2021年中考数学复习题考点25：矩形.pdf

第 1 页 共 18 页2021 年中考数学复习题：考点25 矩形一选择题（共6 小题）1（遵义）如图，点P 是矩形 ABCD的对角线 AC上一点，过点 P 作 EF BC，分别交 AB，CD于 E、F，连接 PB、PD若 AE=2，PF=8 则图中阴影部分的面积为（）A10 B12 C 16 D18【分析】想办法证明SPEB=SPFD解答即可【解答】解：作 PMAD于 M，交 BC于 N则有四边形 AEPM，四边形 DFPM，四边形 CFPN，四边形 BEPN都是矩形，SADC=SABC，SAMP=SAEP，SPBE=SPBN，SPFD=SPDM，SPFC=SPCN，SDFP=SPBE=28=8，S阴=8+8=16，故选：C2（枣庄）如图，在矩形ABCD中，点 E是边 BC的中点，AEBD，垂足为 F，则 tanBDE的值是（）ABC D第 2 页 共 18 页【分析】证明 BEF DAF，得出 EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出 EF=DE，设 EF=x，则 DE=3x，由勾股定理求出DF=2x，再由三角函数定义即可得出答案【解答】解：四边形ABCD是矩形，AD=BC，ADBC，点 E是边 BC的中点，BE=BC=AD，BEF DAF，=，EF=AF，EF=AE，点 E是边 BC的中点，由矩形的对称性得：AE=DE，EF=DE，设 EF=x，则 DE=3x，DF=2x，tanBDE=；故选：A3（威海）矩形 ABCD与 CEFG，如图放置，点 B，C，E共线，点 C，D，G共线，连接 AF，取 AF的中点 H，连接 GH 若 BC=EF=2，CD=CE=1，则 GH=（）A1 BC D第 3 页 共 18 页【分析】延长 GH交 AD于点 P，先证 APH FGH得 AP=GF=1，GH=PH=PG，再利用勾股定理求得PG=，从而得出答案【解答】解：如图，延长GH交 AD于点 P，四边形 ABCD和四边形 CEFG 都是矩形，ADC=ADG=CGF=90 ，AD=BC=2、GF=CE=1，ADGF，GFH=PAH，又H是 AF的中点，AH=FH，在APH和FGH中，APH FGH（ASA），AP=GF=1，GH=PH=PG，PD=AD AP=1，CG=2、CD=1，DG=1，则 GH=PG=，故选：C4（杭州）如图，已知点P 是矩形 ABCD内一点（不含边界），设PAD=1，PBA=2，PCB=3，PDC=4，若 APB=80 ，CPD=50 ，则（）第 4 页 共 18 页A（1+4）（2+3）=30 B（2+4）（1+3）=40C（1+2）（3+4）=70 D（1+2）+（3+4）=180【分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得ABC=2+80 1，BCD=3+130 4，再根据矩形 ABCD中，ABC+BCD=180 ，即可得到（1+4）（2+3）=30【解答】解：ADBC，APB=80 ，CBP=APB DAP=80 1，ABC=2+80 1，又 CDP中，DCP=180 CPD CDP=130 4，BCD=3+130 4，又矩形 ABCD中，ABC+BCD=180 ，2+80 1+3+130 4=180，即（1+4）（2+3）=30，故选：A5（聊城）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边 OA，OC分别在 x轴和 y 轴上，并且 OA=5，OC=3 若把矩形 OABC绕着点 O逆时针旋转，使点A恰好落在 BC边上的 A1处，则点 C的对应点 C1的坐标为（）第 5 页 共 18 页A（，）B（，）C（，）D（，）【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出ONC1三边关系，再利用勾股定理得出答案【解答】解：过点C1作 C1Nx 轴于点 N，过点 A1作 A1Mx 轴于点 M，由题意可得：C1NO=A1MO=90，1=2=3，则A1OMOC1N，OA=5，OC=3，OA1=5，A1M=3，OM=4，设 NO=3x，则 NC1=4x，OC1=3，则（3x）2+（4x）2=9，解得：x=（负数舍去），则 NO=，NC1=，故点 C的对应点 C1的坐标为：（，）故选：A6（上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）第 6 页 共 18 页AA=B BA=C CAC=BD DABBC【分析】由矩形的判定方法即可得出答案【解答】解：A、A=B，A+B=180 ，所以 A=B=90 ，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、A=C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、ABBC，所以 B=90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B二填空题（共6 小题）7（金华）如图 2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边 AB，BC上，三角形的边 GD在边 