2020年江苏省南京市十校高考数学模拟试卷(5月份)(解析版).pdf

2020年南京市十校高考数学模拟试卷（5 月份）一、填空题（共14 小题）.1已知集合Ax|x22x 0，B x|x 1，则 AB2已知复数z（a+2i）（1+i）的实部为0，其中 i 为虚数单位，a 为实数，则?=3如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3 名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为4运行如图所示的伪代码，则输出的S的值为5某兴趣小组有2 名女生和3 名男生，现从中任选2 名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为6设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S52S10，则?5+4?15?10-?5=7函数 f（x）为定义在R 上的奇函数，且满足f（x）f（2x），若 f（1）3，则 f（1）+f（2）+f（50）8将函数f（x）2sin（x+?6）sin（?3-x）图象向左平移（0）个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为9双曲线?2?2-?2?2=1（a0，b0）的左，右焦点分别为F1，F2，过 F2且与 x 轴垂直的直线与双曲线交于A，B 两点，若F1F2=32AB，则双曲线的渐近线方程为10如图，五边形ABCDE 由两部分组成，ABE 是以角 B 为直角的直角三角形，四边形BCDE 为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为11在平行四边形ABCD 中，AD2AB6，DAB 60，?=12?，?=12?若?=2?，则?=12已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c若 a3bcosC，则1?+1?+1?的最小值为13已知圆O：x2+y24，点 A（2，2），直线l 与圆 O 交于 P，Q 两点，点E 在直线 l 上且满足?=2?若 AE2+2AP248，则弦 PQ 中点 M 的横坐标的取值范围为14函数 f（x）（x33a2x+2a）?（ex1）的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是二、解答题：本大题共6 小题，共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 bsinAasin（2?3-B）（1）求角 B 的大小；（2）若 a2，c3，求 sin（AC）的值16如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 BCC1B1是矩形，平面 ACC1A1平面 BCC1B1，M 是棱 CC1上的一点（1）求证：BCAM；（2）若 N 是 AB 的中点，且CN平面 AB1M，求证：M 是棱 CC1中点17疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形 OABC 与扇形 OCD 组成，OA30 米，AB50 米，COD=?6，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角EOF=?3，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧 CD 上，点F 在线段AB上设 FOC （1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于 的函数关系式，并求出tan的取值范围；（2）求监控区域面积S 最大时，角的正切值18（16 分）已知椭圆C：?2?2+?2?2=1（ab0）的左焦点为F1，点 A，B 为椭圆的左、右顶点，点 P 是椭圆上一点，且直线 PF1的倾斜角为?4，PF1 2，已知椭圆的离心率为 22（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 M，N 为椭圆上异于A，B 的两点，若直线 BN 的斜率等于直线AM 斜率的 2 倍，求四边形AMBN 面积的最大值19（16 分）已知函数f（x）ax2+bx+c，（a，b，c R），g（x）ex（1）若 ab 1，c 1，求函数h（x）=?(?)?(?)在 x 1处的切线方程；（2）若 a1，且 x1 是函数 m（x）f（x）g（x）的一个极值点，确定m（x）的单调区间；（3）若 b2a，c2，且对任意x0，?(?)