高考理科数学一轮复习专题训练：空间中的位置关系与体积、表面积(含详细答案解析).pdf

1 第 9 单元空间中的位置关系与体积、表面积第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知m，n为异面直线，直线lm，则l与n（）A一定异面B一定相交C不可能相交D不可能平行【答案】D【解析】若ln，因为直线lm，则可以得到nm，这与m，n为异面直线矛盾，故l与n不可能平行，选项D正确，不妨设m，n为正方体中的棱，即m为棱AB，n为棱FG，由图可知EFAB，而此时EF与FG相交，故选项A错误，选项C也错误，当l取DC时，DC与FG异面，故选项B错误，故选D2一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）ABCD【答案】B【解析】通过三视图的俯视图可知，该几何体是由两个旋转体组成，故选B3在正方体1111ABCDA B C D中，1AA与1B D所成角的余弦值是（）2 A12B22C33D32【答案】C【解析】如图：因为正方体中1AA与1BB平行，所以1BB D即为1AA与1B D所成角，设正方体棱长为a，则2BDa，在1BB DRt中，1113cos33BBaBB DB Da，故选 C4下列说法错误的是（）A垂直于同一个平面的两条直线平行B若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直【答案】D【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行，A正确；由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直，B正确；由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，C正确；当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，D错误，故选D5设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D 3【解析】若，则有可能在面内，故 A错误；若，有可能在面内，故 B错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误；若，则由直线与平面平行的性质知，故 D正确，故选D6若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A240 B 264 C274 D 282【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长交于点，其中，所以表面积3436 53 6246302642S故选 B项7已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（）A23B49C2 69D827【答案】B【解析】设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，4 由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，所以33rR，222344433SrRR球的表面积，2223SRRRR圆锥表面积，所以球与圆锥的表面积之比为2244339RR，故选 B8已知三棱柱的侧棱与底面垂直，124AABCBAC，则三棱柱外接球的体积为（）ABCD【答案】D【解析】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，球的球心为，因为三棱柱的侧棱与底面垂直，所以球的球心为的中点，且直线与上、下底面垂直，且1222 2sin4OC，所以在中，即球的半径为，所以球的体积为344 33R，故选 D9在九章算术 中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，平面，四边形，均为等腰梯形，ABCDEF，到面的距离为 6，则这个“羡除”体积是（）5 A96 B 72 C64 D 58【答案】C【解析】如图所示，多面体切割为两个三棱锥EAGD，FHBC和一个直三棱柱GADHBC，因为，且到平面的距离为6，所以这个“羡除”体积为111224 664 464322V故选 C10 如图，平面四边形ABCD中，E，F是AD，BD中点，2ABADCD，2 2BD，90BDC，将ABD沿对角线BD折起至ABD，使平面A BDBCD，则四面体ABCD中，下列结论不正确的是（）AEF平面A BCB异面直线CD与A B所成的角为90C异面直线EF与A C所成的角为60D直线A C与平面BCD所成的角为30【答案】C【解析】A选项：因为E，F分别为A D和BD两边中点，所以EFA B，即EF平面A BC，A正确；B选项：因为平面A BD平面BCD，交线为BD，且CDBD，所以CD平面A BD，即CDA B，故 B正确；C选项：取CD边中点M，连接EM，FM，则EMA C，6 所以FEM为异面直线EF与A C所成角，又1EF，2EM，3FM，即90FEM，故 C错误；D选项：因为平面A BD平面BCD，连接A F，则A FBD，所以AF平面CBD，连接FC，所以A CF为异面直线EF与A C所成角，又CDA D，2 2A C，又222A FA DDF，sin2122 2A FA CFA C，30A CF，D正确，故选 C11如图，在三棱柱中，底面，ACB=90，为上的动点，则的最小值为（）ABC5 D【答案】C【解析】由题设知为等腰直角三角形，又平面，故=90，将二面角沿展开成平面图形，得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且仅当三点共线，由题设知，7 由余弦定理得12体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，3ABC，则球体积的最小值为（）ABC13 33D52 33【答案】B【解析】因为PA平面ABC，三棱锥PABC的体积为112333PABCABCABCVPA SS，得3 32ABCS，另一方面13 