吉林省吉林市2020届高三第三次调研测试(4月)试题数学(文)【含答案】.pdf
吉林省吉林市2020 届高三第三次调研测试（4 月）试题数学（文）一、选择题：本大题共12 题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。1.已知集合-1,0,1,2A,|10Bx x，则ABA.2B.1,0C.0,1D.1,0,12.已知复数z满足iz11，则z=A.i1122B.i1122C.i1122D.i11223.已知向量(,3),(3,3)axb，若ab，则xA.3B.3C.1D.14.双曲线xyCab2222:1的一条渐近线方程为30 xy，则双曲线的离心率为A.3B.2C.5D.35.已知m n,为两条不重合直线，,为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是A.mn mn,B.mn mn,C.mn m,n,D.mn m,n,6.等差数列na的前n项和为nS，若534aa,1560S,则20aA.4B.6C.10D.127.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.103B.3C.83D.732221正视图俯视图侧视图8.已知函数()cos(2)(|)2fxx的一条对称轴为3x，则函数()fx的对称轴不可能为A.6xB.56xC.43xD.6x9.已知数列na为各项均为正数的等比数列，若aaa76826，且aa5936，则aaa768111A.1318B.1318或1936C.139D.13610.已知babca0.2121()2,log 0.2,，则a b c,的大小关系是A.abcB.cabC.acbD.bca11.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222 年，赵爽为周碑算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3 个全等的三角形与中间的一个小正三角形组成的一个大正三角形，设ACC A,若在大正三角形中随机取一点，则此点取自小正三角形的概率为A.33B.13C.77D.17ABCABC图（1）图（2）12.设点P为椭圆22:12516xyC上一点，1F、2F分别是椭圆C的左、右焦点，且12PF F的 重 心为点G，如果12|:|2:3PFPF，那么1GPF的面积为A.4 23B.2 2C.8 23D.3 2二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置13.若点P在角56的终边上，且|2OP（点O为坐标原点），则点P的坐标为 .14.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5 次试验，得到5 组数据1122334455(,),(,),(,),(,),(,),xyxyxyxyxy根据收集到的数据可知60y，由最小二乘法求得回归直线方程为?0.648yx，则12345xxxxx .15.已知两圆相交于两点(,3),(1,1)A aB，若两圆圆心都在直线xyb0上，则ab的值是 .16.已知函数2ln,1()13,122x xfxxx，若实数12,xx满足12xx，12()()4fxfx,则12xx的取值范围为 .三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分17.（12 分）在ABC中，角A B C,的对边分别为a b c,，且ABC的面积为2223()4acb.（1）求角B的大小；（2）若2,4,ab求sinC18.（12 分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习。某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45 名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5 小时的有19 人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120 分的占813，统计成绩后得到如下22列联表：分数不少于120 分分数不足120 分合计线上学习时间不少于5 小时4 19 线上学习时间不足5 小时合计45（1）请完成上面2 2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）在上述样本中从分数不少于120 分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5 名，若在这5 名学生中随机抽取2 人，求至少1 人每周线上学习时间不足5 小时的概率.（下面的临界值表供参考）20()P Kk0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式n adbcKab cdacbd22()()()()()其中nabcd）19.（12 分）如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCD,ADABCDDAB1,602，点E F,分别为CD AP,的中点.（1）证明：PC面BEF；（2）若PAPD，且PAPD，面PAD面ABCD，求PC与底面ABCD所成角的正弦值.ABCDEFP20.（12 分）已知倾斜角为4的直线经过抛物线2:2(0)Cxpy p的焦点F，与抛物线C相交于A、B两点,且|8AB.（1）求抛物线C的方程；（2）求过点,A B且与抛物线C的准线相切的圆的方程.21.（12 分）已知函数2()ln(1)1(,).fxxaxabxba bR（1）若0a，试讨论()f x的单调性；（2）若对1,xee，()0f x恒成立，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cossinxy（为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()26.