【最新】2020届浙江省宁波市高三下学期高考适应性考试(二模)数学试题(解析版).pdf
第 1 页 共 24 页2020 届浙江省宁波市高三下学期高考适应性考试（二模）数学试题一、单选题1已知全集2,1,0,1,2,3U，集合1,0,1A，1,1,2B，则UUABU痧（）A1,1B2,3C1,0,1,2-D2,0,2,3【答案】D【解析】首先分别求出UAe，UBe，再求UUABU痧即可.【详解】2,2,3UAe，2,0,3UBe，2,0,2,3UUABU痧.故选：D【点睛】本题主要考查集合的补集和并集的运算，属于简单题.2已知复数z是纯虚数，满足12ziai（i为虚数单位），则实数a的值是（）A1B1C2D2【答案】C【解析】由题意设zbi bR且0b，转化条件得2bbiai，进而可得2bab，即可得解.【详解】设zbi bR且0b，则112zibiibbiai，所以2bab，解得2a.故选：C.【点睛】本题考查了纯虚数的概念、复数的运算与复数相等的条件，属于基础题.3已知实数,x y满足约束条件1435xxyyx，则3zxy的最大值是（）第 2 页 共 24 页A6B152C172D253【答案】C【解析】由题意画出可行域，转化目标函数为3yxz，数形结合即可得解.【详解】由题意画出可行域，如图阴影部分所示：目标函数3zxy可转化为3yxz，上下平移直线3yxz，数形结合可知，当直线3yxz过点 A 时，z 取得最大值，由435xyyx可得点9 7,4 4A，所以max97173442z.故选：C.【点睛】本题考查了简单的线性规划，属于基础题.4已知ABCV中角A、B、C所对的边分别是,a b c，则“2222abc”是“ABCV为等边三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】举反例分析充分性,再直接推理必要性再判断即可.【详解】第 3 页 共 24 页当5 23,4,2abc时,满足ABCV三边关系与2222abc,但ABCV不为等边三角形.当ABCV为等边三角形时,2222abc成立.故“2222abc”是“ABCV为等边三角形”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,需要根据题意推导或者举出反例证明充分性与必要性.属于基础题.5已知随机变量X的分布列是（）X101pa13b其中26aba，则E X的取值范围是（）A4,19B2 1,9 3C1 5,3 9D1 4,3 9【答案】B【解析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得1130026abababa，进而可得2192b，由离散型随机变量期望公式即可得解.【详解】由题意可得1130026abababa，解得2192b，所以1222 102,3339 3EXabbbb.第 4 页 共 24 页故选：B.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与期望公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6函数21cos21xxyx的部分图像大致为（）ABCD【答案】A【解析】令21cos021xxfxyxx，由fxfx可排除 B、D；由当0,2x时，0fx，可排除 C；即可得解.【详解】令21cos021xxfxyxx，则1121212coscoscos1211212xxxxxxfxxxxfx，所以函数fx为奇函数，可排除B、D；当0,2x时，cos0 x，21021xx，所以0fx，故排除 C.故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性与三角函数性质的应用，属于基础题.7设,a bR，无穷数列na满足：1aa，211nnnaaba，*nN，则下列说法中不正确的是（）第 5 页 共 24 页A1b时，对任意实数a，数列na单调递减B1b时，存在实数a，使得数列na为常数列C4b时，存在实数a，使得na不是单调数列D0b时，对任意实数a，都有201820202a【答案】D【解析】当1b时，由2110nnnaaa可判断 A；当1b时，由21nnnaaa可得1na，即1a时，数列na为常数列，可判断 B；当0a、4b时，由213aaa可判断C；若0b，可得210nnaa，进而可得20182018222202021aaa，即可判断D；即可得解.【详解】对于 A，当1b时，211nnnaaa，则2110nnnaaa即1nnaa，所以对于任意实数a，数列na单调递减，故A 正确；对于 B，当1b时，211nnnaaa，若1nnaa，则21nnnaaa即1na，当1a即11a时，数列na为常数列，故B 正确；对于 C，当0a、4b时，2141nnnaaa，10a，21a，32a，213aaa，故数列na不是单调数列，故C 正确；对于 D，当0b时，211nnaa，所以210nnaa，所以241nnaa，241nnaa，所以201820182242220202019201821aaaaa，当21a时，201822018202022a，故 D 错误.故选：D.