3sin22ABCSAB BCABC，可得6AB BC，由余弦定理得222222cos3ACABBCAB BCABBCAB BC26AB BCAB BCAB BC，当且仅当时，等号成立，则6AC，所以，ABC的外接圆的直径的最小值为622 2sin3r，则球O的半径的最小值为2232PARr，因此球O的体积的最小值为344 33R故选 B第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为1S，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为2S，则21SS的值为 _8【答案】54【解析】设圆柱的底面圆的半径为r，则高为2r，则圆锥母线长为2245rrr，所以21224 rSrr，2255rlrSrr，所以2154SS，故填5414圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_cm【答案】4【解析】设球半径为r，则由3=VVV球水柱，可得32243863rrrr，解得4r15设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列正确命题序号是_（1）若m，n，则mn；（2）若m，mn，则n；（3）若m，n且mn，则；（4）若m，则m，【答案】（3）（4）【解析】若mn，则m与n可能平行，相交或异面，故（1）错误；若mmn，则n或n，故（2）错误；若mn，且mn，则，故（3）正确；9 若m，由面面平行的性质可得m，故（4）正确，故答案为（3）（4）16已知球的半径为3，圆与圆为该球的两个小圆，半径相等且所在平面互相垂直，圆与圆的公共弦的长为，点是弦的中点，则四边形的面积为 _【答案】2【解析】圆与圆为该球的两个小圆半径相等，且所在平面互相垂直，可得四边形OABC为正方形，设正方形的边长为x，小圆的半径为r，在中可得，在中可得，即，解得，故四边形的面积为，故答案为2三、解答题：本大题共6 个大题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）如图，在直三棱柱111ABCA BC中，ABAC，1ACAA，D是棱AB的中点（1）求证：11BCACD平面；（2）求证：11BCAC【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）连接AC1，设AC1A1CO，连接OD，10 在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，所以O为AC1的中点，又因为D是棱AB的中点，所以ODBC1，又因为BC1?平面A1CD，OD?平面A1CD，所以BC1平面A1CD（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为ACAA1，所以平行四边形ACC1A1是菱形，所以AC1A1C，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，因为AB?平面ABC，所以ABAA1，又因为ABAC，ACAA1A，AC?平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1，所以AB平面ACC1A1，因为A1C?平面ACC1A1，所以ABA1C，又因为AC1A1C，ABAC1A，AB?平面ABC1，AC1?平面ABC1，所以A1C平面ABC1，因为BC1?平面ABC1，所以BC1A1C18（12 分）如图，在四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，点P在底面ABCD的射影O落在AD上（1）求证：平面PAB平面PAD；（2）若,O M分别是,AD PB的中点，且4,2,2ABADPA，求三棱锥MPDC的体积【答案】（1）见解析；（2）23【解析】（1）依题意，PO平面ABCD，又AB平面ABCD，所以POAB又ADAB，ADPOOI，所以AB平面PAD11 又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD（2）因为PO平面ABCD，O是AD的中点，所以PAD是等腰三角形，又2AD，2PA，所以1PO因为M是PB的中点，所以M到平面PDC的距离等于点B到平面PDC距离的一半，连接BD，所以1111111242122232323MPDCBPDCPBDCBDCVVVSPO19（12 分）已知空间几何体ABCDE中，BCD与CDE均为边长为2的等边三角形，ABC为腰长为13的等腰三角形，平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD（1）试在平面BCD内作一条直线，使直线上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行，并给出详细证明；（2）求点B到平面AEC的距离【答案】（1）见解析；（2）4 3913【解析】（1）如图所示：取BC和BD的中点H、G，连接HG，HG为所求直线，证明如下：因为BC和BD的中点H、G，所以/HGCD，又平面CDE平面BCD，且EOCD，EO平面BCD，又平面ABC平面BCD，AHBC，得AHBCD平面，所以EOAH，即AHCDE平面，12 所以AHGCDE平面平面，所以直线HG上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行（2）由（1）可得EOAH，即EO平面ABC，所以点E到平面ABC的距离和点O到平面ABC的距离相等，记为1322dDH，三角形ABC的面积12122 32S，而三角形ACE的面积1133913224S，用等体积法EABCBACEVV，可得131392 33234h，4 3913h20（12 分）如图所示，三棱柱111ABCA B C中，90BCA，1AC平面1ABC（1）证明：平面ABC平面11ACC A；（2）若2BCAC，11A AAC，求点1B到平面1ABC的距离【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）证明：1ACQ平面1ABC，1ACBC，90BCAQ，BCAC，BC平面11ACC