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陕西省宝鸡中学西安三中等五校2020 届高三上学期第一次联考试题数学（理）第 I 卷一选择题（本题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）.2.设复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（）.3.已知，命题，则（）.是假命题，；.是假命题，；.是真命题，；.是真命题，；4.公 元年 左 右，我 国 数 学 家 刘 徽 发 现，当 圆 内 接 正 多 边 形 的 边 数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值，这就是著名的徽率，右图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为()（参考数据：）.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）.6.已知函数，（为自然对数的底数）的图象与直线，轴围成的区域为，直线与围成的区域为，在区域内任取一点，则该点落在区域内的概率为（）.7.已知动点满足，且代数式的最小值为，则实数的取值为（）.8.已知函数（）的部分图象如图所示，点，是其上两点，若将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为（）.9.已知腰长为的等腰直角中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值为（）.10.已知、分别是具有公共焦点、的椭圆和双曲线的离心率，是两曲线的一个公共点，是的中点，且，则=（）.11.若数列的前项和满足：对都有（为常数）成立，则称数列为“和敛数列”，则数列，中是“和敛数列”的有（）.个.个.个.个12.定义在上的偶函数满足，且当时，若函数有三个零点，则正实数的取值范围为（）.第 II卷二填空题：（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13.已 知 函 数，分 别 是 定 义 在上 的 奇 函 数 和 偶 函 数，且，则_ _ 14.设，若，则负实数_ 15.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，且直线与圆交于、两点，若，则直线的斜率为 _ 16.在四面体中，二面角的大小为，则四面体外接球的半径为_ 三解答题：（本题共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（12 分）已知在中，角，的对边分别为，且求角的大小；若，求周长的最大值.18.（12 分）如 图 所 示 四 边 形与均 为 菱 形，且求证：平面；求直线与平面所成角的正弦值.19.（12 分）2019 年初，某市为了实现教育资源公平，办人民满意的教育，准备在今年8 月份的小升初录取中在某重点中学实行分数和摇号相结合的录取办法。该市教育管理部门为了了解市民对该招生办法的赞同情况，随机采访了440 名市民，将他们的意见和是否近三年家里有小升初学生的情况进行了统计，得到如下的列联表.赞同录取办法人数不赞同录取办法人数合计近三年家里没有小升初学生180 40 220 近三年家里有小升初学生140 80 220 合计320 120 440(1)根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否赞同小升初录取办法与近三年是否家里有小升初学生有关；(2)从上述调查的不赞同小升初录取办法人员中根据近三年家里是否有小升初学生按分层抽样抽出人，再从这人中随机抽出人进行电话回访，求人中恰有人近三年家里没有小升初学生的概率.附：，其中20.（12 分）在平面直角坐标系中，点，分别为椭圆：的左右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，不在轴上的动点与动点关于原点对称，且四边形的周长为.求动点的轨迹方程；在动点的轨迹上有两个不同的点，线段的中点为，已知点在圆上，求的最大值，并判断此时的形状.21.（12 分）已知函数（是常数，且）.(1)求函数的最值；若函数在处取得极小值，且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；求证：当时，.22.（分）选修：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；若是直线上的一点，是曲线上的一点，求的最大值.23.（分）选修：不等式选讲已知函数（）.若，解不等式；若不等式恒成立，求实数的取值范围.答案一、选择题：(本大题共12 小题，共60 分)题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A卷答案D C C B B A C A C B C A B卷答案B C D C B C A A D C B A 二、填空题：(本大题共4 小题，共20 分)13.；14.；15.；16.三解答题：(本大题共6 小题，共70 分)17.（12 分）解:由题意得，所以，因为，所以，所以.分由已知及正、余弦定理得整理得，所以.分所以由正弦定理得，所以，由得，所以，且 .分所以，即所以周长的最大值为.分18.（12 分）证明：设与相交于点，连接，因为四边形为菱形，所以，且为的中点，因为，所以又，所以平面.分连接，因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，因为为的中点，所以，又，所以，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 .分设，因 为 四 边 形为 菱 形，所 以，因为为等边三角形，所以所以，所以，设平面的法向量为，则令，得平面的一个法向量为，.分设直线与平面所成的角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.分19.（12 分）解:假设是否赞同小升初录取办法与近三年是否有家里小升初学生无关，的观察值因为所以能在犯错误概率不超过的前提下认为是否赞同小升初录取办法与近三年是否家里有小升初学生有关.分设从近三年家里没有小升初学生的人员中抽出人，从近三年家里有小升初学生的人员中抽出人，由分层抽样的定义可知，解得，.分方法一：设事件为人中恰有人近三年家里没有小升初学生，在抽出的人中，近三年家里没有小升初学生的人，分别记为，近三年家里有小升初学生的人，分别记为，则从这人中随机抽出人有种不同的抽法，所有的情况如下：，.分其中恰有人近三年家里没有小升初学生的情况有种，分别为：，所以人中恰有人近三年家里没有小升初学生的概率为.分方法二：设事件为人中恰有人近三年家里没有小升初学生，在抽出的人中，近三年家里没有小升初学生的有人，近三年家里有小升初学生的有人，则从这人中随机抽出人有种不同的抽法，从这人 中 随 机 抽 出 的人 中 恰 有人 近 三 年 家 里 没 有 小 升 初 学 生 的 情 况 共 有种.分所以人中恰有人近三年家里没有小升初学生的概率为:.分20.（12 分）解:设点，的坐标分别为，由已知可知，又，所以可得，则，.分连接，因为，所以四边形为平行四边形.因为四边形的周长为，所以，.分所以动点的轨迹是以点，分别为左、右焦点，长轴长为的椭圆（除去左、右顶点），可得动点的轨迹方程为因为，所以所以.分当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为 .分21.（12 分）解:由已知可知函数的定义域为；由，得；由，得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减故当时函数取得最小值为，没有最大值.分由题意，得，即，.分，由，得，即，设，则，当时，的变化情况如下表：+方程在上恰有两个不相等的实数根，即.分证明：由和可知当时，即，当时，.分令，则，当，时，即 .分22.（10 分）解:直线的参数方程为（为参数），消去参数，得直线的普通方程为；由，得直线的极坐标方程为，即 .分曲线的极坐标方程为，即，由，得曲线的直角坐标方程为.分在直线上，在曲线上，.分当时，的最大值为 .分23.（10 分）解:解法一：，不等式可化为，或或 .分或或或或 .分，即不等式的解集为 .分解法二：，则 .分在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，如图所示 .分由图可知，不等式的解集为 .分由于 .分所以当时，最小，即，.分所以要使恒成立，只需即可，所以，即实数的取值范围为 .分