2020届江西省上饶市六校高三一模(4月)数学(文)试题(解析版).pdf

第 1 页 共 20 页2020届江西省上饶市六校高三一模（4 月）数学（文）试题一、单选题1已知集合1,2,1A，集合2,By yxxA则ABI（）A1B1,2,4C1,1,2,4D1,4【答案】A【解析】算出集合B，再与集合A 求交集即可.【详解】由已知，1,4B，故ABI1.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，是一道基础题.2若复数()R1aiia为纯虚数，则3ai（）A13B13C10D10【答案】D【解析】将复数标准化为i1(1)i=1i2aaa，根据题意得到a，再利用模长公式计算即可.【详解】由已知，i(i)(1i)1(1)i=1i(1i)(1i)2aaaa，故1a，所以3i3ia10.故选：D.【点睛】本题考查复数除法、复数模的运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.3函数21 cos1xfxxe图象的大致形状是（）AB第 2 页 共 20 页C D【答案】B【解析】利用奇偶性可排除A、C；再由(1)f的正负可排除D.【详解】21e1 coscos1e1exxxfxxx，1ecos()1exxfxxe1cose1xxx()f x，故()f x 为奇函数，排除选项A、C；又1e(1)cos101ef，排除 D，选B.故选：B.【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题.4给出以下命题已知命题2:R,10pxxx，则：2000:R,10pxxx；已知Rabc，ab 是22acbc的充要条件；命题“若1sin2，则6的否命题为真命题”.在这 3 个命题中，其中真命题的个数为（）A0 B 1 C2 D3【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题可判断；用定义法去论证；由否命题与逆命题同真假可判断.【详解】命题2:R,10pxxx，则2000:R,10pxxx，故 正确；当0c=时，由ab不能推出22acbc，反过来，22acbc能推出 ab，所以，ab 是22acbc的必要不充分条件，故错误；“若1sin2，则6的否命题与其逆命题同真假，而若第 3 页 共 20 页1sin2，则6的逆命题为若6，则1sin2，显然成立，故正确.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到全称命题的否定、充分条件、必要条件、否命题等知识，是一道基础题.5 设函数2logfxx，若3log 2af，5log 2bf，0.22cf，则abc，的大小关系为（）AabcBbcaCcabDbac【答案】D【解析】5log 20.23log 212，利用()f x 的单调性即可得到答案.【详解】因为0.20221，22log 5log 31，521log 2log 5，321log 2log 3，故5log 23log21，又2logfxx在(0,)单调递增，所以，5log 2f3log 2f0.22f.故选：D.【点睛】本题考查利用函数单调性比较式子大小，涉及到换底公式的应用，是一道容易题.6已知非零向量ar，br满足ak bvv，且babrrr，若ar，br的夹角为23，则实数k的值为（）A4B3C2D12【答案】C【解析】0babrrr20b abrrr，再利用数量积的定义计算即可.【详解】由babrrr，得0babrrr，即22|cos|03abbrrr，又|ak brr，所以221|02k bbrr，解得2k.第 4 页 共 20 页故选：C.【点睛】本题考查平面向量数量积运算，考查学生基本的计算能力，是一道基础题.7甲、乙两班在我校举行的“不忘初心，牢记使命”合唱比赛中，7 位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数,a b满足：,x a b y成等比数列，则2ab的最小值为（）A6B8C2 2D4 2【答案】D【解析】由中位数、平均数可得x，y 的值，再由,x a b y成等比数列得到4abxy，最后利用基本不等式可得2ab的最小值.【详解】甲班成绩的中位数是81，故1x，乙班成绩的平均数是86，则768082(80)919396867y，解得4y，又,x a b y成等比数列，故4abxy，所以，22 242abab，当且仅当2,22ab时，等号成立.故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值的问题，涉及到茎叶图、中位数、平均数等知识，是一道容易题.8若双曲线2222:10,0 xyCabab的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为2 2，则双曲线C的离心率为（）A2B3C2D2 33【答案】C 第 5 页 共 20 页【解析】由题意算得圆心到渐近线的距离，利用垂径定理与勾股定理即可建立起,a b c的方程.【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为0bxay，不妨设，0bxay被圆2224xy所截得的弦长为2 2，圆的半径为r，故圆心到渐近线的距离为22222(2)2brab，所以ab，故双曲线C的离心率为21()2bea.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率，涉及到点到直线的距离、弦心距等知识，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.9在ABCV中，角A、B、C的对边分别是abc，且面积为S，若coscos2 cosbCcBaA，22214Sbac，则角B等于（）A2B512C712D3【答案】B【解析】由coscos2 cosbCcBaA可得到角A，由in12sSabC及22214Sbac得到角 C，再利用ABC计算即可得到答案.