?(?)2x+2 恒成立，求实数a 的取值范围20（16 分）设数列 an（任意项都不为零）的前 n 项和为 Sn，首项为 1，对于任意n N*，满足 Sn=?+12（1）数列 an的通项公式；（2）是否存在k，m，n N*（k m n），使得 ak，am，an成等比数列，且16ak，am4，an2成等差数列？若存在，试求k+m+n 的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列 bn，bn=?，?=?-?，?-?，?=?，?（q0），若由 bn的前 r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值三、数学附加题（满分10 分，考试时间30 分钟）【选做题】在A，B，C 三小题中只能选做两题，每小题10 分，共20 分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤选修 42：矩阵与变换21求椭圆C：?216+?24=1 在矩阵 A=14?12对应的变换作用下所得曲线C的方程选修 4-4：坐标系与参数方程22在极坐标系中，已知圆C 经过点P（?，?4），圆心为直线 sin（+?3）=32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程选修 4-5：不等式选讲23已知正数a，b，c 满足 abc1，求（a+2）（b+2）（c+2）的最小值六、【必做题】第22，23 题，每小题10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤24如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD 60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点（1）求异面直线A1M 与 C1E 所成角的余弦值；（2）求二面角AMA1N 的平面角的正弦值25已知数列 an满足 anm+?+112+?+2222+?+3323+?+?+?2?，n N*，其中 m 为常数，a24（1）求 m，a1的值；（2）猜想数列 an的通项公式，并证明参考答案一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分1已知集合Ax|x22x 0，B x|x 1，则 ABx|x2【分析】求出集合A，B，由此能求出AB解：集合Ax|x22x0 x|0 x2，B x|x1，ABx|x2故答案为：x|x22已知复数z（a+2i）（1+i）的实部为0，其中 i 为虚数单位，a 为实数，则?=4i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0 求得 a 值，则答案可求解：z（a+2i）（1+i）（a2）+（a+2）i 的实部为0，a20，即 a2，则 z4i，?=-?故答案为：4i3如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3 名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为143【分析】由茎叶图数据分别求出甲乙两组的方差，比较大小解：由已知可得甲的平均成绩为88+92+963=92，方差为13（9288）2+（9292）2+（9692）2=323；乙的平均成绩为90+91+953=92，方差为13（9290）2+（9291）2+（9592）2=143，所以方差较小的那组同学成绩的方差为143故答案为：1434运行如图所示的伪代码，则输出的S的值为25【分析】模拟运行伪代码，即可得出运行后输出的S值解：模拟运行如图所示的伪代码，如下；I1，S1；I3，S4；I5，S9；I7，S16；I9，S25；所以输出的S 25故答案为：255某兴趣小组有2 名女生和3 名男生，现从中任选2 名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为710【分析】现从中任选2 名学生去参加活动，基本事件总数n=?=?，至多有一名男生包含的基本事件个数m=?+?=7，由此能求出至多有一名男生的概率解：某兴趣小组有2 名女生和3 名男生，现从中任选2 名学生去参加活动，基本事件总数n=?=?，至多有一名男生包含的基本事件个数m=?+?=7，则至多有一名男生的概率为p=?=710故答案为：7106设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S52S10，则?5+4?15?10-?5=8【分析】由等比数列 an的前 n 项和为 Sn，S52S10，解得 q5=-12由此能求出?5+4?15?10-?5的值解：等比数列an的前 n 项和为 Sn，S52S10，设公比为q，且 q 1，?1(1-?5)1-?