高考理科数学一轮复习专题训练：计数原理与分布列(含详细答案解析).pdf

1 第 14 单元计数原理与分布列第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的14 月 30 日，庆祝东北育才学校建校70 周年活动中，分别由东北育才学校校长、教师代表、学生代表、清华大学校长和北京大学校长各1 人做主题演讲，其中演讲顺序要求两位大学校长不相邻，则不同的安排方法为（）A24 种B 48 种C72 种D 96 种【答案】C【解析】采用插空法可得安排方法有32346 1272A A种，本题正确选项C2十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A、B两市代表团）安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A、B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为（）A6B12C16D18【答案】B【解析】如果仅有A、B入住a宾馆，则余下三个代表团必有2 个入住同一个宾馆，此时共有22326C A安排种数，如果有A、B及其余一个代表团入住a宾馆，则余下两个代表团分别入住b，c，此时共有12326C A安排种数，综上，共有不同的安排种数为12，故选 B3在521xx的展开式中，2x项的系数为（）A50B30C30 D 50【答案】B【解析】521xx表示 5 个因式21xx的乘积，在这 5 个因式中，有2 个因式都选x，其余的3 个因式都选1，相乘可得含2x的项；2 或者有 3 个因式选x，有 1 个因式选1x，1 个因式选1，相乘可得含2x的项，故2x项的系数为231552230CCC，故选 B4已知，若，则（）A1 B1C-81 D 81【答案】B【解析】令，得；令，得，所以，即，令，得故选 B 5已知随机变量服从正态分布，若，则为（）A07 B 05 C04 D 035【答案】C【解析】因为，所以2642，所以11(24)(2)0.10.422PP，故选 C6小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为04，在第二个路口遇到红灯的概率为05，在两个路口连续遇到红灯的概率是02某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（）A02 B 03 C04 D 05【答案】D【解析】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B，“小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件C，则()0.4P A，()0.5P B，()0.2P AB，()0.2(|)0.5()0.4P ABP B AP A，故选 D7从某班6 名学生（其中男生4 人，女生2 人）中任选3 人参加学校组织的社会实践活动3 设所选 3 人中女生人数为，则数学期望（）A45B 1 C75D 2【答案】B【解析】因为，所以3436105CPC，214236315C CPC，124236125C CPC，因此1310121555E，故选 B8已知随机变量的分布列如下，则E（）的最大值是（）10 a P 1412a14bA58B1564C14D1964【答案】B【解析】根据分布列的性质的到，所有的概率和为1，且每个概率都介于0 和 1 之间，得到0ba，0，根据公式得到111114444Eabbb，化简得到21144Ebb，根据二次函数的性质得到函数最大值在轴处取，代入得到1564此时18b，经检验适合题意故答案为B9一个盒中装有大小相同的2 个黑球，2 个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（）A37216B3772C29D227【答案】A【解析】要满足题意，共有三种取法：（白黑黑白），（黑白黑白）（黑黑白白），4 其中（白黑黑白）的取法种数为22212433327，（黑黑白白）的取法种数为22211444324，（黑白黑白）的取法种数为22211443318，综上共有21137272418216，故选 A102020 年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出 2 男 2 女共计 4 名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100 米且由 1 名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4 名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2 名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有（）A144 种B 24 种C12 种D 6 种【答案】D【解析】由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有22A2种安排方法，其他两名运动员有22A2种安排方法，共计 22 4 种方法，若甲承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有22A2种安排方法，共计2 种方法，所以中国队共有4+2 6 种不同的安排方法，故选D11若0a，0b，二项式6()axb的展开式中3x项的系数为20，则定积分002d2dabxxx x的最小值为（）A0 B 1 C2 D 3【答案】C【解析】二项式6()axb的展开式的通项为6616CrrrrrTab x，当63,3rr时，二次项系数为3336C20a b，1ab，而定积分0022d2222dababx xx xab，当且仅当ab时取等号，故选C5 