【详解】由正弦定理及coscos2 cosbCcBaA，得sincossincos2sincosBCCBAA，即sin2sinc s(o)BCAA，又sin()sinBCA，所以1cos2A，又(0,)A，故3A；又22214Sbac，所以1sin2abC22214bac，从而222sincos2bacCCba，所以tan1C，4C=，故512BAC.第 6 页 共 20 页故选：B.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到三角形面积公式的选取，公式变形等处理，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.10已知三棱锥ABCD中，CD平面ABC，Rt ABCV中两直角边5AB，3AC，若三棱锥的体积为10，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A50B25C252D254【答案】A【解析】将其置入长方体中，由三棱锥的体积为10，得到 CD 的长，从而进一步得到长方体体对角线（外接球直径）的长.【详解】将三棱锥置入长方体中，如图所示由已知，5AB，3AC，所以11531032A BCDDABCVVCD，解得4CD，所以222225345 2BDBCCD，所以三棱锥的外接球的半径为5 22R，故外接球表面积为2450R.故选：A.【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，在涉及比较特殊的三棱锥外接球问题时，通常考虑能否将其置入正方体或长方体中来求解，本题是一道中档题.第 7 页 共 20 页11已知函数2sin0,2fxx，过点,012A，,23B，当5,12 12x，2cos 43g xmfxx的最大值为9，则m的值为（）A2B52C2和52D2【答案】B【解析】由图可得2sin26fxx，所以()4sin 26g xmx212sin26x，令sin20,16xt，转化为求2241ytmt的最大值问题.【详解】由已知，43124T，所以2T，2，又()23f，|2，所以sin(2)13，6，故2sin26fxx，所以2cos 43g xmfxx4sin26mx212sin26x，因5,12 12x，所以220,63x，sin 20,16x，令sin 26xt，则0,1t，故2241ytmt，若0m，易得max1y，不符合题意；若01m，易得2max129ym，解得2m（舍）；若m1，易得max419ym，解得52m.故选：B.第 8 页 共 20 页【点睛】本题考查已知正弦型函数的最大值求参数的问题，涉及到由图象确定解析式、二次函数最值等知识，是一道有一定难度的题.12已知函数211xfxxemxm m，若有且仅有两个整数使得0fx，则实数m的取值范围是（）A235,23eeB258,23eeC215,23eD51,2e【答案】A【解析】先将问题转化为()e(21)xg xx的图象上有且仅有两个的整数点低于(1)ymx的图象或在其上的问题，然后再通过求导作出两个函数的图象，数形结合即可得到.【详解】由题意，有且仅有两个的整数，使得0fx，即e21xxmmx，令()e(21)xg xx，则()e(21)xg xx，易知()g x在1(,)2单调递增，在1(,)2单调递减，作出()g x与(1)(1)ym xm的图象，如图所示只需(0)(1)(1 1)(2)(21)fmfmfm，解得2352e3em.故选：A.【点睛】本题考查导数在不等式中的运用，涉及了转化与化归的思想以及数形结合的思想，有一第 9 页 共 20 页定难度及高度，是一道较好的压轴选择题.二、填空题13函数cosxfxex在点0,0f处的切线方程为_.【答案】10 xy【解析】求出导函数，得(0)f，即切线斜率，然后可得切线方程【详解】由题意()cossinxxfxexex，(0)1f，又(0)1f，所求切线方程为1yx，即10 xy故答案为10 xy【点睛】本题考查导数的几何意义，函数()f x 在点00(,()xf x处的切线方程是000()()()yf xfxxx14设变量x，y满足约束条件2040440 xyxyxy，则11yx的最大值是 _.【答案】2【解析】画出可行域，11yx表示点(,)x y 与(1,1)A连线的斜率问题，数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示11yx表示点(,)x y 与(1,1)A连线的斜率问题，又()1,3B，所以3(1)21(1)ABk，第 10 页 共 20 页故max121ABykx.故答案为：2.【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，通常采用式子所表示的几何意义计算，本题是一道基础题.15已知等比数列na的公比不为1，且na前n项和为nS，若满足2a，52a，83a 成等差数列，则36SS_.【答案】34【解析】由54a2a83a可得公比q，将其代入36SS311q中即可.【详解】由已知，54a2a83a，所以4743qqq，解得313q或31q（舍），所以36SS31631(1)131(1)141aqqaqqq.故答案为：34.【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，考查学生的运算求解能力，是一道基础题.16如图，在矩形OABC与扇形OCD拼接而成的平面图形中，3OA，5AB，6COD，点E在弧CD上，F在AB上，3EOF.设FOCx，则当平面区域OECBF（阴影部分）的面积取到最大值时cos x_ 第 11 页 共 20 页【答案】45【解析】先将阴影部分的面积表示为251915(25)62 tanxx，9()25tanh xxx，只需求使得()h x取最小值的0 x即可得到答案.