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吉林省长春市普通高中2020 届高三上学期质量监测试题（一）数学（文）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数 z=2+i 的共扼复数z对应的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合Ax|x 2 或 x 2，Bx|x23x0，则 ABA.B.x|x3或 x 2 C.x|x3或 x3或 x1，条件 q：x2，则 p 是 q 的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.2019 年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算，将2013 年编号为1，2014 年编号为22018 年编号为6，把每年的公共图书馆业 机 构 个 数 作 为 因 变 量，把 年 份 编 号 从1 到6 作 为 自 变 量 进 行 回 归 分 析)，得 到 回 归 直 线?13.7433095.7yx，其相关指数R20.9817，给出下列结论，其中正确的个数是公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强公共图书馆业机构数平均每年增加13.743 个可预测2019 年公共图书馆业机构数约为3192 个A.0 B.1 C.2 D.3 6.己知直线xy0 与圆(x 1)2(y b)22 相切，则bA.3 B.1 C.3 或 1 D.527.已知133131(),3,log 33abc，则A.abc B.cba C.cab D.bc0，|0，b0，且(a 1)(b l)M，求 ab 的最小值。答案一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分）1.C 2.B 3.B 4.B 5.D 6.C 7.C 8.D 9.A 10.A 11.C 12.D 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，16 题第一空2 分，第二空3 分，共 20 分）13.242514.815.1616.,63三、解答题17.(本小题满分12 分)【命题意图】本题考查数列的相关知识.【试题解析】（）证明：当2n时，111121222nnnnnnnnnaaaabb11b，所以nb是以为1首项，为1公差的等差数列.（6 分）（）由（）可知，nbn，所以+11111nnb bnn，所以1111111122311nSnnn.（12 分）18.(本小题满分12 分)【命题意图】本题考查概率与统计的相关知识.【试题解析】（）由题意可画出频率分布直方图如图所示：00.020.040.060.080.100.120.140.160.18频率/组距30 32 34 36 38 40 42 44 46 辆由图可知，中位数在区间36,38).（6 分）（）由题意，设从38,40)中选取的车辆为,A B C，从40,42)中选取的车辆为,a b，则从这5 辆车中抽取2辆的所有情况有10 种，分别为,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab，其中符合条件的有6种，,Aa Ab Ba Bb Ca Cb，所以所求事件的概率为35.（12 分）19.(本小题满分12 分)【命题意图】本题考查立体几何的相关知识.【试题解析】（）证明：在ABC内取一点P，作,PDAC PEBC，因为平面ABC平面11ACC A，其交线为AC，所以PD平面11ACC A，1PDCC，同理1PECC，所以1CC平面ABC，11,CCAC CCBC，同理ACBC，故1,CCAC BC两两垂直.（6 分）（）由（）可知，三棱锥11ABCB的高为11A Ca，1211122BCBSBC BBa，所以三棱锥11BA BC的体积为316a.（12 分）20.(本小题满分12 分)【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识.【试题解析】解：（）由定义法可得，P点的轨迹为椭圆且24a，1c.因此椭圆的方程为22143xy.（4 分）（）设直线l的方程为3xty与椭圆22143xy交于点11(,)A xy，22(,)B xy，联立直线与椭圆的方程消去x可得22(34)6 330tyty，即1226 334tyyt，122334y yt.AOB面积可表示为212121211|3()422AOBSOQyyyyy y2222222216 3332 363()4934312343423434tttttttt令231tu，则1u，上式可化为266333uuuu，当且仅当3u，即63t时等号成立，因此AOB面积的最大值为3，此时直线l的方程为633xy.（12 分）21.(本小题满分12 分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.【试题解析】解：（）令21()0 xf xx，1x（2 分）x(0,1)1(1,)()fx0+()fx极小值()=(1)2f xf极小值，无极大值；（4 分）（II）由题意可知，0a，则原不等式等价于2(1)ln01a xxx，令2(1)()ln(01)1a xg xxxx，22(24)1)()(1)xa xgxx x，当01a时，2(24)10 xa x，()0g x，()g x在(0,1)上单调递减，()(1)0g xg，成立；当1a时，2000(0,1),(24)10 xxa x，使得当0(0,)xx时，()0g x，()g x单调递减，当0(,1)xx时，()0g x，()g x单调递增，故当0(,1)xx时，()(1)0g xg，不成立；综上所述，01a.（12 分）22.(本小题满分10 分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】解：（）直线l的普通方程为30 xy，圆C的直角坐标方程为22430 xyx.（5 分）（）联立直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程可得22222(1)(2)4(1)30222ttt，化简可得23 220tt.则1 2|2PAPBt t.（10 分）23.(本小题满分10 分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识.【试题解析】（）由题意(3)(1)343()(3)(1)312231(3)(1)141xxxxf xxxxxxxxxx当3x时，41x，可得5x，即5x.当31x时，221xx，可得1x，即11x.当1x时，41x，可得3x，即13x.综上，不等式()1f xx的解集为(,5 1,3.（5 分）（）由（）可得函数)(xf的最大值4M，且14abab，即23()()2ababab，当且仅当ab时“=”成立，可得2(2)16ab，即2ab，因此ba的最小值为2.（10 分）