=2?1(1-?10)1-?，解得 q5=-12?5+4?15?10-?5=?1(1-?5)1-?+4?1(1-?15)1-?1(1-?10)1-?-?1(1-?5)1-?=1-?5+4(1-?15)1-?10-(1-?5)=1+12+4(1+18)1-14-(1+12)=-8故答案为：87函数 f（x）为定义在R 上的奇函数，且满足f（x）f（2x），若 f（1）3，则 f（1）+f（2）+f（50）3【分析】根据条件结合函数的奇偶性，求出函数的周期，结合函数的周期以及等量关系进行转化求解即可解：函数f（x）为定义在R 上的奇函数，且满足f（x）f（2x），f（x）f（2 x）f（x2），即 f（x+2）f（x），则 f（x+4）f（x），则函数 f（x）的周期为4，f（1）3，f（0）0，f（2）f（0）0，f（3）f（1）f（1）3，f（4）f（0）0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）3+03+00，则 f（1）+f（2）+f（50）f（1）+f（2）+12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）3+03，故答案为：38将函数f（x）2sin（x+?6）sin（?3-x）图象向左平移（0）个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为?12【分析】利用三角函数的倍角公式进行化简，利用三角函数的平移关系求出函数的解析式，结合偶函数的性质进行求解即可解：f（x）2sin（x+?6）sin（?3-x）2sin（x+?6）cos（x+?6）sin（2x+?3），将 f（x）图象向左平移（0）个单位，得到 ysin2（x+）+?3sin（2x+2+?3），函数为偶函数，2+?3=k+?2，得 2k+?6，得 =12k+?12，k Z，0，当 k0 时，最小，最小为=?12，故答案为：?129双曲线?2?2-?2?2=1（a0，b0）的左，右焦点分别为F1，F2，过 F2且与 x 轴垂直的直线与双曲线交于A，B 两点，若 F1F2=32AB，则双曲线的渐近线方程为y=?【分析】由题意F1F2=32AB，根据双曲线的通径公式求得A 点坐标，代入双曲线的方程求解即可解：双曲线?2?2-?2?2=1（a0，b0）的左，右焦点分别为F1，F2，过 F2且与 x 轴垂直的直线与双曲线交于A，B 两点，若 F1F2=32AB，可得 A（c，2 33?），可得：?2?2-4?23?2=?，c2 a2+b2，可得?2?2=?，所以?=?，所以双曲线的渐近线方程为：y=?故答案为：y=?10如图，五边形ABCDE 由两部分组成，ABE 是以角 B 为直角的直角三角形，四边形BCDE 为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为 33【分析】通过求解圆锥的侧面积与圆柱的侧面积，求出棱锥的高，然后求解圆锥和圆柱的体积之比解：五边形 ABCDE 由两部分组成，ABE 是以角 B 为直角的直角三角形，四边形 BCDE为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，设正方形的边长为x，则 4x x=12 4 x?AE，AE2x，所以 AB=?x，所以：圆锥和圆柱的体积之比为：13?2?3?2?=33故答案为：3311在平行四边形ABCD 中，AD2AB6，DAB 60，?=12?，?=12?若?=2?，则?=21【分析】以A 为原点，AD 为 x 轴，AD 的垂线为y 轴建立坐标系，通过平面几何中的简单计算可分别求出A、B、D、F、E 和 G 的坐标，再利用平面向量的线性运算和数量积坐标运算即可得解解：以 A 为原点，AD 为 x 轴，AD 的垂线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A（0，0），B（32，3 32），D（6，0），F（72，3 32），E（132，32），设点 G 的坐标为（x，y），?=2?，(?-72，?-332)=?(132-?，32-?)，解得?=112，?=536，?(112，536)?=(112，536)?(92，-332)=994-15312=?故答案为：2112已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c若 a3bcosC，则1?+1?+1?