A，又BC平面ABC，平面ABC平面11ACC A（2）取AC的中点D，连接1A D13 11A AACQ，1ADAC又平面ABC平面11ACC A，且交线为AC，则1A D平面ABC1ACQ平面1A BC，11ACAC，四边形11ACC A为菱形，1AAAC又11A AAC，1A AC是边长为2正三角形，13AD，1 1112 232 32ABCA B CV11AABBQ，1AA面11BBC C，1BB面11BBCC，1AA面11BBCC，111111112 333AB BCA B BCABCA B CBABCVVVV，设点1B到平面1ABC的距离为h，则11113BA BCA BCVh S1ACBCQ，12ACACBC，11122A BCSBC AC，3h所以点1B到平面1ABC的距离为321（12 分）已知三棱柱ABCA B C的底面ABC是等边三角形，侧面AA C C底面ABC，D是棱BB的中点（1）求证：平面DA C平面ACC A；（2）求平面DA C将该三棱柱分成上下两部分的体积比【答案】（1）见证明；（2）1：1【解析】（1）取,AC A C的中点,O F，连接OF与CA交于点E，连接DE，,OB B F，则E为OF的中点，OFAABB，且OFAABB，所以BB FO是平行四边形14 又D是棱BB的中点，所以DEOB侧面AA C C底面ABC，且OBAC，所以OB平面ACC A所以DE平面ACC A，又DE 平面DA C，所以平面DA C平面ACC A（2）连接AB，设三棱柱ABCA B C的体积为V故四棱锥ABCCB的体积1233ABCC BVVVV，又D是棱BB的中点，BCD的面积是BCC B面积的14，故四棱锥AB C CD的体积33214432AB C CDABCC BVVVV，故平面DA C将该三棱柱分成上下两部分的体积比为1:1 22（12 分）已知三棱锥PABC中，VABC为等腰直角三角形，1ABAC，5PBPC，设点E为PA中点，点D为AC中点，点F为PB上一点，且2PFFB（1）证明：/BD平面CEF；（2）若PAAC，求三棱锥PABC的表面积【答案】（1）见证明；（2）4【解析】（1）连接PD交CE于G点，连接FG，15 Q点E为PA中点，点D为AC中点，点G为PACV的重心，2PGGD，2PFFBQ，FGBD，又FGQ平面CEF，BD平面CEF，BD平面CEF（2）因为ABAC，PBPC，PAPA，所以PAB全等于PAC，PAACQ，PAAB，2PA，所以12ABCS，1PACS，在PBC中，2BC，5PBPC，则BC边上的高为2223 2522，所以13 232222PBCS，1322=422ABCPACPBCSSSS表面积第 9 单元空间中的位置关系与体积、表面积第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（）16 A平行B相交C垂直D异面【答案】C【解析】因为对于任意的直线m与平面，在平面内必有直线l，使m与l垂直，故选C2圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（）A40B52C50D2123【答案】B【解析】作出圆台的轴截面如图所示：上底面半径2MD，下底面半径6NC，过D做DE垂直NC，则624EC，由5CD，故3DE，即圆台的高为3，所以圆台的体积为22221326 26523V故选 B3如图，正方体1111ABCDA B C D中，E为棱1BB的中点，用过点A、E、1C的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（）ABCD【答案】A【解析】正方体1111ABCDA B C D中，过点1,A E C的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：17 则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A4如图，正方体中，分别为，的中点，则直线，所成角的大小为（）A6B4C3D2【答案】C【解析】连接，根据，分别为，的中点，可得到是三角形的中位线，故得到11MNA C，同理可得到1BCEF，进而直线，所成角的大小，可转化为的夹角，三角形，三边均为正方体的面对角线，是等边三角形，故得到的夹角为3故答案为C5已知两个平面相互垂直，下列命题18 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（）A1 B 2 C3 D 4【答案】B【解析】由题意，对于，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故错误；对于，设平面平面=m，n?，l?，平面平面，当lm时，必有l，而n?，ln，而在平面内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即正确；对于，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故错误；对于，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故正确，故选 B6下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A12 B 15 C403D503【答案】D【解析】由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高为 5底面四边形可以分割成二个三角形，面积11442 21022S，19 体积15033VSh，故本题选D7古希腊数学家阿基米德构造了一个“圆柱容器”的几何体：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上，下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（）A23B43C23或32D32【答案】D【解析】由已知可知，该几何体的轴截面如图所示，即圆柱的底面半径与球的半径相等，高等于球的直径，所以2323=423VrrVr圆柱球故选 