12济南市某公交线路某区间内共设置四个站点（如图），分别记为，现有甲、乙两人同时从站点上车，且他们中的每个人在站点下车是等可能的则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为（）A23B34C35D12【答案】A【解析】设事件“甲、乙两人不在同一站下车”，因为甲、乙两人在同在站下车的概率为1133；甲、乙两人在同在站下车的概率为1133；甲、乙两人在同在站下车的概率为1133；所以甲、乙两人在同在一站下车的概率为1113333，则12133P A，故选 A第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13“五一”小长假快到了，某单位安排甲、乙、丙、丁四人于5 月 1 日至 5 月 4 日值班，一人一天，甲的值班只能安排在5 月 1 日或 5 月 4 日且甲、乙的值班日期不能相邻的排法有_种【答案】8【解析】若甲在5 月 1 日值班，则乙只能在，5 月 3 日或 5 月 4 日两天值班一天，剩余两人任意安排，此时有1222C A4，若甲在 5 月 4 日值班，则乙只能在5 月 1 日或 5月 4 日值班一天，此时有1222C A4，则共有种排法，故答案为86 14平面上有12 个不同的点，其中任何3 点不在同一直线上如果任取3 点作为顶点作三角形，那么一共可作 _个三角形（结果用数值表示）【答案】220【解析】根据题意，在12 个点中，任取3 个，有31212 11 10C22032种取法，又由平面的12 个点中，任何3 点不在同一直线上，则可以做220 个三角形，故答案为22015已知二项式62axx展开式中含3x项的系数为160，则实数a的值为 _【答案】2【解析】二项式62axx展开式的通项公式为12 316CrrrrTax，令1233r，解得3r，可得展开中含3x项的系数为336C160a，则实数2a，本题正确结果216若9290129()(1)(1)(1)xaaa xaxaxL，当5126a时，实数a的值为 _【答案】0 或 2【解析】因为9290129()(1)(1)(1)xaaa xaxaxL，将原式变形为911xa，通项为919C11rrrrTxa，5126a对应51x的系数，故得到95r，4r，系数为449C112602aa或故答案为0 或 2三、解答题：本大题共6 个大题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）5 名男生 3 名女生参加升旗仪式：（1）站两横排，3 名女生站前排，5 名男生站后排有多少种站法？（2）站两纵列，每列4 人，每列都有女生且女生站在男生前面，有多少种排列方法？【答案】（1）720；（2）1440【解析】（1）分两步求解：先排前排的3 名女生，有336A种不同的方法；7 再排后排的5 名男生，有55120A种不同的方法由分步乘法计数原理可得共有35356 120720A A种不同的站法（2）将 3名女生分为两组，有13C种方法，然后选择其中的一列将1 名女生排在最前的一个位置上，有12C种方法，然后再从5名男生中选取3 名排在该女生的后边，有35A种方法；然后再排另外一列，将剩余的2 名女生排再该列的前边有22A种方法，再将剩余的2 名男生排在这2 名女生的后边，有22A种方法由分步乘法计数原理可得不同的排列方法有11322325221440C C A A A种18（12 分）已知在3312nxx的展开式中，第6 项为常数项（1）求n；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项【答案】（1）10n；（2）454；（3）2454x，638，245256x【解析】（1）11331331CC2n rrn rrrrrnnTxxxx231C2rnrrnx第 6 项为常数项，=5r时，有203nr，10n（2）令223nr，得1(6)22rn，所求的系数为2210145C24（3）根据通项公式，由题意得：010rrZ，令102()3rk kZ，则1023rk，即1033522krkrZ，k应为偶数，k可取 2，0，-2，2,5,8r，第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项它们分别为222210145C24xx，5510163C28，882102145C2256xx所以有理项为2454x，638，245256x8 19（12 分）随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200 名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：分组频数（单位：名）使用“余额宝”x使用“财富通”y使用“京东小金库”30 使用其他理财产品50 合计1200 已知这 1200 名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160 名（1）求频数分布表中x，y的值；（2）已知 2018 年“余额宝”的平均年化收益率为2.8%，“财富通”的平均年化收益率为4.2%若在 1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7 人，然后从这7 人中随机选取2 人，假设这 2 人中每个人理财的资金有10000 元，这 2 名市民 2018 年理财的利息总和为X，求X的分布列及数学期望注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为3%”即将 100 元钱存入某理财产品，一年可以获得3 元利息【答案】（1）640480 xy；（2）680 元【解析】（1）据题意，得160120080 xyxy，所以640480 xy（2）据640:4804:3，得这被抽取的7 人中使用“余额宝”的有4 人，使用“财富通”的有3 人10000 元使用“余额宝”的利息为10000 2.8%280（元）10000 元使用“财富通”的利息为10000 4.2%420（元）X所有可能的取值为560（元），700（元），840（元）2043272(560)7C CP XC，1143274(700)7C