2015届高考数学总复习课时训练(基础过关能力训练)：第九章平面解析几何第7课时椭圆(含答案).pdf

第九章平面解析几何第7 课时椭圆(2)1.在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为_答案：22解析：由题意得2b2a2，a2cc 1，解得 a2c2c，即 b2c，所以离心率e22.2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，2)、(0，2)，并且椭圆经过点32，52，则椭圆的标准方程为_答案：y210 x261 解析：椭圆焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由椭圆的定义知，2a322522232252 2232101210 2 10，a210.又 c2，b2a2c210 46，椭圆的标准方程为y210 x261.3.已知椭圆的焦点在y 轴上，a2b25，且过点(2，0)，则椭圆的标准方程为_ 答案：y23x221 解析：设椭圆方程为y2a2x2b21,2b21，即 b22.又 a2b25，a23，椭圆的标准方程为y23x221.4.已 知 椭 圆 经 过 两 点32，52和(3，5)，则 椭 圆 的 标 准 方 程 为_ 答案：y210 x261 解析：设椭圆方程为x2my2n1(m、n0),由322m522n1，3m5n1，解得m6，n10，所以椭圆方程为y210 x261.5.已知椭圆x24y21 的两焦点为F1、F2，点 M 在椭圆上，MF1MF20，则 M 到 y轴的距离为 _答案：2 63解析：由条件知，点M 在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2y23，即 y23x2，代入椭圆方程得x243x21，解得 x283，则|x|2 63，即点 M 到 y 轴的距离为263.6.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e.若椭圆上存在点 P，使得PF1PF2 e，则该椭圆离心率e的取值范围是 _答案：21，1)解析：PF1PF2 e，PF1ePF2e(2aPF1)，PF12ae1e.又 acPF1 ac，ac2ae1eac，即 a(1e)2ae1ea(1e)，亦即 1e2e1e1e，解得 e21.又 0e 1,21e2)，其离心率为32，故a24a32，解得 a4，故椭圆 C2的方程为y216x24 1.(2)A、B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB 2OA及(1)知，O、A、B 三点共线且点 A、B 不在 y 轴上，因此可设直线AB 的方程为ykx.将 ykx 代入x24 y2 1 中，得(14k2)x24，所以 x2A414k2.将 ykx 代入y216x241 中，得(4k2)x216，所以 x2B164k2.又由 OB2OA，得 x2B4x2A，即164k21614k2，解得 k 1.故直线 AB 的方程为y x 或 y x.10.已知中心在原点O，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点2，22.(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线 l 与该椭圆交于P、Q 两点，满足直线OP、PQ、OQ 的斜率依次成等比数列，求OPQ 面积的取值范围解：(1)由题意可设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，则a2b2a32，2a212b21，故a2，b1.所以椭圆的方程为x24y21.(2)由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为ykx m(m0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由ykxm，x24 y2 1，消去 y 得(14k2)x28kmx 4(m21)0，则64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，且 x1x28km14k2，x1x24（m21）14k2.因为直线 OP、PQ、OQ 的斜率依次成等比数列，又 y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，所以y1x1y2x2k2x1x2km（x1x2）m2x1x2k2，即8k2m214k2m20.又 m0，所以 k214，即 k12.由于直线 OP、OQ 的斜率存在，且 0，得 0m22 且 m2 1.设点 O 到直线 l 的距离为 d，则 S OPQ12d PQ12（1k2）（x1x2）2|m|1k212|x1 x2|m|m2（2m2），又 0m22 且 m2 1，所以 S OPQ的取值范围为(0，1)11.如图，椭圆C：x216y241 的右顶点是A，上、下两个顶点分别为B、D，四边形OAMB 是矩形(O 为坐标原点)，点 E、P 分别是线段OA、AM 的中点(1)求证：直线DE 与直线 BP 的交点在椭圆C 上；(2)过点 B 的直线 l1、l2与椭圆 C 分别交于点R、S(不同于 B)，且它们的斜率k1、k2满足 k1k214，求证：直线RS 过定点，并求出此定点的坐标证明：(1)由题意，得A(4，0)，B(0，2)，D(0，2)，E(2，0)，P(4，1)所以直线DE的方程为yx 2，直线 BP 的方程为y14x2.解方程组yx2，y14x 2，得x165，y65，所以直线 DE 与直线 BP 的交点坐标为165，65.因为16521665241，所以点165，65在椭圆x216y241 上即直线DE 与直线 BP 的交点在椭圆C 上(2)直线 BR 的方程为yk1x2.解方程组yk1x 2，x216y24 1，得x0，y2或x16k114k21，y2 8k211 4k21，所以点 R 的坐标为16k114k21，28k2114k21.因为 k1k214，所以直线BS 的斜率 k214k1.直线 BS的方程为 y14k1x2.解方程组y14k1x2，x216y241，得x0，y2或x16k114k21，y8k21214k21.所以点 S的坐标为16k11 4k21，8k21214k21.所以 R、S关于坐标原点O 对称，故R、O、S三点共线，即直线 RS 过定点 O，O 点坐标为(0，0)