人教版八年级数学二次根式的加减讲义(含解析).pdf

第 15 讲 二次根式的加减知识定位讲解用时：3 分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习二次根式的计算二次根式的加减。掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.知识梳理讲解用时：20分钟二次根式的加减计算1、同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.例如：3 与 23 是同类二次根式2、如何判断几个二次根式是否为同类二次根式？必须先化成最简二次根式，再看被开方数是否相同，与最简二次根式前面的因式及符号无关.例如：28、63 28=（47）=2763=（97）=37 28 和 63 是同类二次根式.3、二次根式的加减法二次根式加减运算的实质是合并同类二次根式，即系数相加减，二次根式不变课堂精讲精练【例题 1】下列各式中与是同类二次根式的是（）ABC D【答案】C【解析】先化简二次根式，再判定即可解：A、与不是同类二次根式，B、=2，所以与不是同类二次根式，C、=2，所以与是同类二次根式，D、=2，所以与不是同类二次根式，故选：C讲解用时：2 分钟解题思路：本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是二次根式的化简教学建议：理解同类二次根式的定义并灵活运用.难度：2 适应场景：当堂例题例题来源：浦东新区模拟年份：2018【练习 1.1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）ABC D【答案】C【解析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可解：A、=|a|与不是同类二次根式；B、与不是同类二次根式；C、=2与是同类二次根式；D、与不是同类二次根式；故选：C讲解用时：2 分钟解题思路：本题考查的是同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式教学建议：理解同类二次根式的定义并灵活运用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：奉贤区二模年份：2018【练习 1.2】下列二次根式中，能通过加减运算与合并为一个二次根式的是（）ABC D【答案】B【解析】根据同类二次根式的定义逐个判断即可解：=2，A、不能和合并为一个二次根式，故本选项不符合题意；B、能和合并为一个二次根式，故本选项符合题意；C、不能和合并为一个二次根式，故本选项不符合题意；D、=5不能和合并为一个二次根式，故本选项不符合题意；故选：B讲解用时：2 分钟解题思路：本题考查了同类二次根式，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键教学建议：理解同类二次根式的定义并灵活运用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：中江县期末年份：2017【例题 2】若最简二次根式和是同类二次根式，则a 的值是【答案】6【解析】根据同类二次根式的概念即可求出答案解：由题意可知：3a4=a+8，解得：a=6 故答案为：6讲解用时：2 分钟解题思路：本题考查同类二次根式与最简二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式与最简二次根式的概念，本题属于基础题型教学建议：掌握同类二次根式的定义并灵活运用.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：大兴区期末年份：2017【练习 2.1】最简二次根式与能合并，则 x=【答案】1【解析】根据同类二次根式的定义得出关于x 的方程，求出 x 的值即可解：最简二次根式与能合并，与是同类二次根式，3x2=3x1，解得 x1=1，x2=4（舍去）故答案为：1讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解答此题的关键教学建议：只有同类二次根式才能合并.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：平阳县期末年份：2017【练习 2.2】若最简二次根式与是同类二次根式，则a+b的值为多少？【答案】1【解析】根据同类二次根式的定义得到b+3=2，7a+b=6ab，求出 a、b 然后代入 a+b中计算即可解：最简二次根式与是同类二次根式，b+3=2，7a+b=6ab，a=2，b=1，a+b=21=1.讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了同类二次根式：把各二次根式化为最简二次根式后若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式教学建议：掌握同类二次根式的定义并灵活运用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：洪雅县期末年份：2017【例题 3】最简二次根式与是同类二次根式，则mn=【答案】21【解析】根据最简二次根式以及同类二次根式的定义即可求出答案解：由题意可知：2m 1=343m，n1=2，解得：m=7，n=3 mn=21 故答案为：21讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式以及最简二次根式的定义，本题属于基础题型教学建议：掌握同类二次根式的定义并灵活运用.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：延庆县期末年份：2017【练习 3.1】二次根式与的和是一个二次根式，则正整数a 的最小值为；其和为【答案】6；【解析】如果二次根式与的和是一个二次根式，那么二次根式与是同类二次根式，所以根据同类二次根式的定义先求出a 的值，再把两根式合并即可解：二次根式与的和是一个二次根式，两根式为同类二次根式，则分两种情况：是最简二次根式，那么 3x=2ax，解得 a=，不合题意，舍去；不是最简二次根式，是最简二次根式，且a 取最小正整数，开方后为，a=6当 a=6 时，=2，则+=3+2=讲解用时：3 分钟解题思路：化成最简二次根式后，被开方数相同 这样的二次根式叫做同类二次根式教学建议：掌握同类二次根式和最简二次根式的灵活应用.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：南开区期末年份：2017【例题 4】完成下列两道计算题：（1）15+；（2）（）+【答案】（1）；（2）4【解析】（1）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；（2）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；（1）解：原式=315+=3+=；（2）原式=（52）=4讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式化简是解决此题的关键教学建议：熟练掌握二次根式的加减运算.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：金乡县期末年份：2017【练习 4.1】计算：（1）+2（+）（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案（2）根据分式的运算法则即可求出答案解：（1）原式=+524=（2）原式=?=讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型教学建议：熟练掌握二次根式的加减运算和乘除混合运算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：娄星区期末年份：2017【例题 5】计算：（1）（2）【答案】（1）5；（2）+【解析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案解：（1）原式=3+6=2+3=5；（2）原式=24+2=2+2=+讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键教学建议：熟练掌握二次根式的加减运算.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：硚口区期中年份：2018【练习 5.1】3+2【答案】3【解析】根据合并同类二次根式的法则计算可得解：原式=（3+2）=3讲解用时：2 分钟解题思路：本题主要考查二次根式的加减法，二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变教学建议：熟练掌握二次根式的加减运算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：浦东新区期中年份：2018【练习 5.2】计算：3+【答案】【解析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得解：原式=3+2=（3+2）=讲解用时：2 分钟解题思路：本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是掌握二次根式的性质与合并同类二次根式的法则教学建议：熟练掌握二次根式的加减运算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：奉贤区期中年份：2018【例题 6】（1）计算：（2）先化简再求值：（）?，其中 a=8，b=32【答案】（1）2；（2）2【解析】（1）根据二次根式的减法和除法可以解答本题；（2）根据二次根式的乘法可以化简题目中的式子，然后将 a、b 的值代入化简后的式子即可解答本题解：（1）=2；（2）（）?=，当 a=8，b=32时，原式=2讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式的化简求值的方法教学建议：熟练掌握二次根式的加减和乘除计算.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：平度市期末年份：2018【练习 6.1】先化简，再求值：（），其中 a=1712，b=3+2【答案】【解析】将原式利用二次根式的性质和运算法则化简为，由 a=1712=（32）2、b=3+2=（+1）2，代入计算可得解：原式=（）?=?=?=，a=1712=322（2）2=（32）2，b=3+2=（）2+2+1=（+1）2，原式=讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则教学建议：熟练掌握二次根式的混合计算，学会化简并代入求值.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 7】已知 x=+，y=求：（1）x2+y2；（2）+的值【答案】（1）10；（2）10【解析】（1）将 x、y 的值代入原式，结合完全平方公式即可求出结论；（2）通分后，将 x、y、x2+y2的值代入后即可得出结论解：（1）原式=（+）2+（）2=5+2+（52）=10；（2）原式=10讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了二次根式的化简求值、平方差公式以及完全平方公式，解题的关键是：（1）利用完全平方公式展开求值；（2）通分后代数求值教学建议：学会利用完全平方式进行计算，掌握二次根式的化简.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：新罗区校级期中年份：2018【练习 7.1】已知：a=+，b=求值：（1）+；（2）a23ab+b2【答案】（1）12；（2）18【解析】（1）先计算出 a+b、ab 的值，再代入到原式=，计算可得；（2）将 a+b、ab 的值代入到原式=（a+b）25ab 计算可得解：（1）a=+，b=，a+b=2、ab=（）2（）2=2，则原式=12；（2）原式=（a+b）25ab=（2）252=2810=18讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要分式和二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握分式和二次根式的运算顺序和运算法则及完全平方公式教学建议：掌握分式和二次根式的运算法则并灵活运用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：禹州市期中年份：2018【练习 7.2】已知长方形的长为a，宽为 b，且 a=，b=（1）求长方形的周长；（2）当 S长方形=S正方形时，求正方形的周长【答案】（1）6；（2）8【解析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；（2）利用二次根式乘法计算得出答案解：（1）a=2，b=，长方形的周长是：2（a+b）=2（2+）=6；（2）设正方形的边长为x，则有 x2=ab，r=2，正方形的周长是4x=8讲解用时：4 分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键教学建议：灵活应用二次根式解决实际问题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：南昌期中年份：2018 课后作业【作业 1】若最简二次根式与是同类二次根式，则a=【答案】4【解析】根据最简同类二次根式的被开方数相同可得关于a 的方程，解出即可得出答案解：由题意得：3a+2=4a 2，解得：a=4故答案为：4难度：3 适应场景：练习题例题来源：仪征市期中年份：2018【作业 2】若最简二次根式与是同类二次根式，则a+b=【答案】2【解析】根据同类二次根式的定义：被开方数相同的二次根式，列方程，即可解答解：最简二次根式与是同类二次根式，解得：，则 a+b=2，故答案为：2讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：西华县期中年份：2018【作业 3】若最简二次根式和是同类二次根式（1）求 x，y 的值；（2）求的值【答案】（1）x=4，y=3；（2）5【解析】（1）根据同类二次根式的定义：被开方数相同；均为二次根式；列方程解组求解；（2）根据 x，y 的值和算术平方根的定义即可求解解：（1）根据题意知，解得：；（2）当 x=4、y=3 时，=5讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：临洮县期中年份：2018【作业 4】计算（1）（+）（2）（+1）（1）+（2）0【答案】（1）6；（2）0【解析】（1）首先化简二次根式进而利用二次根式混合运算法则求出答案；（2）直接利用乘法公式以及零指数幂的性质和立方根的性质化简求出答案；解：（1）（+）=（4+2）=6=6；（2）（+1）（1）+（2）0=31+13=0；讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：新宾县期中年份：2017【作业 5】计算下面各题（1）（2）6（2）（+1）（+1）【答案】（1）6；（2）2【解析】根据二次根式的运算法则即可求出答案解：（1）原式=363=6（2）原式=+（1）（1）=3（1）2=3（22+1）=3（32）=2讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：宝丰县期末年份：2017