的最小值为273【分析】根据正弦定理求得sinA3sinBcosC，即可求得tanC2tanB，又 A+B+C，可得 tan Atan （B+C）=3?2?2?-1，从而化简所求，由基本不等式即可得出答案解：因为a3bcosC，所以 sinA3sinBcosC，可得 sin（B+C）3sinBcosC，可得 sinBcosC+cosBsinC 3sinBcosC，所以 cosBsinC2sinBcosC，可得 tanC2tanB，所以 tan Atan （B+C）tan（B+C）=-?+?1-?=3?2?2?-1，所以1?+1?+1?=2?2?-13?+1?+12?=4?2?+76?=2?3+76?22?3?76?=273，（当且仅当2?3=76?，即 tan B=72时取“”）故答案为：2 7313已知圆O：x2+y24，点 A（2，2），直线l 与圆 O 交于 P，Q 两点，点E 在直线 l 上且满足?=2?若 AE2+2AP248，则弦 PQ 中点 M 的横坐标的取值范围为（-1-72，-1+72）【分析】由题意可得M，Q 为线段EP 的三等分点，首先证明三角形的中线长定理，可推得 AM2+2QM216，由垂径定理可得AM2+2（4OM2）16，所以 AM22OM28，设 M（x，y），求得M 的轨迹方程，考虑M 在圆 O 内，求得分界点的横坐标，进而得到所求横坐标的范围解：点 E 在直线 l 上且满足?=2?可得 M，Q 为线段 EP 的三等分点，先证明在三角形ABC 中，AM 为边 BC 上的中线，即?=12（?+?），可得?2=14（?2+?2+2?）=14（?2+?2+?2+?2-?2），则 AB2+AC22AM2+2BM2，在三角形AEP 中，可得AE2+AM22AQ2+2QM2，AQ2+AP22AM2+2QM2，则 AE2+2AP2（2AQ2+2QM2 AM2）+2AP22（AQ2+AP2）+2QM2AM22（2AM2+2QM2）+2QM2 AM23AM2+6QM248，即 AM2+2QM216，即 AM2+2（4 OM2）16，所以 AM22OM28，设 M（x，y），可得（x2）2+（y2）22（x2+y2）8，化为 x2+y2+4x+4y0，可令 x2+y24，联立可得2x2+2x30，解得 x=-1 72，所以由 M 在圆 O 内，可得M 的横坐标x（-1-72，-1+72）故答案为：（-1-72，-1+72）14函数 f（x）（x33a2x+2a）?（ex1）的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是1，0）（0，1【分析】先注意到当x0 时，ex10；当 x 0 时，ex 10，且 f（0）0，设 g（x）x33a2x+2a，则 g（x）3x23a2 3（x+a）（xa），对 a 分情况讨论，得到函数g（x）的单调性和极值，由函数f（x）g（x）?（ex1）的图象恰好经过三个象限，可得到函数g（x）极值的正负，从而求出a 的取值范围解：当 x0 时，ex10；当 x0 时，ex10，且 f（0）0，设 g（x）x33a2x+2a，则 g（x）3x23a23（x+a）（xa），当 a0 时，g（x）0 恒成立，且只有g（0）0，函数 g（x）在 R 上单调递增，又g（0）0，当 x0 时，g（x）0，f（x）0；当 x0 时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）的图象只经过第一象限和第二象限，不符合题意；当 a0 时，令 g（x）0，得 x a，当 x（，a）和（a，+）时，g（x）0，函数 g（x）单调递增；当x（a，a）时，g（x）0，函数 g（x）单调递减，函数 g（x）的极大值为g（a）2a3+2a0，极小值为g（a）2a3+2a函数 f（x）g（x）?（ex1）的图象恰好经过三个象限，g（a）2a3+2a0，解得：1a1，又 a0，0a1；当 a0 时，令 g（x）0，得 x a，当 x（，a）和（a，+）时，g（x）0，函数g（x）单调递增；当x（a，a）时，g（x）0，函数 g（x）单调递减，函数 g（x）的极大值为g（a）2a3+2a，极小值为g（a）2a3+2a0，函数 f（x）g（x）?（ex1）的图象恰好经过三个象限，g（a）2a3+2a0，解得：1a1，又 a0，1a 0，终上所述，实数a 的取值范围是：1，0）（0，1，故答案为：1，0）（0，1二、解答题：本大题共6 小题，共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 bsinAasin（2?3-B）（1）求角 B 的大小；（2）若 a2，c3，求 sin（AC）的值【分析】（1）先利用正弦定理将等式边化角，约分掉 sinA，根据角 B 的范围直接得到B的关系求解；（2）先利用余弦定理求出b，然后再利用余弦定理求出sinA、cosA，最后借助于内角和定理将 sin（AC）化归为A 的三角函数求解即可解：（1）由正弦定理bsinAasin（2?3-B）可化为：?