2019-2020学年四川省乐山市十校高一下学期期中数学试卷(解析版).pdf

2019-2020 学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12 小题）.1已知向量?=（2，3），?=（3，m），且?，则 m（）A-92B 2C2D922已知 an是等比数列，a22，a5=14，则公比q（）A-12B 2C2D123设非零向量?，?满足|?+?|?-?|，则（）A?B|?|?|C?D|?|?|4 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c已知 a=?，c2，cosA=23，则 b（）A?B?C2D35在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C 依次成等差数列，边 a，b，c 依次成等比数列，且b2，则 SABC（）A32B1C2D?6ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c已知 C60，b=?，c=?，则 sinA（）A 6+24B 6-24C 22D127数列 an中，若?=?，?+?=2?+2，则 a7（）A18B17C27D148 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知?+?=?，则角 B 的大小为（）A?6B?3C2?3D5?69等比数列 an的各项均为正数，且a2a9+a5a66，则 log3a1+log3a2+log3a10（）A6B5C4D1+log3510已知在 ABC 中，点 M 在边 BC 上，且?=-2?，点 E 在边 AC 上，且?=12?，则向量?=（）A12?+13?B16?+12?C12?+16?D16?+32?11我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问塔底几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的底层共有灯（）A3 盏B9 盏C192 盏D9384 盏12数列 an中，a12 且?+?-?=?-?-1+?(?)，则数列1(?-1)2的前 2020 项和为（）A40402021B20191010C20202021D40392020二、填空题：本大题共4 小题；每小题5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上.13已知平行四边形ABCD 的顶点 A（1，2），B（3，1），C（6，7），则顶点D的坐标为14在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 bcosBccosC，则该三角形的形状是（不要使用“”符号表示三角形）15已知数列 an的前 n 项和为 Sn n2+2n+1，则数列 an的通项公式an16如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B，C 的俯角分别为 60和 45，如果这时气球的高是h60 米，则河流的宽度BC 为米三、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足?=?(?+33?)（1）求角 C 的大小；（2）若 c2，且边 BC 上的高为?，求 ABC 的周长18设?，?为两个不共线的向量，若?=?+?，?=2?-?（1）若（?+?）?共线，求实数的值；（2）若?，?是夹角为2?3的单位向量，且?，求实数的值19已知数列 an的前项和Sn和通项 an满足 Sn2an1，n N*（1）求数列 an的通项公式；（2）已知数列 bn中，b1 3a1，bn+1bn+3，n N*，求数列 an+bn的前 n 项和 Tn20已知数列 an为等差数列，其中：a2+a38，a53a2（1）求数列 an的通项公式；（2）记?=2?+1，设 bn的前 n 项和为 Sn求最小的正整数n，使得?2020202121在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足（2a+c）?=c?（1）求角 B 的大小；（2）若?=?，求 ABC 面积的取值范围22已知 an是递增的等差数列，a2、a4是方程 x25x+60 的根（1）求 an的通项公式；（2）求数列?2?+?的前 n 项和参考答案一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知向量?=（2，3），?=（3，m），且?，则 m（）A-92B 2C2D92【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m 的值解：向量?