(最新资料)江苏省南京市2019-2020学年高二上学期期中考试试题数学【含答案】.pdf

江苏省南京市2019-2020 学年高二上学期期中考试试题数学参考公式：线性回归方程ybxa；回归系数bni 1xiyinxyni 1xi2nx2，aybx；球的表面积S4R2，其中R为球的半径一、选择题：本题共12 小题，每小题4 分，共计48 分其中第1 至第 10 题为单选题，第11、12 题为多选题1若直线ax2y10 与直线x2y20 互相垂直，则实数a的值是A1 B 1 C4 D 4 2已知向量a(0，1，1)，b(1，2，1)若向量ab与向量c(2，m，4)平行，则实数m的值是A2 B 2 C10 D 10 3在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2y221 的渐近线方程是Ay2x By22x Cy3x Dy33x4为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5 户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.3 8.5 10 11.2 12 支出y（万元）6 7.5 8 8.5 10 根据上表可得x 10，y8，线性回归方程y0.76xa据此估计，该社区一户年收入为20 万元家庭年支出为 A15.2 万元 B15.6 万元 C 16 万元 D16.2 万元5如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为 2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为A323 B16C8 D4（第 5 题图）O（第 6 题图）A B C D M N 6如图，在四面体ABCD中，点M是棱BC上的点，且BM 2MC，点N 是棱AD的中点 若MNx ABy ACz AD，其中x，y，z为实数，则xyz的值是A19 B18 C19 D187在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P(1，2)，且被圆O：x2y29 截得的弦长为42，则直线l的方程为A3x4y50 B 3x4y110 Cx1 或 3x4y50 Dx1 或 3x4y110 8已知 cos(4)1010，则 sin2的值是A45 B25 C25 D459在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点，交抛物线于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为3，则线段AB的长为 A6 B7 C8 D10 10 在 平 面直 角 坐 标系xOy中，已 知点P(4，0)，点A，B在 双曲 线C：x24y2 1 上，且AP3PB，则直线AB的斜率为A32 B52 C1 D 32注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意全部选对得4 分，选对但不全的得2 分，错选或不答的得 0 分11已知两条直线l，m及三个平面，下列条件中能推出的是 A.l，l Bl，m，lm C，Dl，m，lm12在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点F1(1，0)和F2(1，0)的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则A曲线E经过坐标原点 B曲线E关于x轴对称C曲线E关于y轴对称 D若点(x，y)在曲线E上，则 3x3 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：x23y21 的焦距为若双曲线C的右焦点与抛物线y22px(p 0)的焦点重合，则实数p的值为14在平面直角坐标系xOy中，若椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E的离心率是15我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是：每个大于2 的偶数可以表示为两个质数的和，如14311在不超过 15 的质数中，随机选取2 个不同的数，其和不等于 16 的概率是1 6 已 知 四 棱 柱ABCDA1B1C1D1的 底 面ABCD是 矩 形，底 面 边 长 和 侧 棱 长 均 为2，A1ABA1AD 60，则对角线AC1的长为三、解答题：本题共6 小题，共82 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 12(acosCccosA)13bcosB（1）求 cosB；（2）若ac15，且ABC的面积为5，求b的值18（本小题满分12 分）某家庭记录了未使用节水龙头30 天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头30 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（一）未使用节水龙头30 天的日用水量频数分布表日用水量0.2，0.30.3，0.40.4，0.50.5，0.60.6，0.7 频数2 3 8 12 5（二）使用了节水龙头30 天的日用水量频数分布表日用水量0.1，0.20.2，0.30.3，0.40.4，0.50.5，0.6 频数2 5 11 6 6（1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4 m3的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）19（本小题满分14 分）如图，已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，且PABPDC90（1）求证：AB平面PAD；（2）若点E，F分别是棱PD，BC的中点，A C D E F P 求证：EF平面PAB20（本小题满分14 分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC2，BAC120，AA13（1）点D在棱AA1上，且BDA1C，求AD的长；（2）求二面角CA1B1B的大小21（本小题满分14 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e53 过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且ABF2的周长为125（1）求椭圆C的方程；（2）若点A位于第一象限，且AF1AF2，求ABF2的外接圆的方程22（本小题满分16 分）在平面直角坐标系xOy中，点A(2，0)，过动点P作直线x 4 的垂线，垂足为M，且AMAP4记动点P的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）过点A的直线l交曲线E于不同的两点B，C 