【详解】由已知，0,3x，03tan5，易得扇形EOC的面积为212525()52362xx，四边形OCBF的面积为133 532tanx，故阴影部分的面积为251915(25)62 tanxx，设9()25tanh xxx，则2229sin9cos()25sinxxh xx2(4sin3cos)(4sin3cos)sinxxxxx，令()0h x，得33tan,345x，记其解为0 x，并且()h x在00,x上单调递减，在0,3x单调递增，所以()h x得最小值为0()h x，阴影部分的面积最大值为251560()h x，此时03tan4x，02014coscos51tanxxx.故答案为：45.【点睛】本题考查三角函数在平面几何中的应用，涉及到利用导数求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道有一定难度的题.三、解答题第 12 页 共 20 页17已知等差数列na的前n项和为nS，且535S，21aa，42aa，12aa成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）若11Nnnnbna a，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan（2）69nnTn【解析】（1）利用等差数列基本量计算即可；（2）11122123bnnn，利用裂项相消法求前n 项和.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，由题意，12154535242adddad，解得：13a，2d.32121nann；（2）111111212322123nnbna annnn，11111111112 35572123232369nnTnnnn.【点睛】本题考查等求差数列通项公式以及裂项相消法求数列的前n 项和，考查学生的运算能力，是一道基础题.18如图所示，在四棱锥SABCD 中，290BADCDACBDABD，平面SBD平面ABCD，且SBDV为边长为2的等边三角形，过S作/ST BD，使得四边形STDB为菱形，连接TA，TD，TC.第 13 页 共 20 页（1）求证：DS平面TBC；（2）求多面体ABCDTS的体积.【答案】（1）证明见解析（2）62【解析】（1）DS平面TBC，只需证明CBDS，DSBT即可；（2）利用割补法求解，即ABCDTSA STDBC BSTDVVV.【详解】（1）证明：90CBD，CBBD，又平面SBDI平面ABCDBD，平面SBD平面ABCD，故CB平面SBD；又SD平面SBD，故CBDS；又四边形STDB为菱形；DSBT，CBBTB,DS平面TBC.（2）由已知，2BD，所以1ADAB，2BC，132222322BSTDBDSSS由（1）知CB平面SBDT，由平面SBD平面ABCD可知点 A 在平面SBDT的投影落在交线BD 上，在直角三角形DAB 中，45oADB，所以点 A 到平面SBDT的距离为22，12623322ABCDTSA STDBCBSTDVVV.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及不规则几何体积的求法，在求不规则几何的体积时，通常是采用割补法，是一道容易题.19环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数2.5PM浓第 14 页 共 20 页度，制定了空气质量标准：空气污染质量0,5050,100100,150150,200200,300300,空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从 2010 年开始考查了连续六年11 月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从 2016 年 11 月 1 日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号为字母的，前13 个视为单号，后13 个视为双号）.（1）某人计划11 月份开车出行，求因空气污染被限号出行的概率；（2）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行三年来的11月份共90 天的空气质量进行统计，其结果如表：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数1639181052根据限行前六年180 天与限行后90 天的数据，计算并填写22列联表，并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.空气质量优良空气质量污染合计限行前限行后合计参考数据：第 15 页 共 20 页20P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050k2.0722.7063.8415.0246.6357.87922n adbcKabcdacbd其中nabcd【答案】（1）0.05（2）计算及填表见解析；有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关【解析】（1）利用每个小矩形的面积和为1 即可求得答案；（2）利用公式22n adbcKabcdacbd计算即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知，空气重度污染和严重污染的概率应为10.0030.0040.0050.006500.1，所以某人因空气污染被限号出行的概率为0.05.（2）限行前六年180 天中，空气质量优良的天数为180(0.0060.004)5090.列联表如下：空气质量优、良空气质量污染合计限行前90 90 180 限行后55 35 90 合计145 125 270 由表中数据可得22270903590552.9792.70618090145 125K.