EDF中，3tan2DFDEFDE，而在DBE中，利用正弦定理，用表示DE，在ADF中，利用正弦定理，用表示DF，代入到式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出tan，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的DF和DE代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S的最小值试题解析：在BDE中，由正弦定理得000sin603sin(120)2sin(60)BDDE，在ADF中，由正弦定理得000sin603sin(30)2sin(30)ADDF 由3tan2DEF，得00sin(60)3sin(30)2，整理得tan3，所以60（2）12SDE DF00338sin(60)sin(30)2(3cossin)(cos3sin)223323(cossin)4sincos 2(32sin 2)当45时，S取最小值363 322(32)考点：1正弦定理；2两角和的正弦公式；3倍角公式【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、两角和的正弦公式、同角的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式和三角形的面积公式，解题时一定要注意对公式的正确使用，否则很容易失分高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式16.在数列 an 中，a12，an是 1 与anan+1的等差中项（1）求证：数列11na是等差数列，并求an的通项公式（2）求数列 21nn a 的前n项和Sn【答案】（1）证明见解析，an11n；（2）Sn1nn【解析】【分析】（1）由等差数列的中项性质和等差数列的定义、通项公式可得所求；（2）求得2111111nn an nnn，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和【详解】（1）a1 2，an是 1 与anan+1的等差中项，可得 2an1+anan+1，即an+121nnaa，an+111nnaa，可得11111nnaa1，可得数列 11na 是首项和公差均为1 的等差数列，即有11nan，可得an 11n；（2）2111111nn an nnn，则前n项和Sn1111112231nn1111nnn【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意变形和等差数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题17.某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯式水价计量方法，具体如下；第一阶梯，每户居民每月用水量不超过12 吨，价格为4 元/吨；第二阶梯，每户居民用水量超过12 吨，超过部分的价格为 8 元/吨，为了了解全是居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了100 户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照0 22 41416，（全市居民月用水量均不超过16 吨）分成8 组，制成了如图1所示的频率分布直方图.(）求频率分布直方图中字母a的值，并求该组的频率；（）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数m的值（保留两位小数）；（）如图2 是该市居民张某2016 年 16 月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是233.yx若张某 2016 年 17 月份水费总支出为312 元，试估计张某7 月份的用水吨数.【答案】（1）0.10.a第四组的频率为0.2（2）8.15（3）15【解析】试题分析：（）根据小长方形的面积之和为1，即可求出a；（）由频率分布直方图估计样本数据的中位数，规律是：中位数，出现在概率是0.5 的地方；（）根据回归方程即可求出答案.详解：（）0.020.040.080.130.080.030.02)21a（，0.10.a第四组的频率为：0.1 20.2.（）因0.0220.0420.0820.1028)0.130.5,m（所以0.50.4888.15.0.13m（）17123456,62x且233,yx723340.2y所以张某7月份的用水费为312-6 4072.设张某 7 月份的用水吨数x吨，12 4487212412)872,15.xx（则张某 7 月份的用水吨数15 吨.点睛：这个题目考查了频率分布直方图的应用，方图中求中位数的方法，即出现在概率是0.5 的地方，以及回归方程的求法，在频率分布直方图中求平均值，需要将每个长方条的中点值乘以相应的概率值相加即可.18.已知四棱台1111ABCDA B C D的上下底面分别是边长为2和4的正方形，14AA且1AA底面ABCD，点P为1DD的中点.（1）求证：1AB平面PBC；（2）在BC边上找一点Q，使/PQ平面11A ABB，并求三棱锥1QPBB的体积.【答案】(1)证明见解析.(2)1BBPQV6.