若B为线段AC的中点，求直线l的方程；设B关于x轴的对称点为D，求ACD面积S的取值范围（第 20 题图）A C B D A1 C1 B1答案一、选择题：1 D 2 A 3 A 4 B 5 B 6 C 7 C 8 D 9 C 10 B11ABC 12 BCD 二、填空题：134；4 1422151315 1625 三、解答题：17（本小题满分12 分）解：（1）因为 12(acosCccosA)13bcosB，由正弦定理asinAbsinBcsinC得 12(sinAcosCsinCcosA)13sinBcosB，2 分因此 12sin(AC)13sinBcosB 4 分在ABC中，ABC，所以12sin(B)13sinBcosB，于是 12sinB13sinBcosB，因为B(0，)，所以 sinB0，所以 cosB1213 6 分（2）由（1）知 cosB1213，sinB0，所以 sinB1cos2B513 8 分因为ABC的面积为5，即SABC12acsinB5，所以526ac5，即ac26 10 分又因为ac15，所以b2a2c22accosBa2c22413ac(ac)25013ac152501326125，因此b55 12 分18（本小题满分12 分）解：（1）根据表格（二），估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4m3的频数为251118，2 分所以所求的概率约为18300.6，即该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.4m3的概率的估计值为0.6 5 分（2）该家庭未使用节水龙头30 天日用水量的平均数为x1130(2 0.25 30.35 80.45 120.55 50.65)0.5；8 分该家庭使用了节水龙头后30 天日用水量的平均数为x2130(2 0.15 50.25 11 0.35 60.45 60.55)0.38；10 分x1x20.5 0.38 0.12 因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为0.12 m3 12 分19（本小题满分14 分）证明：（1）在四棱锥PABCD中，因为PABPDC90，所以ABPA，DCPD 2 分又因为四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，所以ABDC，所以ABPD 4 分因为PAPDP，PA，PD平面PAD，所以AB平面PAD 6 分（2）如图，取AD的中点G，连EG，GF在PAD中，因为E是棱PD的中点，所以EGPA又EG平面PAB，PA平面PAB，所以EG平面PAB 8 分在平行四边形ABCD中，G，F分别是棱AD，BC的中点，所以AGBF12BC，AGBF，所以四边形ABFG是平行四边形，所以FGBA又FG平面PAB，AB平面PAB，所以FG平面PAB 11 分因为EGFGG，EG，FG平面EFG，所以平面EFG平面PAB又EF平面EFG，所以EF平面PAB 14 分20（本小题满分14 分）解：（1）如图，在ABC中，过A作AB的垂线交BC于E在直三棱锥ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，所以AA1AB，AA1AE分别以AE，AB，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz 2 分A B C D E F P（第 19 题图）G x y z（第 20 题图）A C B D A1 C1 B1E 因为ABAC2，BAC120，AA13，所以C(3，1，0)，B(0，2，0)，A1(0，0，3)4 分因为点D在棱AA1上，设D(0，0，a)，则BD(0，2，a)，A1C(3，1，3)因为BDA1C，所以 23a0，解得a23所以AD23 6 分（2）平面ABB1A1的一个法向量为n1(1，0，0)又B1(0，2，3)，所以CA1(3，1，3)，CB1(3，3，3)设平面A1B1C的一个法向量为n2(x，y，z)，由n2CA1，n2CB1，得3xy 3z0，3x3y3z0，所以y0取x3，则z1，所以平面A1B1C的一个法向量为n2(3，0，1)10 分|n1|1，|n2|2，n1n23，所以 cosn1，n2n1n2|n1|n2|32，12 分又n1，n2 0，从而n1，n26根据图形可知，二面角CA1B1B大小的为614 分21（本小题满分14 分）解：（1）因为椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率e53，所以ca53 又ABF2的周长为 125，所以 4a125 联立，解得a35，c5，从而b2a2c2 20，因此椭圆C的方程为x245y2201 4 分（2）因为点A位于第一象限，故设A(x1，y1)，其中x10，y10因为AF1AF2，所以AF1AF20，又点A在椭圆C上，所以x1245y12201，x12y12 25，解得x129，从而x13，y14 7 分由（1）知，椭圆C的左焦点为F1(5，0)，所以直线l的方程为y12(x5)由y12(x5)，x245y2201，得 5x2 18x990，解得x3 或335所以B(335，45)11 分因为F1AF290，所以ABF2的外接圆就是以BF2为直径的圆又椭圆C的右焦点为F2(5，0)，所以线段BF2的中点M的坐标为(45，25)，此时MF2135，故ABF2的外接圆的方程为(x45)2(y25)21695 14 分22（本小题满分16 分）解：（1）设P(x，y)，则M(4，y)因为A(2，0)，所以AM(2，y)，AP(x2，y)，因为AMAP 4，所以 2x4y2 4，即y22x所以曲线E的方程为y2 2x 3 分（2）若直线l的斜率不存在，则l与曲线E无公共点，因此l的斜率存在；若l的斜率为0，则l与曲线E只有一个公共点，因此l的斜率不为0设l：yk(x2)，k0，由yk(x2)，y22x，得y22ky40，于是?4k2160，解得12k12且k0设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则y1y22k，y1y24 7 分因为B为线段AC的中点，所以y22y1又y1y22k，所以y123k，y243k，因此y1y289k24，所以k23，符合12k12且k0，于是k23，此时直线l的方程为y23(x2)9 分 因为点B，D关于x轴对称，所以D(x1，y1)，于是点D到直线l的距离为d|kx1y12k|1k2因为y1k(x12)，所以d2|y1|1k2 11 分又AC1k2|x22|，所以S121k2|x22|2|y1|1k2|(x22)y1|(y2222)y1|因为y1y24，y1y22k，所以S|2y22y1|4|k|14 分又因为12k12且k0，因此S8，即ACD面积S的取值范围为(8，)16 分