AD上，则的值是【分析】设七巧板的边长为x，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出AB，BC，进一步求出的值【解答】解：设七巧板的边长为x，则AB=x+x，BC=x+x+x=2x，=故答案为：8（达州）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点 A（6，0），C（0，第 7 页 共 18 页2）将矩形 OABC绕点 O顺时针方向旋转，使点 A 恰好落在 OB上的点 A1处，则点 B的对应点 B1的坐标为（2，6）【分析】连接 OB1，作 B1HOA 于 H，证明 AOB HB1O，得到 B1H=OA=6，OH=AB=2，得到答案【解答】解：连接OB1，作 B1HOA于 H，由题意得，OA=6，AB=OC 2，则 tanBOA=，BOA=30 ，OBA=60 ，由旋转的性质可知，B1OB=BOA=30 ，B1OH=60 ，在AOB和HB1O，AOB HB1O，B1H=OA=6，OH=AB=2，点 B1的坐标为（2，6），故答案为：（2，6）9（上海）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩第 8 页 共 18 页形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高如图 2，菱形 ABCD的边长为 1，边 AB水平放置如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是【分析】先根据要求画图，设矩形的宽AF=x，则 CF=x，根据勾股定理列方程可得结论【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，设 AF=x，则 CF=x，在 RtCBF中，CB=1，BF=x 1，由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，解得：x=或 0（舍），即它的宽的值是，故答案为：10（连云港）如图，E、F，G、H 分别为矩形 ABCD的边 AB、BC、CD、DA 的中点，连接 AC、HE、EC，GA，GF 已知 AGGF，AC=，则 AB的长为2第 9 页 共 18 页【分析】如图，连接 BD 由ADG GCF，设 CF=BF=a，CG=DG=b，可得=，推出=，可得 b=a，在 RtGCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题；【解答】解：如图，连接BD四边形 ABCD是矩形，ADC=DCB=90 ，AC=BD=，CG=DG，CF=FB，GF=BD=，AG FG，AGF=90 ，DAG+AGD=90，AGD+CGF=90 ，DAG=CGF，ADG GCF，设 CF=BF=a，CG=DG=b，=，=，b2=2a2，a0b0，b=a，在 RtGCF中，3a2=，a=，第 10 页 共 18 页AB=2b=2 故答案为 211（株洲）如图，矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交点 O，AC=10，P、Q 分别为 AO、AD的中点，则 PQ的长度为2.5【分析】根据矩形的性质可得AC=BD=10，BO=DO=BD=5，再根据三角形中位线定理可得 PQ=DO=2.5【解答】解：四边形ABCD是矩形，AC=BD=10，BO=DO=BD，OD=BD=5，点 P、Q 是 AO，AD的中点，PQ是AOD的中位线，PQ=DO=2.5 故答案为：2.512（嘉兴）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点 E在 CD上，DE=1，点 F是边 AB上一动点，以 EF为斜边作 RtEFP 若点 P在矩形 ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是0 或 1AF或 4【分析】先根据圆周角定理确定点P在以 EF为直径的圆 O 上，且是与矩形 ABCD的交点，先确定特殊点时 AF的长，当 F与 A 和 B 重合时，都有两个直角三角形符第 11 页 共 18 页合条件，即 AF=0或 4，再找O 与 AD和 BC相切时 AF的长，此时 O与矩形边各有一个交点或三个交点，在之间运动过程中符合条件，确定AF的取值【解答】解：EFP是直角三角形，且点P在矩形 ABCD的边上，P是以 EF为直径的圆 O与矩形 ABCD的交点，当 AF=0时，如图 1，此时点 P有两个，一个与D 重合，一个交在边AB上；当 O与 AD 相切时，设与 AD边的切点为 P，如图 2，此时 EFP是直角三角形，点P只有一个，当O与 BC相切时，如图 4，连接 OP，此时构成三个直角三角形，则 OP BC，设 AF=x，则 BF=P1C=4 x，EP1=x1，OP EC，OE=OF，OG=EP1=，O的半径为：OF=OP=，在 RtOGF中，由勾股定理得：OF2=OG2+GF2，解得：x=，当 1AF时，这样的直角三角形恰好有两个，当 AF=4，即 F与 B重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，综上所述，则 AF的值是：0 或 1AF或 4故答案为：0 或 1AF或 4第 12 页 共 18 页三解答题（共5 小题）13（张家界）在矩形ABCD中，点 E在 BC上，AE=AD，DFAE，垂足为 F（1）求证 DF=AB；（2）若 FDC=30 ，且 AB=4，求 AD【分析】（1）利用“AAS”证ADF EAB即可得；（2）由 