【解析】分析：(1)取1AA中点M，由平几相似得1BMAB，再由1AA底面ABCD得1AABC，又BCD是正方形，有ABBC，因此BC平面11ABB A，即得1BCAB，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2)在BC边 上 取 一 点Q，使3BQ，由 平 几 知 识 得 四 边 形PMBQ是 平 行 四 边 形，即 有/PQBMPQ，平面11A ABB.设1ABBMN，由（1）得1B N为高，最后根据锥体体积公式求结果.详解：（1）取1AA中点M，连结BM，PM，在/PMADBC，BM平面PBC.1AA面ABCD，BC面ABCD，1AABC，ABCD是正方形，ABBC，又AB平面11ABB A，1AA平面11ABB A，1ABAAA，BC平面11ABB A，1AB平面11ABB A，1BCAB.14ABAA，1190BAMB A A，112AMB A，11ABMA AB，11MBAB AA，11190BABB AA，190MBABAB，1BMAB，BM平面PBC，BC平面PBC，BMBCB，1AB平面PBC.（2）在BC边上取一点Q，使3BQ，PM为梯形11ADD A的中位线，112A D，4AD，3PM，/PMAD，又/BQAD，/PMBQ，四边形PMBQ是平行四边形，/PQBM，又BM平面11A ABB，PQ平面11A ABB，/PQ平面11A ABB.BC平面11ABB A，BM平面11ABB A，BQBM，14ABAA，112AMA B，12 5BMAB，设1ABBMN，则4 55AB AMANBM.116 55B NABAN.1113BBPQBPQVSB N116 532 56325.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19.已知()lnxf xeaxa，（其中常数0a）（1）当ae时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()yf x有两个零点1212,0()x xxx，求证：1211xxaa.【答案】（1）()f x 有极小值(1)0f，无极大值；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出ae的函数的导数，求出单调区间，即可求得极值；（2）先证明：当f（x）0 恒成立时，有0ae成立若10 xe，则f（x）exa（lnx+1）0 显然成立；若1xe，运用参数分离，构造函数通过求导数，运用单调性，结合函数零点存在定理，即可得证.【详解】函数fx的定义域为0,，（1）当ae时，lnxfxee xe，xefxex，xefxex在0,单调递增且10f当01x时，10fxf，所以fx在0,1上单调递减；当1x时，10fxf，则fx在1,上单调递增，所以fx有极小值10f，无极大值.（2）先证明：当0fx恒成立时，有0ae成立若10 xe，则ln10 xfxeax显然成立；若1xe，由0fx得1lnxeax，令1lnxeg xx，则21ln11lnxexxgxx，令11ln1()h xxxxe，由2110hxx得h x在1,e上单调递增，又10h，所以g x在1,1e上为负，递减，在1,上为正，递增，min1gxge，从而0ae.因而函数yfx若有两个零点，则ae，所以10fea，由ln()afaea aa ae得ln2afaea，则1110aafaeeeaee，ln2afaea在,e上单调递增，2330afafeee，lnafaeaaa在,e上单调递增2220ef af eeeee，则10ffa21xa，由ae得111111lnlnln0aaaafeaaeaaaeaeaeaa，则110ffa，111xa，综上1211xxaa.【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题20.如图，抛物线C：220 xpy p的焦点为F，以111,0A x yx为直角顶点的等腰直角ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线C上.（1）过0,3Q作抛物线C的切线l，切点为R，点F到切线l的距离为2，求抛物线C的方程；（2）求ABC面积的最小值.【答案】（1）24xy（2）24 p【解析】【分析】（1）设出过点Q的抛物线C的切线l的方程，联立抛物线C的方程，消去y得关于x的方程，利用0以及F到切线l的距离，求出p的值即可；（2）由题意设直线AB的方程，联立抛物线方程，得关于x的方程，利用根与系数的关系，以及|ABAC，求得ABC面积的最小值【详解】（1）过点0,3Q的抛物线C的切线l：3ykx，联立抛物线C：220 xpy p，得2260 xpkxp，224460p kp，即26pk.0,2pF，F到切线l的距离为23221pdk，化简得226161pk，216666161pppp，0p，60p，得2616820pppp，2p，抛物线方程为24xy.（2）已知直线AB不会与坐标轴平行，设直线AB：110yyt xxt，联立抛物线方程得211220 xptxp txy，则12Bxxpt，12Bxptx，同理可得12Cpxxt；ABAC，即2112111BCtxxxxt，11BCt xxxx，即2111p ttxt，211BABtxx21122tptx221121ttpt t.212tt（当且仅当1t时，等号成立），2222221112121112tttttttt（当且仅当1t时等号成立），故2 2ABp，ABC面积的最小值为24p.【点睛】本题考查抛物线的切线方程、直线与抛物线的位置关系、韦达定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意基本不等式应用时要验证等号成立的条件.