【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.8若正实数x、y满足22xyxy，则x的取值范围是（）A4,20B16,20C2,10D2,2 5第 6 页 共 24 页【答案】C【解析】因为正实数x、y满足22xyxy，故要保证2xy有意义，可得20 xy.利用换元法，令ty(0t)，将22xyxy化简，可得225()420yxyxx，结合方程的根的特征，即可求得答案.【详解】Q正实数x、y满足22xyxyQ保证2xy有意义，则20 xy 令ty(0t)，将t代入可得：22tx，结合0t解得：02tx将22xyxy平方可得：整理可得：2442xxyxy故：225()420yx yxx 将ty代入，可得：225420txtxx这是一个关于t的一元二次方程，则方程有两个正根(含相等)2221 21620201205xxxt txx解得：210 x故2,10 x故选：C【点睛】本题解题关键是利用还原法，将所给等式转化一元二次方程，利用一元二次方程知识求解变量的范围，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9 点M在椭圆222210 xyabab上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点，与y轴相交于,P Q，若MPQV是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）第 7 页 共 24 页A620,2B20,2C23,22D2,12【答案】A【解析】因为圆M与x轴相切于焦点F，不妨设(,)M c y，则(因为相切，则圆心与F的连线必垂直于x轴)，根据题意画出大致图象，根据几何关系求得PN，NQ，根据PMQ为钝角，则45PMNQMN，结合已知，即可求得椭圆离心率的取值范围.【详解】Q圆M与x轴相切于焦点F，不妨设(,)M c y，则(因为相切，则圆心与F的连线必垂直于x轴)根据题意画出大致图象：M在椭圆上，则2bya或2222byabca圆的半径为2ba过M作MNy轴与N，则,PNNQ MNc222bPNNQcaQPMQ为钝角，则45PMNQMN即PNNQMNc得222bcca，即4222bcca第 8 页 共 24 页得222222acca，即2222222acc ec可得：22140ee即：42410ee即：22230e即：223(01)ee故：232e6202e620,2e选故：A.【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率范围问题，解题关键是掌握椭圆离心率定义，要注意椭圆的离心率范围是：01e，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10在四面体SABC中，点P在线段SA上运动（不含端点）.设PA与平面PBC所成角为1，PB与平面 SAC 所成角为2，PC与平面ABC所成角为3，则（）A213B231C312D321【答案】D【解析】不妨设1,0,0A，0,1,0B，0,0,1C，1,1,1S，APASu uu ruu u r，01，然后算出122sin443n PAnPAr uu u rruu u r，222sin333，322sin333即可.【详解】第 9 页 共 24 页不妨设1,0,0A，0,1,0B，0,0,1C，1,1,1S，APASuu u ruu u r，01所以0,1,10,APASu uu ru uu r，所以1,P所以0,1,1,1,1PAPBPCu uu ruu u ru uu r设平面PBC的法向量为,nx y zr则有00n PBn PCu uu rru uu rr，即1010 xyzxyz，即12yzxy所以可取1 2,1,1nr所以122sin443n PAnPAr uu u rruu u r，同理可得222sin333，322sin333因为22244333370，22所以123sinsinsin，故123，故选：D【点睛】对于选择题，特殊化处理是解答本题的关键.二、双空题115121axxx的展开式中各项系数的和为2，则实数a_，该展开式中常数项为 _.【答案】110第 10 页 共 24 页【解析】由5121axxx的展开式中各项系数的和为2求出1a，然后写出521x的展开式的通项即可算出答案.【详解】因为5121axxx的展开式中各项系数的和为2所以令5121axxx中的1x可得12a，所以1a因为521x的展开式的通项为5551552112,0,1,2,3,4,5rrrrrrrrTCxCxr所以5121xxx展开式中常数项为44511210C故答案为：1，10【点睛】本题考查的是二项式定理的相关知识，属于基础题.12一个四面体的三视图如图所示（单位 cm），则该四面体体积（单位 cm3）为 _，外接球的表面积（单位cm2）为_.【答案】634【解析】根据三视图画出原图，由此计算出几何体的体积，并计算出外接球的表面积.【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示四面体1ABCD，将其放置在长方体1111ABCDA B C D中，所以几何体的体积为11114336332BCDSAA.四面体1ABCD的外接球即长方体1111ABCDA B C D的外接球，外接球的直径为第 11 页 共 24 页222143334AC，所以外接球的表面积为22114342ACAC.故答案为：（1）6；（2）34.