（1）求曲线1C的普通方程与曲线2C的直角坐标方程；（2）设,A B为曲线1C上位于第一，二象限的两个动点，且2AOB,射线,OA OB交曲线2C分别于,D C，求AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积.23.（10 分）已知,a b c均为正实数，函数222111()|4f xxxcab的最小值为1.证明：（1）22249abc；（2）111122abbcac.一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B A B D C A D A B D C 二、填空题13.3,1;14.100；15.-1；16.32ln 2,三、解答题17.解：(1)由已知得2223()4acb=1sin2acB -2分2223sin2acbBac,tan3,B -4分(0,),3BB -6分(2)由正弦定理得sinsinabAB即3sin4A -8分2cos1sinABAA134 -10分sinsin()CABsin()3A3113342423398.-12分18.解：（1）分数不少于120 分分数不足 120 分合计线上学习时间不少于5 小时15 4 19 线上学习时间不足5 小时10 16 26 合计25 20 45-3分2245(15 16104)7.296.6352520 1926K -5分有 99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”-6分（2）依题意，抽到线上学习时间不少于5 小时的学生155325人，设为1A,2A,3A，线上学习时间不足5 小时的学生2 人，设为1B,2B -8分所有基本事件有：11(,)B A,12(,)BA,13(,)BA,21(,)BA,22(,)BA,23(,)BA,12(,)BB,12(,)AA,13(,)A A,23(,)AA共 10 种 -10分至少1人每周线上学习时间不足5小时包括：11(,)B A,12(,)BA,13(,)BA,21(,)BA,22(,)BA,23(,)BA,12(,)BB共 7 种故至少 1 人每周线上学习时间不足5 小时的概率为710（或 0.7）-12分19.ABCDEFPHO（1）证明：连接AC交BE于H，连接FH.,ABCEHABHCEBHACHAABHCEH -3分AHCHFHPCFH面,FBEPC面FBEPC面FBE -5分（2）取AD中点O，连PO，OB,OC.由PAPD，POAD.又面PAD面ABCD，PO面ABCD，PCO即为PC与底面所成角 -7分设2AD，则1POOD，4DC.又由60DAB，120ODC -8分在ODC中，由余弦定理得2222cosOCODDCOD DCODC21 -10分2222PCPOOC -11分122sin2222PCO即PC与底面ABCD所成角的正弦值为2222 -12分20.解：（1）由题意设直线AB的方程为2pyx，令11(,)A xy、22(,)B xy，联立222pyxxpy得22304pypy -2分123yyp -3分根据抛物线的定义得124AByypp -4分又8AB，48,2pp故所求抛物线方程为24xy -5分（2）由（1）知1236yyp，12124xxyypAB的中点为(2,3)M，AB的垂直平分线方程为3(2)yx即5yx -7分设过点,A B的圆的圆心为(,5)aa，该圆与C的准线1y相切，半径6ra -9分圆心(,5)aa到直线:1AB yx的距离为242ad,8AB22224()4(6)2aa，解得6a或2a -11分圆心的坐标(6,11)为，半径为12，或圆心的坐标为(2,3)，半径为4圆的方程为22(6)(11)144xy或22(2)(3)16xy -12分21.解：（1）依题意0 x，当0a时，1()(1)fxbx -1分当1b时，()0fx恒成立，此时()f x在定义域上单调递增；-3分当1b时，若10,1xb，()0fx；若1,1xb，()0fx故此时()f x的单调增、减区间分别为10,1b、1,1b -5分(2)由1()21fxaxabx，又(1)0f，故()f x在1x处取得极大值，从而(1)0f，即1210,aabba -7分进而得1()221fxaxax(21)(1)axxx -8分当0a时，若1,1xe，()0fx则；若1,xe，则()0fx。所以()=(1)0fxf最大值故0a符合题意 -10分当0a时，依题意，有112()0af e即2122(1)aeae，故此时220(1)eae综上所求实数a的范围为22(1)eae-12分22.解：（1）由曲线1C的参数方程为3cossinxy（为参数）消去参数得2213xy-2分曲线2C的极坐标方程为sin()26即sincoscossin266340 xy -4分（2）依题意得1C的极坐标方程为2222cossin13 -5分设1(,)A,2(,)2B,3(,)D,4(,)2C则222211cossin13，222222sincos13，故22121143 -7分22121221143，当且仅当12（即4）时取“=”-8分故121324AOBS，即AOB面积的最小值为34 -9分此时34112222sin()cos()4646CODS48cos3故所求四边形的面积为329844 -10分23.证明（1）,0a b c，222111()4f xxxabc222111()4xxabc2221114abc2221114abc1 -3分由柯西不等式得222(4)abc222111()4abc2(11 1)9当且仅当23abc时取“=”。22249abc -5分（2）22112,abab22111,4bcbc221114acac（以上三式当且仅当23abc时同时取“=”）-7分将以上三式相加得211abbcac2221112()24abc即111122abbcac -10分