=（2，3），?=（3，m），且?，?=-6+3m0，则 m2，故选：C2已知 an是等比数列，a22，a5=14，则公比q（）A-12B 2C2D12【分析】根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果解：an是等比数列，a22，a5=14，设出等比数列的公比是q，a5a2?q3，?=?5?2=142=18，q=12，故选：D3设非零向量?，?满足|?+?|?-?|，则（）A?B|?|?|C?D|?|?|【分析】由已知得(?+?)?=(?-?)?，从而?=0，由此得到?解：非零向量?，?满足|?+?|?-?|，(?+?)?=(?-?)?，?+?+?=?+?-?，?=?，解得?=0，?故选：A4 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c已知 a=?，c2，cosA=23，则 b（）A?B?C2D3【分析】由余弦定理可得cosA=?2+?2-?22?，利用已知整理可得3b28b3 0，从而解得 b 的值解：a=?，c2，cosA=23，由余弦定理可得：cosA=23=?2+?2-?22?=?2+4-52?2，整理可得：3b28b30，解得：b3 或-13（舍去）故选：D5在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C 依次成等差数列，边 a，b，c 依次成等比数列，且b2，则 SABC（）A32B1C2D?【分析】由题意结合等差数列的性质可求B，然后结合余弦定理可求a，c，代入三角形的面积公式即可求解解：由题意可得A+C 2B，b2ac4，由三角形的内角和定理可得B=?3，由余弦定理可得，cos?3=12=?2+?2-?22?=(?+?)2-2?-42?，故12=(?+?)2-128，即 a+c4，所以 ac2，则 SABC=12?32=?故选：D6ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c已知 C60，b=?，c=?，则 sinA（）A6+24B6-24C22D12【分析】由已知结合正弦定理可求B，然后结合三角形的和差角公式即可求解解：因为C 60，b=?，c=?，由正弦定理可得，?=?，故 sinB=?=2323=22，因为 cb，故 CB，所以 B=?4，则 sinA sin（?3+?4）=3222+1222=2+64故选：A7数列 an中，若?=?，?+?=2?+2，则 a7（）A18B17C27D14【分析】通过数列的递推关系式，取倒数，得到新数列的通项公式，然后推出结果即可解：数列 an中，若?=?，?+?=2?+2，可得1?+1=12+1?，所以数列 1?是等差数列，首项为12，公差为：12，所以1?=12+（n1）12=?2，可得 an=2?，所以 a7=27故选：C8 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知?+?=?，则角 B 的大小为（）A?6B?3C2?3D5?6【分析】由已知结合余弦定理对已知进行化简，然后再结合余弦定理即可求解解：?+?=?=2b?2+?2-?22?=?2+?2-?2?，整理可得，?+?-?=-?，由余弦定理可得，cosB=?2+?2-?22?=-32，因为 B 为三角形的内角，故B=5?6故选：D9等比数列 an的各项均为正数，且a2a9+a5a66，则 log3a1+log3a2+log3a10（）A6B5C4D1+log35【分析】根据题意，由等比数列的性质可得a2a9a5a6，结合 a2a9+a5a66 可得 a2a93，进而可得log3a1+log3a2+log3a10log3（a1a2a3 a10）log335，进而计算可得答案解：根据题意，等比数列an中，a2a9+a5a66，又由 a2a9a5a6，则有 a2a93，则有 a1a10a2a9 a5a63；则 log3a1+log3a2+log3a10log3（a1a2a3 a10）log3355；故选：B10已知在 ABC 中，点 M 在边 BC 上，且?=-2?，点 E 在边 AC 上，且?=12?，则向量?=（）A12?+13?B16?+12?C12?+16?D16?+32?【分析】作图，根据条件可得?=12?，?=23?，再由向量运算法则即可得到答案解：如图，因为?=-2?，所以?=12?，因为?=12?，所以?=23?，则?=?+?=12?+23?=12（?-?）+23?=12?+16?