高中数学第2章推理与证明2_3数学归纳法自我小测苏教版选修2-21.pdf

精品教案可编辑高中数学第 2 章 推理与证明 2.3 数学归纳法自我小测苏教版选修 2-2 1数列 1,1 3,1 35,1 357，的一个通项公式为_ 2用数学归纳法证明不等式2nn2成立时，n应取的第一个值为_ 3用数学归纳法证明不等式n3 14n1 时，n所取的第一个值n0为_ 4用数学归纳法证明“11213121nn(nN*，且n1)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk 1 时，左边应增加的项数是_ 5凸n边形有f(n)条对角线，则凸n 1 边形的对角线条数f(n 1)与f(n)之间的关系为6 用数学归纳法证明2n1n2n2(n N)时，第一步的验证为_7已知x 1 且x0，nN*，且n2，求证：(1x)n1nx.8用数学归纳法证明：1 5913 (4n3)2n2n.9求证：an1(a 1)2n1能被a2a1 整除，nN*.10 已知函数31xfxx(x 0)设数列 an满足a11，an 1f(an)，数列 bn满足bn|an3|，用数学归纳法证明1(31)2nnnb.精品教案可编辑参考答案1 答案：n22 答案：53 答案：24 答案：2k解析：增加的项数为(2k 1 1)(2k1)2k.5 答案：f(n1)f(n)n1 解析：如图，设凸n1 边形为A1A2AnAn1，连结A1An，则凸n1 边形的对角线是由凸n边形A1A2An的对角线加上A1An，再加上从An1点出发的n2 条对角线，即f(n1)f(n)1n2f(n)n1.6 答案：当n0 时，2012 02022，结论成立7 答案：证明：(1)当n2 时，左边(1x)2 12xx2，x0，12xx212x.左边右边，不等式成立.(2)假设当nk时，不等式成立，即(1x)k1kx成立，则当nk1 时，左边(1x)k 1(1x)k(1x).x 1，1x0.(1x)k(1x)(1kx)(1x)1(k1)xkx2.x0，1(k1)xkx21(k1)x.精品教案可编辑(1x)k11(k1)x成立，即当nk1 时不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对于所有的n2 的正整数都成立.8 答案：证明：(1)当n1 时，左边 1，右边 1，命题成立.(2)假设nk(k1)时，命题成立，即 159 13(4k3)2k2k.则当nk1 时，15913 (4k3)(4k1)2k2k(4k1)2k23k12(k1)2(k 1).当nk1 时，命题成立.综上所述，原命题成立.9 答案：证明：(1)当n1 时，a1 1(a1)2 11a2a1，命题显然成立.(2)假设nk时，ak 1(a1)2k1能被a2a1 整除，则当nk1 时，ak2(a1)2k 1aak 1(a1)2(a1)2k 1aak 1(a1)2k 1(a1)2(a1)2k 1a(a1)2k 1aak 1(a1)2k 1(a2a1)(a1)2k 1.由归纳假设知，上式中的两部分均能被a2a 1 整除，故nk1 时命题成立.根据(1)(2)知，对任意nN*，命题成立.10 答案：证明：当x 0 时，f(x)121x1.因为a11，所以an 1(nN*).下面用数学归纳法证明不等式1(31)2nnnb.(1)当n1 时，b131，不等式成立.(2)假设当nk(k1)时，不等式成立，精品教案可编辑即1(31)2kkkb，那么bk1|ak 13|1(31)|3|31(31)122kkkkkaba.所以，当nk1 时，不等式也成立.根据(1)和(2)，可知不等式对任意nN*都成立.