所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.【点睛】本题考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，考查学生识图及数据处理的能力，是一道容易题.20己知抛物线2:20C ypx p的焦点为F，P为抛物线上一点，当P的横坐标第 16 页 共 20 页为1时，32PF.（1）求抛物线C的方程；（2）已知过定点,0M m的直线:lxkym 与抛物线C相交于AB，两点.若2211AMBM恒为定值，求m的值.【答案】（1）22yx（2）1m【解析】（1）利用抛物线的定义可得3122p，所以有1p；（2）设1122(,)(,)A x yB x y，联立直线与抛物线方程得到根与系数的关系，又2211AMBM212122221221yyy yky y，代入化简即可.【详解】（1）抛物线C的准线方程为2px，焦点,02pF当P的横坐标为1 时，32PF3122p，解得1p 抛物线C的方程为22yx（2）设1122(,)(,)A x yB x y，由直线l的方程为xkym与抛物线2:2Cyx联立，消去x得：2220ykym，则122y ym，122yyk，2480km，11xkym，22xkym，222222222212112211111111kykyxmyxmyAMBM222221212122222222222121224411141yyy yyykmkmky yky ykmkm，对任意Rk恒为定值，第 17 页 共 20 页当1m时，此时22111AMBM，1m，且满足，符合题意.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到抛物线中的定值问题，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力，是一道中档题.21已知函数lnfxxx，212gaxaxx，1xh xmxe.（1）讨论F xg xfx的单调性：（2）若不等式h xfx对任意(0,)x恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）见解析（2）m1【解析】（1）110axxFxxx，分0a，0a两种情况讨论；（2）不等式h xfx对任意0()x恒成立，转化为ln1xxxmxe对任意0()x恒成立，令ln1xxxG xxe，只需求出()G x的最大值即可.【详解】（1）211ln2Fxaxaxx，11110axxFxaxaxxx，当0a时，0Fx，所以F x在(0,)上单调递减；当0a时，由0Fx，得10 xa，由0Fx，得1xa，所以F x在10,a上单调递减，在1(,)a上单调递增.（2）不等式h xfx对任意0()x恒成立，即1lnxmxexx 恒成立，因为0 x，所以ln1xxxmxe令ln1xxxG xxe21lnxxxxGxx e第 18 页 共 20 页令lnp xxx，110pxx，故p x在(0,)上单调递减，且1110pee，110p，故存在01,1xe使得000ln0P xxx，即00ln0 xx即00 xxe，当00,xx时，0p x，0Gx；当0(,)xx，0p x，0Gx；所以000ax0m000ln111xxxxxG xG xx eee，故实数m的取值范围是m1.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，在处理不等式恒成立问题时，通常构造函数，转化为函数的最值问题来处理，是一道较难的题.22 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1cossinxy（为参数）.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3sin62.（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）若,A B为曲线C上的两点，且3AOB，求OAOB的最大值.【答案】（1）2:cosC，:330lxy（2）2 3【解析】（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（2）2cosOA，2cos3OB，OAOB2 3sin3即可求得最大值.【详解】（1）曲线 C 的普通方程为2220 xyx，故 C 的极坐标方程为2cos，又3sin62，所以313sincos222，故直线l的直角坐标方程第 19 页 共 20 页330 xy.（2）不妨设2cosOA，2cos3OB，(,)2 2则2cos2cos2cos2cos33OAOB2 3sin2 33，当且仅当6时，取得等号，OAOB的最大值为2 3.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化以及距离和的最大值问题，是一道基础题.23已知函数211fxxx.（1）求不等式2f xx的解集；（2）若函数yfx的最小值记为m，设0a，0b，且有abm.求1212ab的最小值.【答案】（1）0,1（2）64 29【解析】（1）作出函数图象，数形结合即可得到答案；（2）32ab9122ab，112121212912ababab，在乘开，利用基本不等式即可.【详解】解（1）因为3,1,12112,1,213,.2x xfxxxxxx x从图可知满足不等式2f xx的解集为0,1.第 20 页 共 20 页（2）由图可知函数yfx的最小值为32，即32m.所以32ab，从而9122ab，从而112121212912ababab212122226423329129129aabbabab当且仅当21212abab，即9211149 2,22ab时，等号成立，1212ab的最小值为64 29.【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.