=?(2?3-?)，又 B（0，），故 sinA0所以?=?(2?3-?)0，?，2?3-?(?，?)，?=2?3-?或?+(2?3-?)=?(舍)，故?=?3（2）由（1）知?=?3，?=2?3-?由余弦定理得b2a2+c22accosB7，?=?由?=?得2?=732，解得?=37，结合?，?=27，所以 sin2A2sinAcosA=437，?=?-?=17所以 sin（AC）sin（A（2?3-?）sin（?-2?3）=-12?-32?=-12437-3217=-531416如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 BCC1B1是矩形，平面 ACC1A1平面 BCC1B1，M 是棱 CC1上的一点（1）求证：BCAM；（2）若 N 是 AB 的中点，且CN平面 AB1M，求证：M 是棱 CC1中点【分析】（1）由侧面BCC1B1是矩形，得BCCC1，再由面面垂直的性质可得BC平面 ACC1A1，得到 BC AM；（2）取 AB1的中点 H，连接 NH，HM，由三角形的中位线定理可得NH BB1，NH=12?，由已知证明CM，NH 共面，再由线面平行的性质可得CNMH，得到四边形CNHM 为平行四边形，则CMNH，CMNH，从而得到CM=12?=12?，即 M 是棱 CC1中点【解答】（1）证明：侧面BCC1B1是矩形，BCCC1，又平面 ACC1A1平面 BCC1B1，而平面ACC1A1平面 BCC1B1CC1，BC?平面 BCC1B1，BC平面 ACC1A1，又 AM?平面平面ACC1A1，BC AM；（2）取 AB1的中点 H，连接 NH，HM，N 是 AB 的中点，NH BB1，NH=12?，又在三棱柱ABC A1B1C1中，BB1CC1，且 BB1CC1，M 是棱 CC1上的一点，CMNH，即 CM，NH 共面，又 CN平面 AB1M，CN?平面 CNHM，而面 CNHM 平面 AB1MMH，CNMH 四边形CNHM 为平行四边形，则CMNH，CMNH，CM=12?=12?，即 M 是棱 CC1中点17疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形 OABC 与扇形 OCD 组成，OA30 米，AB50 米，COD=?6，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角EOF=?3，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧 CD 上，点F 在线段AB上设 FOC （1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于 的函数关系式，并求出tan的取值范围；（2）求监控区域面积S 最大时，角的正切值【分析】（1）求出扇形EOC 的面积以及四边形OCBF 的面积，用四边形的面积减去扇形的面积即为阴影部分的面积，进而得出S（），再由 的范围得出tan的取值范围；（2）设?(?)=9?+?，利用导数求出函数h（）的最小值，即可得到此时角的正切值解：（1）扇形 EOC 的面积为12(?3-?)?=2500?6-25002?，四边形 OCBF 的面积为?-12?30?，故阴影部分的面积为?(?)=?+2500?6-?(9?+?)，因为?，?3，?=35，所以?35，?；（2）设?(?)=9?+?，则?(?)=-9?2?-9?2?2?+?=-9?2?+?，令 h（）0 得?=3435，?，记其解为1，并且 h（）在 0，1）上单调递减，在(?，?3上单调递增，所以 h（）minh（1），阴影部分的面积的最大值为?+2500?6-?(?)，此时?=34，故监控区域S 最大时，角的正切值为3418（16 分）已知椭圆C：?2?2+?2?2=1（ab0）的左焦点为F1，点 A，B 为椭圆的左、右顶点，点 P 是椭圆上一点，且直线 PF1的倾斜角为?4，PF1 2，已知椭圆的离心率为 22（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 M，N 为椭圆上异于A，B 的两点，若直线 BN 的斜率等于直线AM 斜率的 2 倍，求四边形AMBN 面积的最大值【分析】（1）由题意可得a=?c，在 PF1F2中，由余弦定理可得解方程可得c=?，则 a2，b=?