【点睛】本小题主要考查由三视图求几何体的体积，考查几何体外接球表面积的求法，属于基础题.13已知函数sin0,02fxx的图像关于点,04对称，关于直线4x对称，最小正周期,2T，则T_，fx的单调递减区间是 _.【答案】23225,312312kkkZ【解析】根据fx的对称性和T的范围，求得,T，根据三角函数单调区间的求法，求得fx的单调递减区间.【详解】由于fx的最小正周期,2T，0，所以2,242.由于fx图像关于点,04对称，关于直线4x对称，第 12 页 共 24 页所以11224,42kk kZk，两式相加得1122,22kkk kZ，由于02，02，所以224.则11141,44kkkZ，结合24可得3，所以sin 34fxx.所以fx的最小正周期为23T.由3232242kxk，解得225312312kkx，所以fx的减区间为225,312312kkkZ.故答案为：（1）23；（2）225,312312kkkZ【点睛】本小题主要考查根据三角函数的对称性、周期性求参数，考查三角函数单调区间的求法，考查运算求解能力，属于中档题.14已知过抛物线21:20Cypx p焦点F的直线与抛物线交于,A B两点，其中4,4 2A，双曲线22222:10,0yxCabab过点,A B，则p的值是 _，双曲线2C的渐近线方程是_.【答案】42105yx【解析】根据A点坐标求得p，由此求得抛物线方程，进而求得B点坐标，将,A B坐标代入双曲线的方程，由此求得,a b，进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】由于A在抛物线1C上，所以242244pp.所以抛物线方程为28yx，其第 13 页 共 24 页焦点坐标为2,0，所以直线AB的方程为420222242yxx.由22 228yxyx，解得11442xy或2212 2xy，所以1,2 2B.将,A B坐标代入双曲线2C的方程得222232161811abab，解得4 10,25ab，所以双曲线的渐近线方程为4 102 10525ayxxxb.故答案为：（1）4；（2）2105yx【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查双曲线的方程的求法，考查双曲线的渐近线方程，属于中档题.三、填空题15某会议有来自6个学校的代表参加，每个学校有3名代表.会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席团，不同的选取方法数为_.【答案】540【解析】根据分步计数原理以及组合数的计算，求得不同的选取方法数.【详解】第一步：从6个学校中选出3个学校，方法数有3620C；第二步，从选出的3个学校中各选取1个代表，方法数有33327；根据分步计数原理可知，总的方法数有20 27540种.故答案为：540.【点睛】本小题主要考查分步计数原理，考查组合数的计算，属于基础题.16函数123,013log,132xxfxxx，22g xxx，若ygfxt恰有3个零点，则实数t的取值范围是_.【答案】1,10第 14 页 共 24 页【解析】设mfx，则g mt.由fx图像知，要使得恰有三个零点，则方程g mt存在两个实根12,m m，满足113m，23m或者113m，221m，结合g x的性质，得110t.【详解】画出fx的图像如下图所示.设mfx，则g mt.由fx图像知，要使得恰有三个零点，则方程g mt存在两个实根12,m m，满足“113m，23m”或者“113m，221m”.由于2221g xxxxx，所以g x在1,4上递减，在1,4上递增，两个零点为1210,2xx，最小值为1148g.由于210,11,315ggg.所以实数t的取值范围是110t，即1,10故答案为：1,10【点睛】本小题主要考查函数零点问题的研究，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.17已知矩形ABCD中，4AB，3AD，动点M、N分别在射线CB、CD上运动，且满足22111CMCN.对角线AC交MN于点P，设APxAByADuuu ru uu ruu u r，则xy的最大值是 _.【答案】85【解析】由条件可知2222CMCNCMCN，故MNCMCN，则点C到MN第 15 页 共 24 页的距离为1，即1CP，故4AP，则8552APxy.【详解】由于22111CMCN，所以2222CMCNCMCN，所以222MNCMCN，所以MNCMCN，所以点C到MN的距离为1，所以1CP，而22345AC，所以4AP，设CAB，则34sin,cos55=，所以sin,cosxAByADAPAP，则15xyAP.则21185555APxyAPAP.故答案为：85【点睛】本小题主要考查向量在几何计算中的运用，属于中档题.四、解答题18已知ABCV中角A、B、C所对的边分别是,a b c,且2 cos3coscosaAcBbC.(1)求A的值；(2)若1a且3sincos2BC,求ABCV的面积.【答案】(1)6A(2)32ABCSV【解析】(1)根据正弦定理边化角,再利用三角恒等变换以及三角函数值求解A即可.第 16 页 共 24 页(2)利用6A与内角和的关系,将3sincos2BC化简成关于角C的表达式,再利用三角恒等变换结合三角形内角的范围求解即可.