D8矩形中，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（）A1256B1259C12512D1253【答案】A【解析】设与的交点为点，在矩形中，可得，当沿翻折后，上述等量关系不会发生改变，因为四面体的外接球的球心到各顶点的距离相等，所以点即为球心，在中，故52ROAOBOCOD，所以球的体积为3412536VR，故选 A9在正方体1111ABCDABC D中，E为棱CD上一点，且2CEDE，F为棱1AA的中点，20 且平面BEF与1DD交于点G，则1BG与平面ABCD所成角的正切值为（）A212B26C5 212D5 26【答案】C【解析】因为平面ABCD平面1111DCBA，所以1BG与平面ABCD所成角，即为1BG与平面1111DCBA所成角，可知1BG与平面所成角为11D BG设6AB，则3AF，2DE，平面BEF I面11CDD CGE且BF面11CDD C，可知BFGE，则AFDGABDE，即3621DGDG，15D G，在11B D GRt中，1111155 2tan126 2D GD B GB D，故1BG与平面ABCD所成角的正切值为5 212，本题正确选项C10 如图，一个正四棱锥和一个正三棱锥，所有棱长都相等，为棱的中点，将、分别对应重合为，得到组合体 关于该组合体有如下三个结论：；，其中错误的个数是（）ABCD【答案】A 21【解析】由于正四棱锥和一个正三棱锥，所有的棱长都相等，可看作有两个相同的正四棱柱拼凑而成，如图所示：点对应正四棱锥的上底面中心，点对应另一正四棱锥的上底面中心，由图形可知拼成一个三棱柱，设为的中点，由此可知，又因为平面，所以，因为，所以故选 A11以棱长为1 的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为（）A22B33C13D14【答案】C【解析】正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长1212222aa，以C2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3是正方体，正方体C3面对角线长等于C2棱长的23，（正三角形中心到对边的距离等于高的23），因此对角线为222323，所以32133 2a，故选 C12在三棱锥PABC中，PA平面ABC，2,30APCSABC，则三棱锥PABC的22 外接球体积的最小值为（）A4B43C64D323【答案】D【解析】如图所示，设ACx，由APC的面积为2，得4PAx，因为30ABC，ABC外接圆的半径rx，因为PA平面ABC，且4PAx，所以O到平面ABC的距离为122dPAx，设球O的半径为R，则22224222Rrdxx，当且仅当2x时等号成立，所以三棱锥PABC的外接球的体积的最小值为3432 233，故选 D第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13某长方体的长、宽、高分别为2 cm，2cm，4cm，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为_【答案】6:3【解析】因为长方体的长、宽、高分别为2 cm，2 cm，4cm，所以其体积为32 24=16cmV长方体，其外接球直径为22222242 6R，故6R，所以其外接球体积为334=8 6 cm3VR球，23 因此，该长方体的体积与其外接球的体积之比为16638 6故答案为6:314“圆材埋壁”是我国古代数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，1AB尺，D为AB的中点，ABCD，1CD寸，则圆柱底面的直径长是_寸”（注：l 尺=10寸）【答案】26【解析】ABCD，ADBD，10AB寸，5AD寸，在AODRt中，222OAODAD，22215OAOA，13OA寸，圆柱底面的直径长是226AO寸故答案为2615已知两条不重合的直线m，n，两个不重合的平面，有下列四个命题：若mn，m，则n；若n，m，且mn，则；若m，n，m，n，则；若，mI，且n，nm，则n其中所有正确命题的序号为_【答案】【解析】逐一考查所给的命题：若mn，m，有可能n，不一定有n，题中的命题错误；若n，m，且mn，由线面垂直的性质定理可得，题中的命题正确；若m，n，m，n，若mn，有可能与相交，题中的命题错误；若，mI，且n，nm，由线面垂直的性质定理可得n，24 题中的命题正确，综上可得：正确命题的序号为16已知三棱锥的四个顶点均在体积为的球面上，其中平面，底面为正三角形，则三棱锥体积的最大值为_【答案】9【解析】由球的体积公式可得343633RR，不妨设底面正三角形的边长为，则2122sin6032ABCSaaa，设棱锥的高为h，由三棱锥的性质可得22223932hRa，解得2216363ha，据此可得22219PABCABCVSh32224211681 88168181336126481936499964364aaaabcaa故，当且仅当228161299aa，292a时等号成立综上可得，三棱锥体积的最大值为9三、解答题：本大题共6 个大题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）如图，在三棱柱111ABCA BC中，ABAC，侧面11BC CB底面ABC，E，F分别为棱BC和11AC的中点（1）求证：EF平面11ABBA；25（2）求证：平面AEF平面11BCC B【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】（1）取11AB的中点G，连接BG，FG，在111A B C中，因为F，G分别为11AC，11AB的中点，所以11FGBC，且1112FGB C，在三棱柱111ABCA BC中，11BCBC，又E为棱BC的中点，所以FGBE且FGBE，从而四边形BEFG为平行四边形，于是EFBG，又因为BG面11ABB A，EF面11ABB A，所以EF平面11ABB A（2）证明：在ABC中，因为ABAC，E为BC的中点，所以AEBC，又因为侧面11BC CB底面ABC，侧面11BCC