，故选：B11我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问塔底几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的底层共有灯（）A3 盏B9 盏C192 盏D9384 盏【分析】设塔的底层共有a1盏灯，则数列 an公比为12的等比数列，利用等比数列前n 项和公式能求出结果解：设塔的底层共有a1盏灯，则数列 an公比为12的等比数列，?=?1(1-127)1-12=381，解得 a1 192故选：C12数列 an中，a12 且?+?-?=?-?-1+?(?)，则数列1(?-1)2的前 2020 项和为（）A40402021B20191010C20202021D40392020【分析】先由题设条件得到：（an 1）2（an11）2n，再利用累加法求得（an1）2=?(?+1)2，n2，并检验当n1 时是否适合，再利用裂项相消法求出数列1(?-1)2的前 2020 项和即可解：a12 且?+?-?=?-?-1+?(?)，an2an12 2（anan1）n，化为：（an1）2（an11）2n（a21）2（a11）22，（a31）2（a21）23，（a41）2（a31）24，（an1）2（an1 1）2n，将以上式子累加可得：（an1）2（a1 1）22+3+4+n，整理得（an 1）21+2+3+n=?(?+1)2，n2，经检验知当n1 时也适合，故（an1）2=?(?+1)2，n N*，1(?-1)2=2（1?-1?+1），数列1(?-1)2的前 2020项和为 2（11-12+12-13+?+12020-12021）2（1-12021）=40402021故选：A二、填空题：本大题共4 小题；每小题5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上.13已知平行四边形ABCD 的顶点 A（1，2），B（3，1），C（6，7），则顶点D的坐标为（2，6）【分析】由平行四边形ABCD 得?=?，根据向量相等求D 点坐标解：设 D（x，y），由已知?=?，即（x6，y 7）（1 3，2+1），所以x2，y 6故答案为：（2，6）14在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 bcosBccosC，则该三角形的形状是等腰或直角三角形（不要使用“”符号表示三角形）【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式变形，利用正弦函数的性质得到BC 或 B+C90，即可确定出三角形ABC 的形状解：利用正弦定理化简ccosC bcosB，得：sinCcosC sinBcosB，即12sin2C=12sin2B，sin2Csin2B，2C2B，或 2C+2B180，即 BC，或 B+C90，则 ABC 为等腰或直角三角形故答案为：等腰或直角三角形15 已 知 数 列 an 的 前n项 和 为Sn n2+2n+1，则 数 列 an 的 通 项 公 式an?，?=?+?，?【分析】根据公式an=?，?=?-?-?，?计算，并检验是否可以合并解：n1 时，a1S14；n 2时，anSnSn1n2+2n+1（n1）2+2（n1）+12n+1，n 1时不符合上式，an=?，?=?+?，?，故答案为：?，?=?+?，?16如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B，C 的俯角分别为 60和 45，如果这时气球的高是h60 米，则河流的宽度BC 为60 20?米【分析】由题意可得DAB 的值，在 DAB 中由余弦值可得AB 的值，在 ABC 中，由正弦定理可得?=?可得 BC 的值解：设D 为 A 在河岸的投影，AEBC，所以 BCA 45，BAC 6045 15，由题意可得BAD 90 90 60 30，所以在 ADB 中，AB=?=2?3，在 ABC 中，由正弦定理可得?=?，即?6-24=2?3 22，而 h60，解得BC6020?故答案为：6020?三、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足?=?(?+33?)（1）求角 C 的大小；（2）若 c2，且边 BC 上的高为?，求 ABC 的周长【分析】（1）由正弦定理，三角函数和差公式，同角三角函数基本关系式可求?=?结合范围C（0，），可求C 的值（2）由题意可求ACb2，进而利用余弦定理可求a 的值，即可求解三角形的周长的值解：（1）?=?(?+33?)，sinAsinCcosB+33sinCsinB，由 和 差 公 式 得：?=?(?+?)=?+?=?+33?，整理得：?=?C（0，），?=?3（2）?=?3，c2，且边 BC 上的高 AD=?，AC b2，?=?+?-?3，得 a2，周长 CABC 618设?，?为两个不共线的向量，若?=?+?，?=2?-?（1）若（?