【详解】(1)由2 cos3coscosaAcBbC,2sincos3 sincossincosAACBBC故2sincos3sinAABC即2sincos3 sinAAA,sin0A,3cos2A,而0,A,6A.(2)由3sincos2BC,6A得3sincos62CC,即333sincos222CC33sin32C,5(0,)6C,536C,2C,3B.故sinsinbaBA,即3sin231sin2aBbA.又2C,故131322ABCSV.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理进行边角互化求解角度的问题,同时也考查了三角恒等变换在解三角形中的运用.属于中档题.19已知三棱柱111ABCA B C中，M、N分别是1CC与1A B的中点，1ABA为等边三角形，1CACA，112A AA MBC.第 17 页 共 24 页（）求证：/MN平面ABC；（）（i）求证：BC 平面11ABB A；（ii）求二面角AMNB的正弦值.【答案】（）见解析（）（i）见解析（ii）4 7035【解析】（）由/MP BC推出/MP平面ABC，由/PNAB推出/NP平面ABC，则平面/PMN平面ABC，由MN平面 PMN 即可得证；（）（i）勾股定理证明ABBC、1A BBC，即可推出 BC 平面1ABA；（ii）建立空间直角坐标系，求出平面AMN，平面BMN的法向量代入121212cos,nnn nnnu r u u ru r u u ru ruu r即可求得两向量夹角的余弦值，再求出正弦值即可.【详解】（）取1BB中点P，连接 MP，则/MP BC，因为BC平面 ABC，MP平面 ABC，所以/MP平面ABC，因为 N、P 分别11,A B BB的中点，所以11/PN A B，又11/A BAB，所以/PNAB，因为AB平面 ABC，PN平面 ABC，故/NP平面ABC，因为NPMPP，NP平面 PMN，MP平面 PMN，于是平面/PMN平面ABC，又MN平面 PMN，所以/MN平面ABC.（）（i）不妨设1BC，则112A AA M.依题意111CACAC A，故1A M为等腰11ACC底边上的中线，则11A MCC.于是2211115ACACAMMC，因为222ABBCAC，所以ABBC，同理22211A BBCAC，则1A BBC，又1ABA BB，AB平面1ABA，1A B平面1ABA，所以 BC 平面1ABA.（ii）方法一：因为BC 平面1ABA，AN平面1ABA，所以ANBC，因为1ABA为等边三角形且N为1A B的中点，所以1ANBA，又1BCBABI,BC平面1A BC，1BA平面1A BC，第 18 页 共 24 页所以AN平面1A BC，因为AN平面AMN，故平面AMN平面1A BC.设1A CAMQI，则QN为平面AMN与平面1A BC的交线.过B作BHQN于点H，则BH平面AMN.又过B作BGMN于点G，则MN平面BGH，BGH即为二面角AMNB的平面角.在BMN中，2BMMN，1BN，则78BG；在BQN中，2455BHBN.所以324 70sin3535BHBGHBG，即二面角AMNB的正弦值是4 7035.方法二：以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则0,0,0B，1,3,0A，13,022N，1,0,1M，13,122NMuuuu r，2,3,1AMuuuu r，1,0,1BMuu uu r.设平面AMN的法向量1111,nx y zu r，平面BMN的法向量2222,nxy zuu r.由1111111113022230 xyznNMnAMxyzu vuuu u vu vuuu u v，可取11,3,1nu r；由2222222130220nNMxyznBMxzu u vuuu u vu u vuuu u v，可取231,13nu u r.于是12121213cos,35753nnn nnnur u u rur u u ruruu r，所以二面角AMNB的正弦值是324 703535.第 19 页 共 24 页【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的判定及证明，二面角的求法，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20已知正项数列na的首项11a,其前n项和为nS,且na与1na的等比中项是2nS,数列nb满足：122.2nnnabbba.(1)求23,aa,并求数列na的通项公式；(2)记nnnbca,*nN,证明：121.2 11ncccn.【答案】(1)22a,33a,*nan nN.(2)见解析【解析】(1)由题可得12nnnSa a,再根据通项与前n项和的关系求得递推公式22nnaa,再根据12,a a的值求解通项即可.(2)根据通项与前n项和的关系求出nb的通项公式,再代入可得112ncn nn再利用裂项放缩法或者利用数学归纳法证明即可.【详解】(1)依题意,12nnnSa a由1122aa a,12232 aaa a得22a,33a.于是有12nnnSa a,1122nnnSaa,两式相减可得1122nnnnaaaa.约去正项1na可得22nnaa.又11a,22a,所以na是以 1为首项,1 为公差的等差数列.