B I底面ABCBC，且AE面ABC，所以AE平面11BCC B，又AE面AEF，所以平面AEF平面11BCC B18（12 分）如图，四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，E为线段AD的中点，且2AEEDBC4PAPDPBPBAC（1）证明：平面PBE平面PAC；（2）若BCAD，求三棱锥PACD的体积26【答案】（1）见证明；（2）4【解析】（1）证明：PAPD，E是AD的中点，PEAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD I平面ABCDAD，PE平面ABCD，又AC平面ABCD，PEAC，又PBAC，PEPBPI，AC平面PBE，又AC平面PAC，平面PBE平面PAC（2）解：由（1）知AC平面PBE，故ACBE，12BCAD BCADDE，四边形BCDE是平行四边形，CDBECDBE，ACCD，4PAPDPB，2AEDEBC，222 3PEPAAE，222PBBEPE，即2CD，2232ACADCD11122 32 34332PACDACDVSPE19（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC平面PCD，PACD，2CD，3AD，（1）设GH，分别为PBAC，的中点，求证：GH平面PAD；（2）求证：PA平面PCD；（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）33【解析】（1）证明：连接BD，易知ACBDHI，BHDH，27 又由BGPG，故GHPD，又因为GH平面PAD，PD平面PAD，所以GH平面PAD（2）证明：取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DNPC，又因为平面PAC平面PCD，平面PAC I平面PCDPC，所以DN平面PAC，又PA平面PAC，故DNPA，又已知PACD，CDDNDI，所以PA平面PCD（3）解：连接AN，由（2）中DN平面PAC，可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角因为PCD为等边三角形，2CD且N为PC的中点，所以3DN，又DNAN，在ANDRt中，3sin3DNDANAD，所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为3320（12 分）在边长为3 的正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上（如左图），且=BE BF，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A（如右图）（1）求证：A DEF；（2）当13BFBC时，求点A到平面DEF的距离【答案】（1）见解析；（2）3 75【解析】（1）由ABCD是正方形及折叠方式，得A EA D，A FA D，28 A EA FAQI，A D平面A EF，A DEF（2）113BEBFBCQ，2,2,3A EA FEFA D，72EFAS，13DEDF，52DEFS，设点A到平面DEF的距离为d，ADEFDA EFVVQ，1133DEFA EFdSA DS，解得3 75d点A到平面DEF的距离为3 7521（12 分）如图，长方体1111ABCDA BC D中，4ABBC，12 2BB，点E，F，M分别为11C D，11A D，11BC的中点，过点M的平面与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形（1）在图 1 中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由）；（2）在图 2 中，求证：1D B平面DEF【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）设N为11AB的中点，连结MN，AN、AC、CM，如下图所示：则四边形MNAC为所求几何图形，29 11MNACACQ，四边形MNAC为梯形，且12 22MNAC，过M作MPAC于点P，842 3MCQ，22ACMNPC，2210MPMCQC，梯形MNAC的面积12 24 2106 52S（2）连接11D B，交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点，且为11D B的四等分点，114 224DQ，由1BB平面1111DCBA可知1BBEF，又11B DEF，1111BBB DBI，EF平面11BB D D，1EFD B，由11112D QD DD DDB，得11tantanQDDD BD，即11QDDD BD，1190QDBD BDQDBQDD，1DQD B，又DQEFQI，1D B平面DEF22在菱形ABCD中，,3ADCABa，O为线段CD的中点（如图1）将AOD沿AO折起到AOD的位置，使得平面AOD平面ABCO，M为线段BD的中点（如图2）30（1）求证：ODBC；（2）求证：CM 平面AOD；（3）当四棱锥DABCO的体积为32时，求a的值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2a【解析】（1）证明：因为在菱形ABCD中，3ADC，O为线段CD的中点，所以ODAO因为平面AOD平面ABCO，平面AOD I平面ABCOAO，OD平面AOD，所以OD平面ABCO因为D平面ABCO，所以ODBC（2）证明：如图，取P为线段AD的中点，连接OP，PM，因为在ABD中，P，M分别是线段AD，BD的中点，所以PMAB，12PMAB因为O是线段CD的中点，菱形ABCD中，ABDCa，ABDC，所以122aOCCD，所以OCAB，12OCAB所以PMOC，PMOC，所以四边形OCMP为平行四边形，所以CMOP，因为CM平面AOD，OP平面AOD，所以CM平面AOD31（3）由（1）知OD平面ABCO，所以OD是四棱锥DABCO的高，又233 32228aaaSa，2aOD，因为31333162aVSOD，所以2a