，进而得到椭圆方程；（2）设直线 AM 的方程为 yk（x+2），由 kBN2kAM，可得直线BN 方程为 y2k（x2），代入椭圆方程得到M、N 纵坐标，运用韦达定理和四边形的面积公式，化简换元，结合对勾函数的单调性，可得最大值解：（1）因为 e=?=22，则 a=?c，设右焦点为F2，在 PF1F2中，PF12，PF1F2=?4，由余弦定理可得（2a2）222+（2c）222c2cos?4，解得 c=?，则 a2，b=?，所以椭圆方程为?24+?22=?；（2）设直线 AM 的斜率为k，则直线 AM 的方程为：yk（x+2），联立?=?(?+?)?24+?22=?，整理得（2k2+1）x2+8k2x+8k240，64k44（2k2+1）（8k24）0，设 M（x1，y1），则 2x1=8?2-42?2+1，即 x1=2-4?22?2+1，从而 y1=4?2?2+1，由 kBN2kAM，可得直线BN 方程为 y 2k（x2），联立?=?(?-?)?24+?22=?，整理得（8k2+1）x232k2x+32k240，322k44（8k2+1）（32k24）0，设 N（x2，y2），则 2x2=32?2-48?2+1，从而 y2=-8?8?2+1，由对称性，不妨设k0，则四边形AMBN 的面积 S=12?（y1y2）2（4?2?2+1+8?8?2+1）244?3+?(2?21)(8?2+1)=244?+1?(8?+1?)(2?+1?)244?+1?16?2+1?2+10=244?+1?(4?+1?)2+2=244?+1?+24?+1?，令 t4k+1?，则 t 21?=4（当且仅当k=12时取等），则 S=24?+2?244+12=163，故 S的最大值为16319（16 分）已知函数f（x）ax2+bx+c，（a，b，c R），g（x）ex（1）若 ab 1，c 1，求函数h（x）=?(?)?(?)在 x 1处的切线方程；（2）若 a1，且 x1 是函数 m（x）f（x）g（x）的一个极值点，确定m（x）的单调区间；（3）若 b2a，c2，且对任意x0，?(?)?(?)2x+2 恒成立，求实数a 的取值范围【分析】（1）将 ab1，c 1 带入，求得?(?)=?2+?-1?，?(?)=-?2+?+2?，进而得到?(?)=2?，?(?)=1?，再利用点斜式求得切线方程；（2）求得 m（x），并求导，根据题意，可得c 2b3，再分 b 4 及 b 4 两种情况讨论即可；（3）依题意，ax2+2ax+2（2x+2）ex 0对任意 x0 恒成立，构造函数p（x）ax2+2ax+2（2x+2）ex，由 p（1）3a+24e 0 得?4?-23，再分 a0，?4?-23讨论，结合零点存在性定理即可求得a 的取值范围解：（1）ab 1，c 1，?(?)=?2+?-1?，?(?)=-?2+?+2?，?(?)=2?，又?(?)=1?，?-1?=2?(?-?)，即函数h（x）=?(?)?(?)在 x1 处的切线方程为2xey10；（2）a 1，m（x）（x2+bx+c）ex，m（x）x2+（b+2）x+b+cex，x1是函数 m（x）的一个极值点，m（1）0，解得 c 2b3，m（x）x2+（b+2）xb 3ex（x1）x+（b+3）ex，令 m（x）0，解得 x11，x2 b3，x1是一个极值点，b3 1，即 b 4，当 b3 1，即 b 4 时，由 m（x）0，解得x（，1）或 x（b3，+），由m（x）0，解得 x（1，b3）；当 b3 1，即 b 4 时，由 m（x）0，解得x（，b 3）或 x（1，+），由m（x）0，解得 x（b3，1）；综上，当b 4 时，m（x）的单调递增区间为（，1），（b 3，+），单调递减区间为（1，b3）；当 b 4 时，m（x）的单调递增区间为（，b3），（1，+），单调递减区间为（b3，1）；（3）b 2a，c 2，?(?)?(?)=?2+2?+2?+?对任意 x0 恒成立，即ax2+2ax+2（2x+2）ex 0 对任意 x0 恒成立，令 p（x）ax2+2ax+2（2x+2）ex，p（0）0，由 p（1）3a+24e0 得?4?-23，p（x）2a（x+1）2（x+2）ex，当 a0 时，对任意 x0，p（x）0，所以函数yp（x）再0，+）上单调递减，故 p（x）p（0）0，则 a0 符合题意；当?4?-23时，令 G（x）p（x）2a（x+1）2（x+2）ex，则 G（x）2a2（x+3）ex，当 x0 时，?(?+?)?，?-?(?+?)?2(4?-2)3-?=2(4?-11)3?，对任意x0，G（x）0，则函数yG（x）再 0，+）上单调递减，G（x）G（0）2a4，当 2a 40，即 0a2 时，对任意x0，G（x）p（x）0，则函数yp（x）在0，+）上单调递鸡蛋，对任意x0，p（x）p（0）0 恒成立，故0a2 符合题意；当 2a 40，即?4?