CCP X，2034271(840)7C CCP XX的分布列为9 X560 700 840 P274717所以241560700840680777EX（元）20（12 分）在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A，B，C，D四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务（1）若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；（2）设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量，求的分布列及数学期望E【答案】（1）910；（2）见解析【解析】（1）设A为“甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率”，44245419111010AP AC A（2）0,1,2,3,4,5，每一位同学承担A任务的概率为14，不承担A任务的概率为3450503(0)4124341024PC，5413(11405441024)PC，3225311354(2)1245PC，233531445(3)5124PC，144531415(4)1 2440PC，5551(141025)4PC，故的分布列如下：0 1 2 3 4 5 P 243102440510241355124551215102411024所以4052701356055()1024512512102410244E21（12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4 件作检验，这4 件产品中优质品的件数记为n 如果3n，再从这批产品中任取4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果4n，10 再从这批产品中任取1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望【答案】（1）364；（2）分布列见解析，506.25【解析】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3 件优质品为事件1A，第一次取出的4 件产品全是优质品为事件2A，第二次取出的4 件产品全是优质品为事件1B，第二次取出的1 件产品是优质品为事件2B，这批产品通过检验为事件A，依题意有1122AABA BU，且11AB与22A B互斥，所以1122111222|P AP ABP A BP AP BAP AP BA41113161616264（2）X可能的取值为400，500，800，并且1(800)4P X，1(500)16P X，1111(400)116416P X，故X的分布列如下：X400 500 800 P111611614故1111400500800506.2516164EX22（12 分）山东省高考改革试点方案规定：从2020年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为,A BB CC DD E八个等级 参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%，24%,24%,16%，7%,3%选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到91,100,81,90,71,80,61,70，51,60,41,50，31,40,21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩11 某校2017级学生共1000人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级A的学生原始成绩统计如下成绩93 91 90 88 87 86 85 84 83 82 人数1 1 4 2 4 3 3 3 2 7（1）从物理成绩获得等级A的学生中任取3名，求恰好有2名同学的等级分数不小于95的概率；（2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到1名同学的物理高考成绩等级为B或A结束(最多抽取1000人)，设抽取的学生个数为，求随机变量的数学期望(注：1000460.91.710)【答案】（1）029；（2）见解析【解析】（1）设物理成绩获得等级A的学生原始成绩为x，其等级成绩为y由转换公式931008291xyxy，得9(82)9111yx由9(82)919511yx，得86.987x显然原始成绩满足87x的同学有12人，获得等级A的学生有30人，恰好有2名同学的等级分数不小于95的概率为：2112183302970.291015C CPC（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩为B或A的概率为3%+7%=0.1学生个数的可能取值为1,2,3,1000；12 10.1P，(2)0.9 0.1P，2(3)0.90.1P，L，9989990.90.1P，999(1000)0.9P，其数学期望是：2998999()1 0.12 0.9 0.13 0.90.1999 0.90.1 1000 0.9EL299910001 0.12 0.9 0.1 3 0.90.11000 0.90.1 1000 0.9L299910000.1120.93 0.910000.910000.9L其中：2999120.930.910000.9SL299910000.91 0.92 0.99990.910000.9SL应用错位相减法“式-式”得299910000.110.90.90.91000 0.9SL10001000110.910000.90.1，1000100(10 1000 100)0.9S故10001000()0.1100(10 1000100)0.910000.9E10001010.910