+?）?共线，求实数的值；（2）若?，?是夹角为2?3的单位向量，且?，求实数的值【分析】（1）根据题意，分析可得?+?=3?+（1）?，又由向量平行的判断方法可以设（?+?）k?，即3?+（1）?=k（2?-?），进而可得?=?-?=-?，解可得 的值，即可得答案；（2）根据题意，求出?的值，由向量垂直的判断方法可得?=（?+?）?（2?-?）2?2?2+（2 1）?=22+12=0，进而计算可得答案解：（1）根据题意，?=?+?，?=2?-?则?+?=3?+（1）?，若（?+?）?共线，则设（?+?）k?，即 3?+（1）?=k（2?-?），则有?=?-?=-?，解可得=-12；（2）根据题意，?，?是夹角为2?3的单位向量，则?=-12；若?，则?=（?+?）?（2?-?）2?2?2+（2 1）?=22+12=0，解可得 =54；故实数 的值为5419已知数列 an的前项和Sn和通项 an满足 Sn2an1，n 一、选择题*（1）求数列 an的通项公式；（2）已知数列 bn中，b1 3a1，bn+1bn+3，n N*，求数列 an+bn的前 n 项和 Tn【分析】（1）利用已知条件通过n1 求出数列的首项，通过递推关系式求出数列是等比数列，得到公比，然后求解通项公式（2）利用分组求和，求解数列的和即可解：（1）当 n1 时，a12a11 得：a11，当 n 2 时，由?=?-?-?=?-?-?得：?-1=?=?，得：?=?-?，n1 时，a1S1 1，所以：?=?-?，n N*（2）由（1）知：b13，bn+1bn3 d，所以：bn3+（n1）33n，?=?+?=?-?+?，所以：?=1(1-2?)1-2+?(?+1)2=?-?+3?(?+1)220已知数列 an为等差数列，其中：a2+a38，a53a2（1）求数列 an的通项公式；（2）记?=2?+1，设 bn的前 n 项和为 Sn求最小的正整数n，使得?20202021【分析】（1）利用数列的递推关系式，结合已知条件列出方程组，求出数列的首项与公差，然后求解通项公式（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，利用不等式求解即可解：（1）设等差数列an的公差为d，依题意有?+?=?，?+?=?+?，得?=?，?=?，从而 an 2n1，n N*（2）因为 bn=2?+1=12?-1-12?+1，所以 Sn=?-13+13-15+?+12?-1-12?+1=1-12?+1，令 1-12?+120202021，解得 n1010，故取 n101121在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足（2a+c）?=c?（1）求角 B 的大小；（2）若?=?，求 ABC 面积的取值范围【分析】（1）利用正弦定理结合向量的数量积转化求解即可（2）通过正弦定理结合三角形的面积转化求解即可解：（1）由题意得（2a+c）?=c?根据正弦定理得（2sinA+sin C）c?a?cosB c?a?bcosC，（2sinA+sinC）cosB sinBcosC，2sinAcosB sin（B+C），即 2sinAcosB sinA，A（0，），所以sin A0，?=-12，又 B（0，），所以B=2?3（2）因为 b=?，所以?=6 32=?=?，?=12?=12?32=12?(?3-?)?32=?(32?-12?)=?-?=32?-32(?-?)=?(?+?6)-32，?(?，?3)，?+?6(?6，5?6)，?(?+?6)(12，?，SABC的取值范围为(?，3222已知 an是递增的等差数列，a2、a4是方程 x25x+60 的根（1）求 an的通项公式；（2）求数列?2?+?的前 n 项和【分析】（1）方程 x25x+60 的两根为2，3，由题意得a22，a43，求出首项与公差，即可求解通项公式（2）化简?2?+?=?+22?+1+?2+?，设数列?+22?+1的前 n 项和为 Sn，利用错位相减法求解即可解：（1）方程 x25x+60 的两根为2，3，由题意得a22，a43，设an是递增的等差数列，数列的公差为d，则 d0，则 a4a22d，故 d=12，从而?=32，所以 an的通项公式为：?=?2+?（2）由（1）知?2?+?=?+22?+1+?2+?，设数列?+22?+1的前 n 项和为 Sn，则：?=322+423+524+?+?+12?+?+22?+1，12?=323+424+525+?+?+12?+1+?+22?+2，两式相减得12?=34+(123+124+?+12?+1)-?+22?+2=34+14(?-12?-1)-?+22?+2，所以?=?-?+42?+1，设数列?2?+?的前 n 项和为 Tn，则?=?+?(32+12?+1)2=?-?+42?+1+?2+5?4