ADF+FDC=90 、DAF+ADF=90 得 FDC=DAF=30 ，据此知AD=2DF，根据 DF=AB可得答案【解答】证明：（1）在矩形 ABCD中，ADBC，AEB=DAF，又DF AE，DFA=90 ，DFA=B，第 13 页 共 18 页又AD=EA，ADF EAB，DF=AB（2）ADF+FDC=90 ，DAF+ADF=90 ，FDC=DAF=30 ，AD=2DF，DF=AB，AD=2AB=8 14（连云港）如图，矩形ABCD中，E是 AD的中点，延长 CE，BA交于点 F，连接 AC，DF（1）求证：四边形 ACDF是平行四边形；（2）当 CF平分 BCD时，写出 BC与 CD的数量关系，并说明理由【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定FAE CDE，即可得到 CD=FA，再根据 CDAF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；（2）先判定 CDE是等腰直角三角形，可得 CD=DE，再根据 E是 AD的中点，可得 AD=2CD，依据 AD=BC，即可得到 BC=2CD【解答】解：（1）四边形 ABCD是矩形，ABCD，FAE=CDE，E是 AD的中点，AE=DE，又 FEA=CED，FAE CDE，第 14 页 共 18 页CD=FA，又CD AF，四边形 ACDF是平行四边形；（2）BC=2CD 证明：CF平分 BCD，DCE=45 ，CDE=90 ，CDE是等腰直角三角形，CD=DE，E是 AD的中点，AD=2CD，AD=BC，BC=2CD 15如图，在矩形 ABCD中，E是 AB的中点，连接 DE、CE（1）求证：ADE BCE；（2）若 AB=6，AD=4，求 CDE的周长【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答第 15 页 共 18 页【解答】（1）证明：在矩形 ABCD中，AD=BC，A=B=90 E是 AB的中点，AE=BE 在ADE与BCE中，ADE BCE（SAS）；（2）由（1）知：ADE BCE，则 DE=EC 在直角 ADE中，AE=4，AE=AB=3，由勾股定理知，DE=5，CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=2 5+6=1616（沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线 AC与 BD交于点 O过点 C作 BD的平行线，过点 D 作 AC的平行线，两直线相交于点E（1）求证：四边形 OCED是矩形；（2）若 CE=1，DE=2，ABCD的面积是4【分析】（1）欲证明四边形 OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为 90 度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答【解答】（1）证明：四边形 ABCD是菱形，AC BD，COD=90 CE OD，DEOC，四边形 OCED是平行四边形，第 16 页 共 18 页又COD=90 ，平行四边形 OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则 CE=OD=1，DE=OC=2 四边形 ABCD是菱形，AC=2OC=4，BD=2OD=2，菱形 ABCD的面积为：AC?BD=42=4故答案是：417（玉林）如图，在?ABCD 中，DCAD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是 E，F，过点 E，F分别作 DC与 AB间的垂线 MM 与 NN，在 DC与AB上的垂足分别是M，N 与 M ，N，连接 EF（1）求证：四边形 EFNM是矩形；（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求 EF的长【分析】（1）要说明四边形EFNM 是矩形，有MECDFNCD 条件，还缺ME=FN 过点 E、F分别作 AD、BC的垂线，垂足分别是G、H利用角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论（2）利用平行四边形的性质，证明直角DEA，并求出 AD的长利用全等证明GEA CNF，DMEDGE从而得到 DM=DG，AG=CN，再利用线段的和差关系，求出 MN 的长得结论【解答】解：（1）证明：过点 E、F分别作 AD、BC的垂线，垂足分别是G、H3=4，1=2，EG AD，EMCD，EM AB第 17 页 共 18 页EG=ME，EG=EMEG=ME=ME=MM 同理可证：FH=NF=NF=NN CD AB，MM CD，NN CD，MM=NN ME=NF=EG=FH又MM NN ，MM CD四边形 EFNM是矩形（2）DC AB，CDA+DAB=180 ，2=DAB3+2=90在 RtDEA，AE=4，DE=3，AB=5四边形 ABCD是平行四边形，DAB=DCB，又 2=DAB，5=DCB，2=5由（1）知 GE=NF在 RtGEA和 RtCNF中GEA CNFAG=CN在 RtDME和 RtDGE中DE=DE，ME=EGDMEDGEDG=DM第 18 页 共 18 页DM+CN=DG+AG=AB=5MN=CD DMCN=9 5=4四边形 EFNM是矩形EF=MN=4