-23时，由 G（0）2a4 0，G（1）4a6e0，得 G（0）G（1）0，又函数 G（x）在 0，1上的图象连续不间断，且单调递减，由零点存在性定理可得，存在唯一的x0（0，1），使得G（x0）0，当 x（0，x0）时，G（x）p（x）0，函数 yp（x）在（0，x0）上单调递增，故当x（0，x0）时，p（x）0，与题意不符；综上，实数a 的取值范围为（，220（16 分）设数列 an（任意项都不为零）的前 n 项和为 Sn，首项为 1，对于任意n N*，满足 Sn=?+12（1）数列 an的通项公式；（2）是否存在k，m，n N*（k m n），使得 ak，am，an成等比数列，且16ak，am4，an2成等差数列？若存在，试求k+m+n 的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列 bn，bn=?，?=?-?，?-?，?=?，?（q0），若由 bn的前 r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值【分析】（1）由已知可得数列an满足数列 a2n1是首项为1，公差为2 的等差数列，a2n是首项为2，公差为2 的等差数列，分别求出通项公式，可得数列an的通项公式；（2）设 k，m，n N*（km n），由ak，am，an成等比数列，得m2kn，由 16ak，am4，an2成等差数列，得 2m416k+n2，联立可得?=16?2?2-1，结合 n3 求得 k 的范围，进一步求出k 1，m2，n4，则 k+m+n 可求；（3）若bn是单调递增数列，可知当n 是偶数时，n1 qn1n+1 恒成立，得?(?-1)?-1lnq?(?+1)?-1（*），显然 q1分别构造函数f（x）=?，函数 g（x）=?(?+2)?，再由导数求最值，可知当2n6 时，存在 q?13，（*）成立，当n8 时，（*）右侧不等式不成立，说明至多前8 项是递增数列，即正数r 的最大值是8解：（1）数列 an是非零数列，an 0，当 n 1 时，?=?=?1?22，得 a2 2，当 n 2 时，?=?-?-?=?+12-?-1?2，得 an+1an12数列 a2n1是首项为1，公差为 2 的等差数列，a2n是首项为2，公差为 2 的等差数列则 a2n1a1+2（n1）2n1，a2na2+2（n 1）2nann；（2）设 k，m，n N*（kmn），由 ak，am，an成等比数列，得m2kn，由 16ak，am4，an2成等差数列，得2m416k+n2消去 m 可得：2k2n216k+n2，?=16?2?2-1又 n3，16?2?2-18，0k1+32，k N*因此，k1，m2，n4，k+m+n 7；（3）若 bn是单调递增数列，当n 是偶数时，n1qn1n+1 恒成立，两边取自然对数，可得?(?-1)?-1lnq?(?+1)?-1（*），显然q1设函数 f（x）=?，则 f（x）=1-?2，可知当x（0，e）时，f（x）单调递增，当 x（e，+）时，f（x）单调递减，f（x）在 xe 处取得极大值当 n4 时，?(?-1)?-1是递减数列，?11?33，则?33是?(?-1)?-1的最大值，lnq?33；设函数 g（x）=?(?+2)?，得 g（x）=?+2-?(?+2)?20（x 1），?(?+1)?-1是递减数列，当n6 时，?75?33，当 n8 时，?97=?372?33当 2n6 时，存在q?13，（*）成立，当n8 时，（*）右侧不等式不成立至多前8 项是递增数列，即正整数r 的最大值是8三、数学附加题（满分10 分，考试时间30 分钟）【选做题】在A，B，C 三小题中只能选做两题，每小题10 分，共20 分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤选修 42：矩阵与变换21求椭圆C：?216+?24=1 在矩阵 A=14?12对应的变换作用下所得曲线C的方程【分析】直接利用矩阵的变换的应用，伸缩变换的应用求出结果解：设 P（x，y）是曲线 C上的任意一点，它是椭圆?216+?24=1 上的点 P1（x，y）在矩阵 14?12对应变换作用下的对应点，则：?14?12?4?2，即：?=?4?=?2，所以?=?=?代入椭圆?216+?24=1，得到 x2+y2 1选修 4-4：坐标系与参数方程22在极坐标系中，已知圆C 经过点P（?，?4），圆心为直线 sin（+?3）=32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程【分析】直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换和直角坐标和极坐标之间的转换求出结果解：直线 sin（+?3）=32转换为直角坐标方程为12?