故*nan nN.第 20 页 共 24 页(2)依题意12211.22222nnnanbbbann,当2n时,12111.21nbbbn,两式相减即得1111212nbnnnn.另外113126aba亦符合上式,所以112nbnn*nN.1212122nnnbcan nnn nnn证一：2121121111nnncnnn nn nnn所以12111111.21.2 122311ncccnnn.证二：（1）1n时命题成立.（2）假设nk时命题成立,即121.2 11kccck那么1211111.2 12 12 1212kkkccccckkk221111121212312312kkkkkkkkkkkk1201231221kkkkkkk即当1nk时命题也成立.综合（1）（2）对任意*nN命题均成立.【点睛】本题主要考查了根据数列通项与前n项和的关系求得递推公式与通项公式的方法,同时也考查了数列不等式的问题,包括裂项放缩以及数学归纳法的应用.属于难题.21已知椭圆2222:10 xyabab的焦点12F F的距离为2 3，过2F且垂直于x第 21 页 共 24 页轴的直线交椭圆于,A B两点，且1AB.（）求椭圆的方程；（）若存在实数t，使得经过相异两点24,Pt th和22,Qtth的直线交椭圆所得弦的中点恰为点Q，求实数h的取值范围.【答案】（）2214xy（）12h【解析】（）根据题意得到2222213baabc，解得答案.（）计算直线l的方程22tyxht，联立方程得到2221htt，利用点差法得到11tht，故1h，0t，变换得到2120h th，解得答案.【详解】（）根据题意：22 3c，221ba，即2222213baabc，解得2a，故1b，椭圆的方程为2214xy.（）过P、Q两点的直线l的斜率为2222tttt，直线l的方程22tyxht，代入2214xy可得222240 xtxht，整理可得2222214410txt htxht，依题意2222221616 110thttht，即2221htt.若设直线l交椭圆于点11,x y，22,xy，则依题意有212222221t htxxtt，经整理可得211th t，0t，即11tht.由题意1t，故由可知1,22,hU，再结合可知：若0t，3h，则222222223331httttt，不成立；第 22 页 共 24 页故1h，0t，将代入消去2t，可得22111hth t，再次将代入，可得2111hh th t，即2120h th.又1h，0t，故解得12h.【点睛】本题考查了椭圆方程，求参数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力，利用点差法是解题的关键.22已知实数0a，函数ln|1xfxaxa.（）证明：对任意0,a，532fxa恒成立；（）如果对任意0,x均有xafxxa，求a的取值范围.【答案】（）证明见解析（）0,1【解析】（）求导得到函数23max4ln 41ln 43ln1fxfaaa，故只需证5ln 43ln132aa，设33ln3ln 42aaa，求导得到max3ln 42a，得到证明.（）对任意0,x有意义，0a，令1x可得111ln1aaaa，所以01a，再证明对任意0,1a，任意0,x，不等式恒成立，考虑关于a的函数1lnxxam axaaxa，根据其单调性得到11ln01xn xxxx，计算函数单调性得到证明.【详解】（）易知fx的定义域为()0,+?，若0,a，则ln1xfxaxa，1111122fxxaa xxx，则fx在20,4a单调增，在24,a单调减，所以23max4ln 41ln 43ln1fxfaaa.第 23 页 共 24 页要证532fxa恒成立，只需证5ln 43ln132aa.令33ln3ln 42aaa，0,a.131aa，函数在()0,1上单调递增，在()1,+?上单调递减，故max31ln 42a，由于3ln 402，0a，即532fxa恒成立.（）xafxxa，即1ln|xxaaxaxa.（）1（）对任意0,x有意义，当x时，1ln|ax，0a；2 若（）对任意0,x恒成立，则01a.特别地，在（）中令1x可得111ln1aaaa，故122ln01aaa.注意到122ln1h aaaa在0,a单调增，且10h，所以0h a当且仅当01a.3 下面证明：对任意0,1a，任意0,x，不等式（）恒成立.首先，将正实数x给定，考虑关于a的函数1lnxxam axaaxa，注意到122lnxm axaxaxa在0,1a单调增，故111ln1xm amxxx.下面只需说明：11ln01xn xxxx对于0,x恒成立即可.显然10n，故只需说明n x在()0,1单调增，在1,x单调减.22222111122121xx xn xxxxx x当1x时，53315322222222121 121x xxxxxx xx，第 24 页 共 24 页故0n x；当01x时，5312222222222112121xxxxxxxxx x，故0nx.因此n x在()0,1单调增，在1,x单调减.综上可知，实数a的取值范围是0,1.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，证明不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力，先算后证是解题的关键.