+32?=32，所以与极轴的交点坐标为（1，0）点 P（?，?4），转换为直角坐标为（1，1），所以圆的方程为：（x1）2+y21所以 0 或 2cos，由于 0 表示极点也在圆上，所以圆的极坐标方程为 2cos 选修 4-5：不等式选讲23已知正数a，b，c 满足 abc1，求（a+2）（b+2）（c+2）的最小值【分析】将（a+2）（b+2）（c+2）变形为（a+1+1）（b+1+1）（c+1+1），再利用基本不等式即可得出解：正数a，b，c 满足 abc 1，（a+2）（b+2）（c+2）（a+1+1）（b+1+1）（c+1+1）?=?=27，当且仅当abc1 时取等号（a+2）（b+2）（c+2）的最小值为27六、【必做题】第22，23 题，每小题10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤24如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD 60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点（1）求异面直线A1M 与 C1E 所成角的余弦值；（2）求二面角AMA1N 的平面角的正弦值【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线A1M 与 C1E 的方向向量，然后利用向量的夹角公式即可求得余弦值；（2）求出平面A1MA 及平面A1MN 的法向量，先利用向量公式求得余弦值，进而求得二面角 AMA1N 的平面角的正弦值解：（1）由直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，BAD 60，E 为 BC 的中点，可得 DEBC，又 AD BC，可得 DE AD，故以 D 为坐标原点，?的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则?(?，?，?)，?(?，?，?)，?(-?，?，?)，?(?，?，?)，故?=(-?，?，-?)，?=(?，?，-?)，?，?=?1?1?|?1?|?1?|=-1+8817=73468，异面直线A1M 与 C1E 所成角的余弦值为7 3468；（2）?(?，?，?)，?=(?，?，-?)，?=(-?，?，-?)，?=(-?，?，-?)，?=(?，-?，?)，设平面A1MA 的一个法向量为?=(?，?，?)，则?=-?+?-?=?=-?=?，可取?=(?，?，?)，设平面A1MN的一个法向量为?=(?，?，?)，则?=-?=?=-?-?=?，可取?=(?，?，-?)，?，?=?|?|?|=2325=155，二面角A MA1N 的平面角的正弦值为10525已知数列 an满足 anm+?+112+?+2222+?+3323+?+?+?2?，n 一、选择题*，其中 m 为常数，a24（1）求 m，a1的值；（2）猜想数列 an的通项公式，并证明【分析】（1）由 a2m+34，可求出m 1，此时 a1m+12；（2）猜想：?=?，用数学归纳法证明即可解：（1）因为 anm+?+112+?+2222+?+3323+?+?+?2?，所以 a2m+34，所以 m1，此时 a1m+12；（2）猜想：?=?，用数学归纳法证明如下：当 n1 时，由（1）可知结论成立，假设 n k 时结论成立，则有?=?+?+112+?+2222+?+3323+?+?+?2?=?，则 n k+1 时，?+?=?+?+1+112+?+1+2222+?+1+3323+?+?+1+?+1?+12?+1，由?+?+?=?+?+?得：?+?=?+?+11+?+102+?+22+?+2122+?+33+?+3223+?+?+?+?+?-12?+?+1+?+1?+12?+1=?+?+102+?+2122+?+3223+?+?+?-12?+?+1+?+1?+12?+1，ak+1=?+12(?+?+?+2121+?+3222+?+?+?-12?-1+?+1+?+1?+12?)=?+12(?+?+?+2121+?+2222+?+?+1+?+1?-12?-1+?+1+?+?+1+?+12?)又?+?+?+?=(2?+1)!?!(?+1)!=(2?+1)!(?+1)(?+1)?!(?+1)!=12(2?+1)!(2?+2)(?+1)!(?+1)!=12?+?+?+?+?=?+12(?+?+?+2121+?+3222+?+?+1+?-1?-12?-1+?+1+?2?+?+1+?+1?+12?+1)，于是?+?=?+12?+?，所以?+?=?+?，故 n k+1 时结论也成立，由 得，?=?，?，